函数的奇偶性的经典总结.doc

1、xf1)(2xxf1)(函数的奇偶性1、函数奇偶性的基本概念1偶函数：一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，xf xxff，那么函数 就叫做偶函数。0)(xff2.奇函数：一般地，如果对于函数 的定义域内任一个 ，都有 ，f ff，那么函数 就叫做奇函数。ff x 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 之一是否成立。xff（2）在判断 与 的关系时，只需验证 及 = 是否成立即xff 0x)(f1可来确定函数的奇偶性。题型一 判断下列函数的奇偶性。 ，（2） （3）xf)( xf3)( R

2、xfG,(4) (5) (6) (7) ，(8)xfcos)( xfsin)( xf2)(提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有： ， ， ，xf)(3)(fxfsin)(（3）常见的奇函数有： ， ， 2xco（4）若 、 都是偶函数,那么在 与 的公共定义域上， + 为xfgfgfg偶函数， 为偶函数。当 时， 为偶函数。0)(xf（5）若 ， 都是奇函数，那么在 与 的公共定义域上， + 是奇函xfgfgxfg数， 是奇函数， 是偶函数，当 0 时， 是偶函数。 f xgf x)(（6）常函数 是偶函数， 0

3、既是偶函数又是奇函数。为 常 数cxff（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零) 仍为偶函数; 奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶) 数个奇函数积、商( 分母不为零)为奇(偶) 函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数 ；若 为偶函数, 为奇（偶）函数，则 都xgfFfxxF为偶函数；若 为奇函数， 为奇函数,则 为奇函数;若 为奇函数， 为偶xgFgf函数,则 为偶函数. 题型二 三次函数奇偶性的判断已知函数 ，证明：（1）当 时， 是偶函数dcxbaxf23)( 0ca)(xf（2）当 时， 是奇函数0db)(f提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型

4、，如 ，当 ，cbxf2)(0是偶函数；当 ， 是奇函数。)(xf ca)(xf题型三 利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1 函数 是偶函数，定义域为 ，则 23fxab1 2a， ab312 设 是定义在 上的偶函数，则 的值域是 ()1,2()fx0,23 已知 是奇函数，则 的值为 1)(1sinaxfa4 已知 是偶函数，则 的值为 1li)(2xf提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义， 。)(),(xffxf （2）因为是填空题，所以还可以用 。),)1(ff（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四 利用函数奇偶性的对

5、称1 下列函数中为偶函数的是（ B ）A B C D2sinyxxy2cosyxlnyx2 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 AA xey B xy1 C xy21 D213 下列函数中，为偶函数的是（ C ）A B C Dyx1yx4yxyx4 函数 的图像关于（ C ）1()fA 轴对称 B 直线 对称 C 坐标原点对称 D 直线 对称5 已知函数 是 上的奇函数，且 ，则 =-4)(xfR4)1(f)3(f6 已知函数 是 上的偶函数，则 ，则 =-32 7提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义， 。)(),(xffxf (2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于 轴对

6、称。y(3)在原点有定义的奇函数必有 。0)(f（4）已知函数 是 上的奇函数，则 关于点 对称。)(txfR)(xf)0,(t(5)已知 是偶函数，则 关于直线 对称。)(xft题型五 奇偶函数中的分段问题1 设 为定义在 上的奇函数，当 时， （ 为常数），则()fxR0x()2xfb-3 2 已知 是奇函数，且当 时， ，求 时， 的表达式。fxxfx0xfx)(3 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 =-45()fR023)(f)3(f4 已知 是偶函数，当 时， ，求 x0xxf2)(45 设偶函数 满足 ，则 =()f42)(f f|04x或提示：（1）已知奇函数 ，当

7、 ， ，则当 时， 。x)(xgf )()xgf（2）已知偶函数 ，当 ， ，则当 时， 。)(xf0)(xgf0)(xgf类型六 奇函数的特殊和性质1 已知函数 ，求 的和为 42)(3axf )2(ff2 已知 ，且 ，则 =0756bcd31(3)f3 已知 ， ， =_-26_83f 0ff4 已知函数 ，若 ，则 ( )()x21)(a)a提示：已知 满足， ，其中 是奇函数，则有 。f txgf)(xgtaf2)(题型七 函数奇偶性的结合性质1 设 、 是 上的函数，且 是奇函数， 是偶函数，则结论正确的是()fxgR()fx()x. 是偶函数 .| | 是奇函数ABg. | |是

8、奇函数 .| |是奇函数C()fxD()fx2 设函数 和 分别是 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ()gxRA 是偶函 B 是奇函数)(f)(xgfC |是偶函数 D |是奇函数x3 设函数 ()f与 g的定义域是 xR且 1, ()fx是偶函数, ()gx是奇函数,且1fx,求 ()f和 g的解析式, 21， 21。 提示：（1）已知 是奇函数，则 是偶函数。x)(xf（2）已知 是 上的函数，且 也是 上的偶函数和 ()gx也是 上的奇函数，满足)(hRRR，则有 ， 。)(xgfx2)()(hx2hf题型八 函数的奇偶性与单调性1 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的

9、是（ ）(0,)A B C D1yxxye21yxlgyx2 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A） ，x R （B） ，x R 且 x0cos22log（C） ，x R （D） ，x Rey31y3 设 ()sinfx，则 ()f（ B ）A 既是奇函数又是减函数 B 既是奇函数又是增函数 C 有零点的减函数 D 没有零点的奇函数4 设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为()f0)， (1)0f()0fx（ ）1， ，5 已知偶函数 在 单调递减， ，若 ，则 的取值范围是fx,2f1fxx.)3,(6 已知偶函数 ()f在区间 0,)单调增加，则满足 (

10、)f (3f的 取值范围是)2,1(提示：（1）已知 是奇函数，且在 上是增（减）函数，则在 上也是增（减）)(xf )0,(),0(函数。（2）已知 是偶函数，且在 上是增（减）函数，则在 上也是减（增）函数。)(xf ),(),(（3）已知 是偶函数，必有 。)(xf )()(xfxf题型九 函数的奇偶性的综合问题1 已知函数 ,当 时，恒 ，且 ，又fyR)()(yfyf0,xf时（ 1）求证： 是奇函数；（2）求证： 在 R 上是减函数；（3）求2ffx在区间 上的最值。最大值 1，最小值-3。)(x,62 设 ，且有 ，求上上 0Rf 3212afaf的取值范围。a),32(练习题一

11、、判断下列函数的奇偶性（1） （2） （3） 1)(xf 1)(2xf )1,(,1xxf（4） （5） （5） （6）f Rf,)( 2,0)fxeln)(7) (8) （9） ，(10) ，(11)f3)( xxftansi)(1)(2xf 1)(xf，(12) (13) ，(14) ，(15)xe cos2，(16) ,(17)f2)( )1ln()(2xf2()ln1|)fxx二、利用函数的奇偶性求参数的值1 若函数 是偶函数，求 的值。02(1)3fxmm2 若函数 是奇函数，求 的值。44)3cbxa 5)(2ca3 函数 是奇函数，定义域为 ，则 的值是 9 f2)( ,1b2)

12、(b4 若 1()2xfa是奇函数，则 a 25 若函数 为偶函数，则实数 _0_.6 设函数 是偶函数，则实数 _-1_)()Rxexf a7 若函数 是奇函数，则 a= .2logaa28 若 为奇函数,则实数 _-2_.(2)xmf9 若函数 为偶函数，则 1 )ln(2xafa10 若 是偶函数，则 _ _.axexfx1ln3 a32三、 函数奇偶性定义的应用1 函数 y= 2logy的图像 A（A）关于原点对称 （B）关于直线 yx对称（C）关于 y轴对称（D）关于直线 yx对称2 已知函数 ， 则 （B ） 1fx2xRA. B. 为偶函数 C. D. 不是偶函数f f0fxff

13、x3 若 是偶函数，则 （ 为常数） ( A ) kA.是偶函数 B.不是偶函数 C.是常数函数 D.无法确定是不是偶函数4 函数 = 则 为 （ B ） fx0,1.fxA.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数5 已知 为奇函数，则 为 （ A ） fxfxA 奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数6 已知点 是偶函数 图像上一点，则 等（B ）1,3f 1fA.-3 B.3 C.1 D.-17 若点 在奇函数 的图象上，则 等于（ D）,yfxfA.0 B.-1 C.3 D.-38 已知 是奇函数,且 .若 ,则 _

14、-1_ .2)(xfy1)(f 2)(xfg)1(g9 设 是定义在 R上的一个函数，则函数 F，在 R上一定是（ A ）A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数10 设 是 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，则()fx)(xfy21x05)4(321f11 已知偶函数 的图像关于直线 对称， ，则 _3_.x2x3)(f(1)f12 设函数 对于任意 都有 ，求证： 是奇函数。f,yRfyxyxf13 已知 ，函数 为奇函数，则 -1 ， -7 tR2,0()xtfgt(2)gf14 已知奇函数 的，且方程 仅有三个根 ，则 的值 0fx)(f 321,x321x15

15、设函数 是 上为奇函数，且 ，在 的值 )(fx)5(f16 已知偶函数 ，求 的个数 7)0(42)(fx 04)(2f17 已知偶函数 ，求 的个数 96 048)()(123 xff四、 函数奇偶性的性质1 已知 是偶函数，且 ，则 的值为 1)3(xf 2)(f)6(f2 已知 ，则 的值 4233 已知 3()4fxab其中 ,a为常数，若 (2)f，则 (2)f的值等于( -10 )4 已知 ，则 的值 -4)(ff5 已知 ，则 的值 -42)(xf 31lnl6 已知 ，则 的值 6sincba)(l)(ff7 已知函数 ，则 （ ）2l1fxx1lg5lff48 已知函数 2

16、ln931,.l2lf ff则 29 已知函数 ， ，则3()si4(,)fxabxaR2(lgo10)5f(lg)f310 设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 =_2_1n2f Mm11 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 ()fxR(,0)x32()fx()f11 在 上的奇函数 和偶函数 g满足 (a0,且 0).若Ragf2ga，则 2f= 154 12 若函数 分别是 上的奇函数、偶函数，且满足 ，则有（ D (),xgR()xfxge）A B C D(2)3(0)fg(3)2f(2)0(3)fgf0gf13 若函数 为 上的偶函数，且当 时， ，则 3 xR01xln

17、fx2fef14 函数 )(f是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有)(1xfx，则 )25(f的值是 0 15 函数 )(f是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 都有)(xfx，则 的值是 0 )(f16 若函数 21afb在 ,上是奇函数,则 ()fx的解析式为_ 2()1xf_.17 设 ()x是 R上的奇函数，且当 x时， 31)，则当 ,0时f_ 31)_18 已知定义在 上的奇函数 ()fx，当 0时， |)(2xf，那么 x时，()fx.2x19 函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为231ln1xef ,(0)kM，则 4 mM20 奇

18、函数 的定义域为 ，若 为偶函数，且 ，则 （ 1 ()fxR()fx(1)f(8)9f）21 设定义在 上的奇函数，满足 ，那么 的值 0)2()f )27()(ff22 已知函数 是 上的偶函数，当 ，都有 ，且当 时，()fx0x(xf ,，则有 的值 11log)(2f 7216(f五、函数奇偶性和单调性的应用1 已知函数 ()3fk是偶函数，则 )(f的递减区间是 0, 2 设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为x0， (1)0f()fx（ ）()1， ，3 已知函数 ，则1()3()xf()fx（A）是偶函数，且在 R 上是增函数（B）是奇函数，且在 R 上是增函数（C

19、）是偶函数，且在 R 上是减函数（D）是奇函数，且在 R 上是减函数4 已知奇函数 在 上是增函数.若 ，则()fx 0.8221(log),(log4.1),()5afbfcf,abc的大小关系为5 已知 是定义在 R 上的偶函数，且 .若当 时，()fx(4)(2)fxf3,0x，6则 .(91)f6 已知偶函数 在 单调递减， ，若 ，则 的取值范围是fx0,20f10fxx.)3,(7 已知偶函数 ()f在区间 ,)单调增加，则满足 ()f (3f的 取值范围是)2,1(8 若偶函数 )(xf在 1,上是增函数，则下列关系式中成立的是（ D ）A)2(23ff B )2(3()fffC 3()f D 19 设偶函数 满足 ，则 x()8(0)fx|()0xf|4x或10 已知函数 是定义在 上的奇函数，且在区间 上单调递减，若fR,，则 的取值范围是_ _310fxx),32(11 已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满足)( 0a，则 的取值范围是（ ）22|1ffaa)2,1(