《数学实验》实验指导书.doc

1、数学实验实验指导书龚 劬重庆大学数学实验教学示范中心数学实验课程实验指导2目 录预备实验 桥梁分析 .3实验 1 MATLAB 软件入门 .8实验 2 方程模型及其求解算法 .24实验 3 收敛与混沌 迭代 .28实验 4 微分方程模型、求解及稳定性分析 .31实验 5 插值方法 .34实验 6 数据拟合及参数辨识方法 .36实验 7 回归分析模型、求解及检验 .39实验 8 连续系统与离散系统的计算机模拟 .42实验 9 线性规划模型、求解及灵敏度分析 .44实验 10 非线性规划与多目标规划模型及其求解 .48实验 11 如何表示二元关系 图的模型及矩阵表示 .51实验 12 改进技术的最

2、佳实施问题 综合实验 .54实验 13 人口增长模型及其数量预测 综合实验 .56实验 14 River-bay 系统水污染问题_综合实验 .58实验 15 炮弹发射角的确定 综合实验 .60实验 16 探究实验 .61实验 17 开采沙子 综合实验 .62实验 18 海水中提取淡水 综合实验 .65实验 19 警惕氯仿污染 综合实验 .70实验 20 机动车尾气排放 综合实验 .81实验 21 计 算机断层扫描图像 综合实验 .89数学实验课程实验指导3预备实验桥梁分析教 学 目 的 和 要 求 ：通过桥梁分析问题，使学生：1. 了解线性代数在土木工程中的应用；2. 了解如何通过做一些使问题

3、简化的假设，建立实际问题的数学模型；3. 体会学好线性代数知识的重要性；4. 激发学习线性代数的兴趣。知 识 点 ： 线 性 方 程 组 向 量 分 解必备技能：1. 力的平衡分析；2. 向量分解；3. 求解线性方程组。主要内容1应用场景2问题分析3建立数学模型4实验任务数学实验课程实验指导41应用场景解方程组在许多领域都有应用。下面给出一个在土木工程中的应用例子，虽然加入了一些幽默元素，但类似的情形土木工程师会经常遇到。一位货运司机正驾着卡车为一个数学家聚会运送物资，但他的卡车超载了。途中，他遇到了一个古老的桁架桥。这座桥没有标明最大承重载荷。由于注意到桥下水中有鲨鱼，他想知道自己那超重的卡

4、车能否安全过桥，这辆卡车大约重 10 吨（20，000 磅） 。他拿出手机给你打电话，请你帮忙分析，并给出建议。图 1 中卡车正处于使桁架结构内力和压力最大的位置。2问题分析桁架结构很坚固，是由销连接的三角形构成的。因此，桁架结构不会弯曲（变成一个微笑的或者皱眉的形状） ，但是可以拉伸或压扁。两个相同的桁架对称地支撑着桥面，桥的两侧各一个（在图 1 中，看不见第二个桁架，它在第一个后面） 。每个桁架结构承载卡车重量的一半。卡车和货物总重是 20，000 磅，因此每个桁架结构承重 10，000 磅。假设卡车前面比较重，前轮承受 5720 磅的重量，后轮承受 4280 磅，如图 2 所示。在铰链

5、A 处，桥被固定，当有人刹车时它不会掉进沟里。在铰链D 处，桥可以自由的滑动这样在热天它可以膨胀。图 1：一个危险的情况数学实验课程实验指导53.建立数学模型为了判断该桥是否会断裂，可以用节点法。假设，当桥中桁架的任何组件断裂时，整座桥就会断裂。节点法是分析桁架每个节点的平衡条件。节点平衡要求该点所受到的所有内力和外力相互平衡，否则，桁架将会移动。如图3所示，有三个未知的外力 , 和 ，作用在桁架与地面接触的节点上。这三xAyD个外力与4280磅和5270磅的负载共同作用导致桁架组件的内力。桁架每个组件的内力可以通过对每个节点运用节点法来确定。图3是节点法在每个节点应用的示意图。注意各组件已经

6、被“割断”，假设内力方向如箭头所示。被“割断”的组件的所有力都按张力来标示，所谓张力就是作用在桁架组件的拉力。为了把卡车的重量从桥的中间转化为桥两端的支撑力，一些组件一定会被压缩，另一些一定会被拉伸。所以如果最终得出的力为负，则说明假设为张力是错误的，该力实际上应该是压力。在图3中具有负值的力的箭头应向内。图 2：其中一个构架的示意图图3：节点法的应用数学实验课程实验指导6为了使桁架满足平衡条件，在每一节点处， x 轴方向和 y轴方向的合力应分别为0。对应的数学表达式为 和 。大小为4280 lb的力作用在B点和大小为5720 0xF0ylb的力作用在C点说明，卡车重量直接作用在节点处。让我们

7、来看一下如何根据节点法分析任一节点处的受力情况节点A每个桁架用桁架两端节点处的字母表示，如图3，对支点A有四个力的作用 , , xAy, 和 : BFE 表示作用在A点作用在 x轴方向上的力， 表示从A点指向B点的力。x F 表示力的方向为从A指向E。注意 ，当分析A点时，将力分解在X和Y方向上。F图4是对力 的分析，演示了如何对力进行分解。在 在Y方向上的分力：AEFAEF610y在X轴方向的分力大小：AE图 4：把 看作直角三角形斜边AE数学实验课程实验指导7810AExF为了使A点保持平衡状态，该点处X轴方向和Y轴方向的合力分别为0。A点处Y轴方向的合力：601yAE接着你需要求出A点处

8、X轴方向的合力。然后，通过在每一个支点处重复这样的过程，你可以建立一个方程组以求得各个桁架组件间未知的力。这个方程组有唯一解（因为未知数的个数和方程的个数相同）。4. 任务1）确定作用在桁架上的所有的内力和外力。2）为了评估桁架的安全性，你需要确定桁架的每个组件最多能承受多大的力而不毁坏。一位土木工程专业的学长通过快速计算，报告说每根杆能承受 9000 磅的拉力和 6500 磅的压力，问卡车是否能安全通过该桥梁。3）对于你的分析和得出的结论写一份技术报告。4）你还可以做一些其他探讨，进行拓展。数学实验课程实验指导8实验 1 MATLAB 软件入门一、 实验目的及意义1 熟悉 MATLAB 软件

9、的用户环境；2 了解 MATLAB 软件的一般目的命令；3 掌握 MATLAB 数组操作与运算函数；4 掌握 MATLAB 软件的基本绘图命令；5 掌握 MATLAB 语言的几种循环、条件和开关选择结构。通过该实验的学习，使学生能灵活应用 MATLAB 软件解决一些简单问题，能借助 MATLAB软件的绘图功能，对函数的特性进行探讨，广泛联想，大胆猜想，发现进而证实其中的规律。二、实验内容1MATLAB 软件的数组操作及运算练习；2直接使用 MATLAB 软件进行作图练习；3用 MATLAB 语言编写命令 M-文件和函数 M-文件。三、实验步骤1. 在 E 盘建立一个自己的文件夹;2开启软件平台

10、MATLAB，将你建立的文件夹加入到 MATLAB 的搜索路径中。3利用帮助了解函数 max, min, sum, mean, sort, length，rand, size 和 diag 的功能和用法。 4开启 MATLAB 编辑窗口,键入你编写的 M 文件（命令文件或函数文件） ；5保存文件（注意将文件存入你自己的文件夹）并运行；6若出现错误，修改、运行直到输出正确结果；7写出实验报告，并浅谈学习心得体会。四、实验任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题原理算法与编程计算结果或图形心得体会）基础实验1设有分块矩阵 ，其中 E,R,O,S 分别为单位阵、随机阵

11、、零阵和232SOREA对角阵，试通过数值计算验证 。202某零售店有 9 种商品的单件进价（元） 、售价（元）及一周的销量如表 1.1，问哪种商品的利润最大，哪种商品的利润最小；按收入由小到大，列出所有商品及其收入；求数学实验课程实验指导9这一周该 10 种商品的总收入和总利润。表 1.1货号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 单件进价 7.15 8.25 3.20 10.30 6.68 12.03 16.85 17.51 9.30单件售价 11.10 15.00 6.00 16.25 9.90 18.25 20.80 24.15 15.50销量 568 1205 753 580 395

12、2104 1538 810 6943. 近景图 将 x 的取值范围局限于较小的区间内可以画出函数的近景图,用于显示函数的局部特性。局部放大 在绘图时 ,把 x 的范围逐渐缩小,可把函数的细节部分展现的很清楚.特别是观察极限问题时,这种方法比较便利.远景图 函数的远景图,是把 x 的范围取得比较大,使我们能够在大范围内观察函数图像.当研究 x 趋向于时,这种方法给我们带来方便. 1）绘制幂函数 30631,yy在区间0,2上的图形。观察图像,列表记录观察现象。观 察 现 象图像经过的关键点函数图形的增减性抛物线的开口方向参数 p（指数幂）的影响2）比较函数 33)(,)(,)( xhxgxf 在

13、 x0 时函数的性态。观察到什么现象？从观察到的现象，反映了什么结论。3）比较函数 33)(,)(,)(f 在 x时函数的性态。4）在日常生活中我们有这样的经验：与幂函数相比，指数函数是急脾气，对数函数是慢性子。这就是说，当 x时，再小的指数函数也比幂函数变化快，再大的对数函数也比幂函数变化慢。当 x时,比较 10xy与 xy1. 的大小.当 x时,比较 01.xy与 xylg0 的大小.5）在同一个坐标下作出 y1=ex,y2=1+x,y3=1+x+(1/2)x2,y4= 1+x+(1/2)x2+(1/6)x3这四条曲线的图形，要求在图上加各种标注，观察到什么现象？发现有什么规律？4用 su

14、bplot 分别在不同的坐标系下作出下列四条曲线，为每幅图形加上标题，1）概率曲线 ；2xey2）四叶玫瑰线 =sin2；数学实验课程实验指导103）叶形线 ;13,2tytx4）曳物线 。221lnyyx5作出下列曲面的 3 维图形，1） ；)si(2z2）环面： 。,sin,i)co1(suzvyx)2,0(u3）分别作出单位球面在参数为两种不同取值范围的图形,注意坐标轴的单位长度要相等。提示：附加命令 rotate3d 可实现 3 维图形旋转。a) ;cosin,xuvyz(0,1.6)b) cosin,xuvyz(0,2).54）z =y2 绕 z 轴的旋转面图形5) y = - ,0x5 柱面图形6建立一个命令 M-文件：求所有的“水仙花数” ，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字的立方和等于该数本身。例如，153 是一个水仙花数，因为 153=13+53+33。7编写函数 M-文件 sq.m：用迭代法求 的值。求平方根的迭代公式为ax)(21nnx迭代的终止条件为前后两次求出的 x 的差的绝对值小于 105。8. 求函数的极限、导数或积分：1） 当 x 时；1)3lim(