高等流体力学讲义课件-流体力学的基本概念.ppt

1、第 一 章 流体力学的基本概念,1.1 连续介质假说,推导流体力学基本方程的两条途径,统计方法,把流体看作由运动的分子组成，认为宏观现象起源于分子运动，运用力学定律和概率论预测流体的宏观性质。对于偏离平衡态不远的流体可推导出质量、动量和能量方程，给出输运系数（，）的表达式。对于单原子气体已有成熟理论，对多原子气体和液体理论尚不完善。,连续介质方法,把流体看作连续介质，而忽略分子的存在，假设场变量（速度、密度、压强等）在连续介质的每一点都有唯一确定的值，连续介质遵守质量、动量和能量守恒定律，从而推导出场变量的微分方程组。流体力学采用连续介质的方法。流体微团描述流体中的点。,1.1 连续介质假说,

2、推导流体力学基本方程的两条途径,连续介质方法,当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时，可用统计平场的方法定义场变量如下：,在微观上充分大统计平均才有确定的值；宏观上充分小，统计平均才能代表一点的物理量变化。,1.1 连续介质假说,连续介质方法的适用条件,n为单位体积的分子数（特征微观尺度是分子自由程），L为最小宏观尺度。,在通常温度和压强下，边长2微米的立方体中大约包含 2108 个气体分子或 21011 液体分子；在日常生活和工程中，绝大多数场合均满足上述条件。连续介质方法无论对气体和液体都适用。,1.1 连续介质假说,火箭穿越大气层边缘，微观特征尺度接近宏观特征尺度；研究激波结

3、构，宏观特征尺度接近微观特征尺度。,连续介质方法失效场合,1.1 连续介质假说,流体质点,流体质点是流体力学学科研究的最小单元。当讨论流体速度、密度等变量时，实际上是指流体质点的速度和密度。,由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙地组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。,1.1 连续介质假说,欧拉参考系,当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。,着眼于空间点，在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。独立变量 x, y, z, t,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,拉格朗日参考系,着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动，即它的位置随时间的变化，,式中 x0 , y0

4、 , z0 是 t =t 0 时刻流体质点空间位置的坐标。独立变量 x0 , y0 , z0 , t。,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,T =T (x0 , y0 , z0 , t), =(x0 , y0 , z0 , t),在拉格朗日参考系中 x, y, z 不再是独立变量， x - x0 = u ( t - t0) y - y0 = v (t - t0） z - z0 = w (t - t0),用 x0 , y0 , z0 来区分不同的流体质点，而用 t 来确定流体质点的不同空间位置。,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,拉格朗日参考系,系统,某一确定流体质点集合的总体。随时间改变其空间位置、大小

5、和形状；系统边界上没有质量交换；始终由同一些流体质点组成。在拉格朗日参考系中，通常把注意力集中在流动的系统上，应用质量、动量和能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组。,系统和控制体,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,控制体,流场中某一确定的空间区域，其边界称控制面。流体可以通过控制面流进流出控制体，占据控制体的流体质点随时间变化。为了在欧拉参考系中推导控制方程，通常把注意力集中在通过控制体的流体上，应用质量、动量和能量守恒定律于这些流体，即可得到欧拉参考系中的基本方程组。,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,系统和控制体,通常力学和热力学定律都是针对系统的，于是需要在拉格朗日参考系下推

6、导基本守恒方程，而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考系下求解的，因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关系式,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,系统和控制体,欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数,欧拉参考系：,某一空间点上的流体速度随时间的变化，称当地导数或局部导数。,拉格朗日参考系：,在欧拉参考系下用 表示流体质点的速度变化。,流体质点的速度随时间变化，即加速度。,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,流体质点的物理量随时间的变化率。物质导数又称质点导数，随体导数。设场变量 ，则 表示某一流体质点的 随时间的变化，即一个观察者随同流体一起运动，并且一直盯着某一特定流体质点时所看到的 随时间的变化。 是

7、拉格朗日参考系下的时间导数。,物质导数,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下推导）,时刻，,时刻，,泰勒级数展开，,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,在欧拉参考系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,是流体质点的某物理量，式中 x, y, z 是流体质点的坐标， x, y, z 不再是独立变量，而是 x0 , y0 , z0 , t 的函数。,矢量和张量形式的物质导数,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,称对流导数或位变导数，流体物性随空间坐标变化而变化，当流体质点空间位置随时间变化时，在流动过程中会取不同的 值，因此也会引起 的改变。,上式

8、把拉格朗日参考系中的时间导数和欧拉参考系中的就地导数和对流导数联系起来。,欧拉时间导数，称局部导数或就地导数，表示空间某一点流体物理量随时间的变化；,物质导数；,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,矢量和张量形式的物质导数,例1. 拉格朗日变数 (x0,y0,z0) 给出的流体运动规律为,1) 求以欧拉变数描述的速度场；2) 问流动是否定常；3) 求加速度。,解:,1) 设速度场的三个分量是,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,2) 欧拉表达式中包括变量 t , 是不定常流动。,3）在欧拉参考系中求加速度,消去以上表达式中的拉格朗日变数,1.2 欧拉和拉格朗日参考系,在拉格朗日参考系中求加速度,1.2 欧

9、拉和拉格朗日参考系,1 . 3雷诺输运定理,对系统体积分的随体导数,通常的力学和热力学定理都是应用于系统的。,动量定理,1 . 3雷诺输运定理,设 是单位体积流体的物理分布函数，而 是系统体积内包含的总物理量，则,对系统体积分的随体导数,1 . 3雷诺输运定理,系统和CV 在初始时刻重合，CV固定不动,公式推导,I,II,III,CSI,CSIII,1 . 3雷诺输运定理,I,II,III,CSI,CSIII,公式推导,1 . 3雷诺输运定理,系统中的变量N对时间的变化率;,固定控制体内的变量N对时间的变化率，由 的不定常性引起 ;,N 流出控制体的净流率，由于系统的空间位置和体积随时间改变引

10、起 .,物理意义,1 . 3雷诺输运定理,高斯公式，,1 . 3雷诺输运定理,求在体积 中质量随体导数。,例2. 一流场中流体的密度为 1,速度分布为,其中 a 为常数,解:,1 . 3雷诺输运定理,例3. 给定一流场的速度分布和密度分布为:,其中 , k为非零常数，求,1). 在流场中某点的流体密度随时间的变化率；,2). 流体质点密度在运动过程中随时间的变化率；,3). 在体积 中流体质量的随体倒数。,解:,1),2),1 . 3雷诺输运定理,3),在体积 中流体质量为，,1 . 3雷诺输运定理,所以,1 . 3雷诺输运定理,考虑到,1.4流线、迹线和脉线,1流线,流场中的一条曲线，曲线上

11、各点的速度矢量方向和曲线在该点的切线方向相同。,定常流动用一幅流线图就可表示出流场全貌；非定常流动中，通过空间点的流体质点的速度大小和方向随时间而变化，此时谈到流线是指某一给定瞬时的流线。,把时间当作常数积分以上方程组，即可得流线方程。电力线，磁力线，用于理论分析。,微分方程,1.4流线、迹线和脉线,1流线,积分上式，,初始条件，,（流线经过点 ）,消去 s 即可得到流线方程。,1流线,参数方程,1.4流线、迹线和脉线,解：,积分以上方程得，,由条件 时， 解出,消去 得，,例4.设两维流动,，求通过（1，1）点的流线。,1.4流线、迹线和脉线,由以方程可以看出，通过（1，1）点的流线随时间变

12、化而变化。若求 时通过（1，1）点的流线，让以上方程中,1.4流线、迹线和脉线,流体质点在空间运动时描绘出来的曲线。,在定常流动情况下，任何一个流体质点的迹线，同时也是一条流线，即质点沿不随时间变化的流线运动。,2迹线,1.4流线、迹线和脉线,请注意在以上方程组中 是自变量。 是流体质点的空间坐标，因此都是 的函数。,初始条件：,2迹线,微分方程,1.4流线、迹线和脉线,消去 得，,由条件 时 ，可解出,解：,积分得，,例5.设两维流动,，求 通过（1，1）点的迹线。,1.4流线、迹线和脉线,从流场中的一个固定点向流场中连续地注入与流体密度相同的染色液，该染色液形成一条纤细色线，称为脉线。或另

13、定义如下，把相继经过流场同一空间点的流体质点在某瞬时连接起来得到的一条线。,脉线又称烟线，染色线。,3脉线,1.4流线、迹线和脉线,初始条件，,求 时刻从点 进入流场的流体质点的迹线方程。,3脉线,1.4流线、迹线和脉线,求脉线方程, 固定，t 变化（ ）时， 时刻由点 ( x0 , y0 , z0 )注入流场的一个流体质点的迹线； t 固定, 变化（ ）时，t 瞬时前的不同时刻经由 ( x0 , y0 , z0 ) 点注入流场的不同流体质点在 t 时刻的不同空间位置，即脉线。因此当 取 的值时，上述方程即给出 t 时刻的脉线。,3脉线,1.4流线、迹线和脉线,求脉线方程,积分上述方程得，,由

14、条件 时 x = y = 1 可解出，,解：,积分得，,例6.设两维流动,，求通过（1，1）点的脉线。,以上即通过（1，1）点的脉线参数方程。显然在不同时刻（t 取不同值时）脉线形状也不同。,1.4流线、迹线和脉线,在 时刻，,消去 得，,1.4流线、迹线和脉线,在非定常流动条件下，三种曲线一般是不重合的。在定常流动条件下，三种曲线合而为一。,1.4流线、迹线和脉线,在流场内作一非流线且不自相交的封闭曲线，在某一瞬时通过该曲线上各点的流线构成一个管状表面，称流管。若流管的横截面无限小，则称流管元。流管表面由流线组成，所以流体不能穿过流管侧面流进流出，而只能从流管一端流入，而从另一端流出。,4流

15、管,1.4流线、迹线和脉线,为流场中一流体质点， 为 点邻域内另一任意流体质点，如果速度场已知，则同一瞬时上述 点对于 点的相对运动速度 可计算如下：,1.5 速度分解定理,速度梯度张量,1.5 速度分解定理,速度梯度张量分解为两个张量,1.5 速度分解定理,只有6个独立分量，除对角线元素外，非对角线元素两两对应相等，可表示为 ，是一个对称张量。该张量描述流体微团的变形运动。,速度梯度张量分解为两个张量,应变率张量,1.5 速度分解定理,只有3个独立分量，对角线元素为零，非对角线元素两两互为负数，可表示为 ，是一个反对称张量。该张量描述流体微团的旋转运动。,速度梯度张量分解为两个张量,旋转率张

16、量,1.5 速度分解定理,旋转率张量,反对称张量 只有三个独立分量，可看作一个矢量的三个分量，,1.5 速度分解定理,以 间的位移 和旋转张量 相乘，,旋转率张量,1.5 速度分解定理,表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 点相对于M 点的速度变化。,表示由于流体微团变形而产生的 点相对于M点的速度变化。,1.5 速度分解定理,速度分解定理,应变率张量和旋转率张量各分量的意义,相对伸长率,只有,是 x 向直线相对伸长率。,y 和 z 向直线相对伸长率，,1.5 速度分解定理,应变率张量的对角线分量分别表示流体微团沿各坐标轴方向的直线相对伸长率,速度梯度项同时有,只有,应变率张量和旋转率张量各分

17、量的意义,1.5 速度分解定理,相对体积膨胀率,应变率张量的对角线分量之和表示流体微团的相对体积膨胀率。,同样可推得，,应变率张量和旋转率张量各分量的意义,1.5 速度分解定理,旋转角速度,流体微团绕 X 轴和 Y 轴旋转的角速度，,定义流体线OA和OB的角速度 和 的平均值为流体微团绕 Z 轴旋转的角速度（逆时针为正）,1.5 速度分解定理,应变率张量和旋转率张量各分量的意义,旋转角速度,角速度矢量,与旋转率张量对应的矢量 表示流体微团绕其内部某一瞬时轴旋转的角速度， 等于速度旋度的二分之一。,1.5 速度分解定理,应变率张量和旋转率张量各分量的意义,旋转角速度,OA 和 OB 间夹角减小了

18、,令减小为正，X 轴和 Y 轴间夹角变形率，,同样可推得Z 轴和 X 轴间，Y 轴和 Z 轴间夹角的变形率分别为，,应变率张量和旋转率张量各分量的意义,1.5 速度分解定理,角变形率,应变率张量的非对角线分量表示流体微团的角变形率。,velocity gradient tensor， 速度梯度张量rate-of-deformation tensor 应变率张量rate-of-rotation tensor 旋转率张量,I.G.CurrieDeformation-rate tensorRate-of-shearing tensorRate-of-rotation tensor,1) 涡量2) 应

19、变率张量 3) 旋转率张量4) 变形速度 和旋转速度,例7.设平面剪切运动的速度分布为,试求:,解:,1),2),3),4),5),以上结果表明一个平面剪切运动可以分解为一个剪切变形运动和一个旋转运动,可以用下图直观的表示。,1.6速度环量和涡量,速度环量,速度环量是流体绕封闭曲线旋转强度的度量，线积分沿逆时针方向进行。,涡量,1.6速度环量和涡量,涡量,1.6速度环量和涡量,流场内处处 的流动称无旋流，或称势流。 的流动则称有旋流动。,涡量是流体微团绕其内部一瞬时轴作旋转运动的角速度的二倍，,涡量与流体微团自身的旋转角速度成正比，而与流体微团重心围绕某一参考中心作圆周运动的角速度无关。流动是

20、否有旋与流体质点的运动轨迹无关。一个作圆周运动的流体微团可能涡量为零。,Stokes定理,涡通量：,Stokes定理：,1.6速度环量和涡量,S,1.7涡旋的运动学特性,涡管和微元涡管,涡线，流场中的一条曲线，曲线上各点的涡量矢量方向和曲线在该点的切线方向相同。,涡管，在流场内作一非涡线且不自相交的封闭曲线，在某瞬时通过该曲线上各点的涡线组成一管状表面，称涡管。涡管横截面无限小时称微元涡管。,矢量恒等式，,涡旋场内无源无汇。,涡旋场是无源场,1.7涡旋的运动学特性,速度散度是流出单位体积控制体的体积流量。有源或有汇。,由 ，对图示涡管，,对一个确定的涡管，它的任一横截面上的涡通量是一个常数。该

21、常数称为涡管强度。,涡管的运动学特性,1.7涡旋的运动学特性,沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量相等。,由Stokes定理,涡管的运动学特性,1.7涡旋的运动学特性,涡线和涡管都不能在流体内部中断,由于涡旋场是无源场，可以推断，涡线和涡管都不能在流体内部中断。( 如果发生中断，则在中断处取封闭曲面，通过封闭曲面的涡通量将不为零，与无源场事实相矛盾 )。,涡线和涡管只能在流体中自行封闭，形成涡环，或将其头尾搭在固壁或自由面，或延伸至无穷远。,1.7涡旋的运动学特性,下标 表示面元 的法线方向。,1.8应力张量,应力矢量,应力矢量方向与法线方向不一定重合。,，正侧流体对负侧流体的作用应力；,，负

22、侧流体对正侧流体的作用应力。,应力矢量,1.8应力张量,应力矢量,1.8应力张量,应力矢量的投影,应力的双下标表示法：第 1 个下标表示应力所在平面的法线方向，第 2 个下标表示应力投影方向。,1.8应力张量,应力矢量,应力矢量的投影,过空间一点的三个相互垂直平面（可取三个坐标平面）上的应力矢量或它们的九个分量完全描写了一点的应力状态。,一点的应力状态,1.8应力张量,应力矢量,取四面体流体元，,应力矢量与应力张量,1.8应力张量,惯性力，重力，表面力，,达朗贝尔原理：作用于四面体上的质量力（重力），表面力和惯性力及其力矩应该平衡。,当 ，重力、惯性力为三阶无穷小量，表面力为二阶无穷小量，因此

23、仅需考虑表面力作用，忽略惯性力和重力影响。,应力矢量与应力张量,1.8应力张量,应力矢量与应力张量,1.8应力张量,应力矢量与应力张量,1.8应力张量,应力张量 与 无关，而只是空间点位置和时间的函数，由九个分量（6个独立分量）组成的应力张量完全表达了给定时刻一点的应力状态。,或,称应力张量,应力张量的对角线元素为法向应力分量，非对角线元素为切向应力分量。,应力张量,1.8应力张量,直角坐标系中一点的应力张量分量,应力张量是对称张量,作用在四面体上的表面力的合力矩等于零。,应力张量是对称张量,同理可证，,应力张量的九个分量中只有六个是相互独立的。,例8.流体内某处的应力张量可表示为,试求作用于

24、平面 外侧（离开原点一侧）的应力矢量及应力矢量的法向和切向分量。,解:,求该平面外侧的法向单位矢量，,1.8应力张量,1.8应力张量,同一点各个不同方向上的法向应力是相等的;取 是强调压强与作用面的法线方向是相反的;在理想流体或静止流体中，只要用一个标量函数即压力函数 便完全地描述了一点上的应力状态。,1.9理想流体与静止流体的应力张量,一点的应力状态,在理想流体或静止流体中切应力为零,理想流体与静止流体的应力张量,1.9理想流体与静止流体的应力张量,例9.圆球表面应力如下,求圆球所受的力，以上表达中， 为无穷远处压强和流体速度， 为动力粘性系数 ， a 为圆球半径。,球坐标和直角坐标关系,解

25、:,又解 :,圆柱坐标中的应力分量,例10. 试求图示圆柱坐标系微元体所受表面力的合力。计算中可取每个表面中心的应力作为该表面的平均应力。已知单位矢量 和 均是的函数，且 ,微元体中心的应力张量已知。,解:,同理,整理得,第一章,(1) 求其加速度的欧拉描述；(2) 先求矢径表示式 ,再由此求加速度的拉 格朗日描述；(3) 求流线及迹线。,1.1设速度场,1.2设,求应变率张量及旋转率张量。,1.3 在 P 点的应力张量如下,练习题,求 (1) 某点单位法向矢量为,的平面上的应力矢量 。,(2) 应力矢量在法向的分量；,(3) 与 之间的夹角。,求各切应力。,1.4设流动速度分布为,粘度系数为,1.5 (教科书 2.4 ，(2.3)已知流场,(1) 沿下边给出的封闭曲线积分求速度环量,(2) 求涡量 ，然后求式中 A 是 (1) 中给出的矩形面积， 是此面积的外单位法线矢量。,1.6 计算下列二维流场在任意点 的涡量，(1). (2)上式中 和 是柱坐标变量， ， 为常数。,