2011年全国注册电气工程师基础考试辅导教材-高等数学概率论与数理统计线性代数.ppt

1、,1.1空间解析几何,1.1.1 向量代数1.1.2 空间解析几何,1.向量的概念,定义:既有大小又有方向的量称为向量.,相等向量、,负向量、,向径.,零向量、,向量的模,单位向量、,1.1.1 向量代数,2.几种特殊向量,（2）向量的分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,（3）向量的坐标表示式：,向量的坐标：,3.向量的表示法,（1）有向线段 (模和方向余弦）,(1)加法：,4.向量的线性运算,(2)减法：,(3)向量与数的乘法：,线性运算的坐标表达式,向量模长的坐标表示式,向量方向余弦的坐标表示式,5.数量积,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,运算律,(1) 交换律,(2) 结

2、合律,(3) 分配律,6. 向量积,定义：,向量,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,几何意义：右图三角形面积,S,性质,为非零向量, 则,运算律,(2) 分配律,(3) 结合律,向量积的坐标表达式,解,解,例3. 已知向量,的夹角,且,解：,例4. 已知三点,角形 ABC 的面积,解: 如图所示,求三,横轴,纵轴,竖轴,定点,1、空间直角坐标系,空间的点,有序数组,1.1.2 空间解析几何,它们距离为,两点间距离公式:,点到平面的距离公式：,（1）旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴.,2、曲面,方程特点:,

3、（2） 柱面,定义：,平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,从柱面方程看柱面的特征：,3、空间曲线,（1） 空间曲线的一般方程,（2） 空间曲线的参数方程,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,4. 空间直线与平面的方程,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =

4、0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,例5. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,为直线的方向向量.,空间直线,一般式,对称式,参数式,为直线上一点;,例6.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x = 1, 解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点 .,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:

5、,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,例7. 求直线,与平面,的交点 .,提示: 化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为（1，2，2）.,1.2.1 极限与函数的连续,1.2.3 偏导数与全微分,1.2.2 导数与微分,1.2 微分学,1.2.4 导数与微分应用,1.2.1 极限与函数的连续,1. 函数,定义:,定义域,值域,设,函数为特殊的映射:,其中,定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。,函数的特性,有界性 ,单调性 ,奇偶性 ,周期性,复合函数,初等函数,有限个常数及基本初等函数,经有限次四则运算与,复合而成的一个表达式的函数.,例如. 函数,2 极限,极

6、限定义的等价形式,(以 为例 ),(即 为无穷小),极限存在准则及极限运算法则,无穷小,无穷小的性质 ;,无穷小的比较 ;,常用等价无穷小:,两个重要极限,重点：求极限的基本方法,洛必达法则,例1. 求下列极限：,提示:,令,3. 连续与间断,函数连续的定义,函数间断点,第一类（左右极限存在）,第二类（左右极限至少有一个不存在）,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,重要结论：初等函数在定义区间内连续,例2. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,例3. 设函数,试确定常数

7、 a 及 b .,1.2.2 导数和微分,导数 定义:,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分 :,关系 :,可导,可微,导数几何意义:切线斜率,1. 有关概念,例4.设,在,处连续,且,求,解:,2.导数和微分的求法,正确使用导数及微分公式和法则 （要求记住！）P10,隐函数求导法,参数方程求导法,高阶导数的求法(逐次求一阶导数）,例5. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,例6.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,1.2.3 偏导数与全微分,1. 多元显函数求偏导和高阶偏导,2. 复

8、合函数求偏导,注意正确使用求导符号,3. 隐函数求偏导,将其余变量固定，对该变量求导。,4. 全微分,5. 重要关系:,例7. 求,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,解：设,则,例8. 设,1.2.4 导数与微分的应用,1. 微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,函数单调性的判定及极值求法,若,定理 1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,在开区间 I 内可导,2. 研究函数的性态:,极值第一判别法,且在空心邻域,内有导数,极值第二判别法,二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,例9. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,

9、故,的单调增区间为,的单调减区间为,例10. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,例11. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择 .,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,设函数,在区间I 上有二阶导数,凹弧凸弧的

10、分界点为拐点,例12. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,的连续性及导函数,例13. 填空题,(1) 设函数,其导数图形如图所示,单调减区间为 ;,极小值点为 ;,极大值点为 .,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,单调增区间为 ;,.,在区间 上是凸弧 ;,拐点为,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,形在区间 上是凹弧;,则函数 f (x) 的图,(2) 设函数,的图形如图所示,1.3.1 不定积分,1.3.5 平面曲线积分,1.

11、3.4 重积分,1.3 积分学,1.3.2 定积分,1.3.3 广义积分,1.3.6 积分应用,1.3.1 不定积分,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 (要求记住基本积分公式P16）.,2. 换元积分法,第一类换元的基本思路,第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有,例2. 求,解:,原式,第二类换元的解题思路为,使用该公式的关键为,第二类换元常见类型有 三角代换 倒代换 根式代换等,3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,例

12、3 求积分,解,（再次使用分部积分法）,解,两边同时对 求导, 得,2、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,1、定积分定义：,1.3.2 定积分,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7 (定积分中值定理),性质6,积分中值公式,3、积分上限函数的导数,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,4、牛顿莱布尼茨公式,5、定积分的计算法,换元公式,（2）第二类换元法,（3）分部积分法,分部积分公式,注：应尽可能先用简便算法： 1、几何意义；2、对称性；3、奇偶性；4、重要结论,（1）凑微分法,6、重要结论,1.3.3 广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,1.在直角坐标系下计算二

13、重积分,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,1.3.4 重积分（化为累次积分）,解,2. 在极坐标系下计算二重积分,例9.计算二重积分,其中D 为圆周,所围成的闭区域.,提示: 利用极坐标,原式,例10. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,1.3.5 平面曲线积分,计算定积分,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,说明:,(1)积分限必须满足,(2) 注意到,1.对弧长的曲线积分的计算,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,例11. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0

14、,0),2.对坐标的曲线积分的计算法,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在, 且有,例12. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,(2) 取 L 的方程为,则,则,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,格林公式,函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,3.格林公式,例13.

15、 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,1.平面图形的面积,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为,1.3.6 积分应用,例14. 计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,例15. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,所求弧长,2.平面曲线的弧长,(2) 曲线弧由参数方程给出:,所求弧长,连

16、续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,3.旋转体体积,4.空间立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,5.曲面面积,即,若光滑曲面方程为,1.4 无穷级数,1.4.1 数项级数,1.4.2 幂级数,讨论敛散性,求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。,1.4.3 傅立叶级数,求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。,1.4.1数项级数,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加, 简记为,收敛 ,则称无穷级数,

17、并称 S 为级数的和。,1.数项级数定义,2.基本性质,性质1. 若级数,收敛于 S ,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,即,其和为 c S .,性质2. 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .,(用反证法可证),性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数,的敛散性.,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级,的和.,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,性质5

18、：设收敛级数,则必有,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,等比级数,(又称几何级数),( q 称为公比 ).,级数收敛 ,级数发散 .,其和为,3. 几个重要级数的收敛性,调和级数发散,(常数 p 0),p -级数,*例1.判断级数的敛散性:,解:该级数是下列两级数之差,故原级数收敛.,(比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,是两个正项级数,(常数 k 0 ),4.审敛法,正项级数：,(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3)

19、当 l =,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 0)P(AB)=P(B)P(A|B)(若P(B)0),例7 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放回), 甲先, 乙次, 丙最后, 求甲抽到难签, 甲,乙都抽到难签, 甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲,乙,丙都抽到难签的概率.,解 设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签,全概率定理 如果事件A1,A2,构成一个完备事件组, 并且都具有正概率, 则对任意一事件B有,用全概率定理来解题的思路, 从试验的角度考虑问题, 一定是将试验分为两步做, 将第一步试验的各个结果分为一些完备事件组A1, A2,An, 然后在这每一事件下计算或给出某个事件

20、B发生的条件概率, 最后用全概率公式综合,贝叶斯定理 若A1,A2,构成一个完备事件组, 并且它们都具有正概率,则对于任何一个概率不为零的事件B, 有,贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完全一样, 只是要求的是一个条件概率, 是在信息论中的重要公式, 即在二次试验后, 观察者只能看到最后的结果事件B, 却要根据B来推断第一步试验的哪个事件发生了的条件概率P40例1-44,在使用全概率公式和贝叶斯公式的题型中, 关键的一步是要使用一完备事件组, 而最常用的完备事件组,是一事件A与它的逆A构成的完备事件组, 这时的全概率与贝叶斯公式为, (应在考试前专门将它们记住).,5.事件的独立性,定义

21、如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响, 即P(A|B)=P(A), 则称事件A对于事件B独立.,由此定义及条件概率P(A|B)的定义有,如A与B独立, 则,例8 甲,乙,丙3部机床独立工作, 由一个工人照管, 某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9,0.8及0.85. 求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率.,解 用事件A,B,C分别表示在这段时间内机床甲,乙,丙不需工人照管.依题意A,B,C相互独立,并且P(A)=0.9, P(B)=0.8, P(C)=0.85则这段时间内有机床需要工人照管的概率为,而当至少有两部机床需要照管的时候, 就有机床

22、因无人照管而停工了, 这样的事件是,按取值情况可将随机变量分为两类:,(1) 离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值.,(2) 非离散型随机变量可能取任何实数.而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机变量.,1.6.2 一维随机变量及数字特征,1.随机变量的概念(p42),2.离散型随机变量的分布,定义 如果随机变量x只取有限个或可列个可能值, 而且以确定的概率取这些不同的值, 则称x为离散性随机变量. 为直观起见, 将x可能取的值及相应概率列成概率分布表如下,此外, x的概率分布情况也可以用一系列等式表示:P(x=xk)=pk(k=1,2,)这被称作随机变量x的概率函数(或概率分布),例

23、9 一批产品的废品率为5%, 从中任意抽取一个进行检验, 用随机变量x来描述废品出现的情况. 并写出x的分布.解 用x表示废品的个数, 则它只能取0或1两个值. x=0表示产品为合格, x=1表示产品为废品, 则概率分布表如下,即Px=0=0.95, Px=1=0.05, 或可写为Px=k=0.05k0.951-k(k=0,1),随机变量的分布函数,定义 若x是一个随机变量(可以是离散型的, 也可以是非离散型的), 对任何实数x, 令F(x)=P(x x)称F(x)是随机变量x的分布函数,例10 求本节例1中的分布函数,其分布函数为,解 在例1中x的概率函数如下表所示:,分布函数与概率函数满足

24、关系:,由于 P(x1x2)=F(x2)-F(x1)因此, 若已知的分布函数F(x), 就能知道在任何一个区间上取值的概率, 从这个意义上说, 分布函数完整地描述了随机变量的变化情况,分布函数F(x)具有如下几个性质:,两点分布: 只有两个可能取值的随机变量所服从的分布, 称为两点分布. 其概率函数为P(x=xk)=pk(k=1,2)概率分布表为:,0-1分布: 只取0和1两个值的随机变量所服从的分布称为0-1分布. 其概率函数为P(x =k)=pk(1-p)1-k(k=0,1)概率分布表为:,连续型随机变量的分布,离散型随机变量，用概率函数来描述即简单又直观。对于连续型随机变量也希望有一种比

25、分布函数更直观的描述方式。这就是 “概率密度函数”,定义 对于连续型随机变量x, 如果存在一定义在(-, +)上的非负函数(x), 对于任意实数x都有(x)0, 且满足, x落在任意区间内的概率为j(x)在此区间的积分, 即,则称j(x)为x的概率密度函数.,用概率密度函数计算x落在任何区间内的概,率如下图所示意.,a,b,x,0,j(x),P(axb),概率密度函数的两个性质,(1)(x)0,概率密度函数(x)与分布函数F(x)的关系为,x,0,j(x),x,例11 已知连续型随机变量x有概率密度,求系数k及分布函数F(x), 并计算P(1.5x2.5)解 因,则j(x)及其图形如下,x,当

26、x0时,x,当0x2时,x,综合前面最后得,1,2,0,x,F(x),将概率密度函数j(x)与分布函数F(x)对照,现根据概率密度函数和分布函数分别计算概率P1.5x2.5根据分布函数计算: P1.5x2.5= P1.50, 求这种元件的使用寿命.,方差,如果x是离散型随机变量, 并且Px=xk=pk (k=1,2,.), 则,可见随机变量的方差是非负数, Dx0, 常量的方差是零. 当x的可能值密集在它的期望值Ex附近时, 方差较小, 反之则方差较大.因此方差的大小可以表示随机变量分布的离散程度,例15 计算参数为p的0-1分布的方差,解 根据x的概率函数Px=1=pPx=0=1-p=q则E

27、x=0q+1p=pDx=(0-p)2q+(1-p)2p=p(pq+q2)=pq(p+q)=pq=p(1-p)Ex=pDx=pq,方差的性质,常量的方差等于零(2) 随机变量与常量之和的方差就等于这个随机变量的方差本身(3) 常量与随机变量乘积的方差, 等于这常量的平方与随机变量方差的乘积.,(4) 两个独立随机变量之和的方差, 等于这两个随机变量方差的和,计算Ex2的办法:,(5) 任意随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望与其期望平方之差, 即Dx=Ex2-(Ex)2,例16 计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量x的方差.解 已知x的概率密度为,在3.1例4中已算出Ex=(a+b)/2,定义 如果随机变量x有概率函数,其中0p1, q=1-p, 则称x服从参数为n,p的二项分布. 简记作xB(n,p).,