概率统计练习册习题解答(定).doc

1、习题 1-1 样本空间与随机事件1选择题（1）设 为三个事件，则“ 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ）,ABC,ABC（A） （B） （C） （D）ABCABC（2）设三个元件的寿命分别为 ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能123,T正常工作，事件“系统的寿命超过 ”可表示为（ D ）tA B C D 123Tt123123min,Tt123max,Tt2用集合的形式表示下列随机试验的样本空间 与随机事件 A：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件 A 表示“点数之和大于 10”。解： ； 。,18543他18,2他A（2）对目标进行射击，击中后便停止射

2、击，观察射击的次数；事件 A 表示“射击次数不超过 5 次”。解： ； 。， 2543，（3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是 150.3。现抽查一轴干测量其长度，事件 A 表示测量长度与规格的误差不超过 0.1。 解： ； 。3.015-x; .05-x;A3设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列各事件：（1） A，B，C 都发生： 解： ；（2） A，B，C 都不发生： 解：（3） A 发生，B 与 C 不发生： 解： （或 ） ；CBA（4） A，B，C 中至少有一个发生： 解： （5） A，B，C 中不多于两个发生： 解： ；4设某工人连续生产了 4 个零件，

3、 表示他生产的第 个零件是正品（ ） ，试用 表示iAi 4,321iiA下列各事件：（1）只有一个是次品； 4321432143214321 A（2）至少有一个次品； （3）恰好有两个是次品；432143214321432143214321 AA AA（4）至多有三个不是次品； 。习题 1-2 随机事件的概率及计算1填空题（1）已知 ， ， ，则 0.6， 0.4，BA4.0)(P6.0)(B)(AP)(B0.6， 0.2 ， 0 ， 0.4。)(A（2）设事件 与 互不相容， ，则 = 0.3 ， = 0.6 ().,().3()()PA。（3）盒子中有 10 个球，其中 3 个红球，接连

4、不放回抽取五次，第一次抽到红球的概率 0.3 ，第三次抽到红球的概率 0.3 。（4）一批产品由 45 件正品、5 件次品组成，现从中任取 3 件产品，其中恰有 1 件次品的概率为=0.2526。350241C（5）某寝室住有 6 名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为。72.01842!62选择题（1）如果 与 互不相容，则（C ）AB(A) (B) (C ) (D) ABAB（2）设 、 是任意两事件，则 （ B、C ） 。(P(A) (B) )(P )()(P(C) (D) ABAB（3）如果 ，则（ C ）()0(A) 与 互不相容 (B) 与 互不相容(C) (D) ()

5、(PAB()()PABP（4）设 10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则在前 3 个购买者中恰有一人中奖的概率为( D )(A) (B) 0.3 (C) 7/40 (D) 21/40.072310C(5) 两个事件 与 是对立事件的充要条件是（ C ）AB（A） （B）)()(P 1)(0)(BAP且（C） （D）且 3一批晶体管共 40 只，其中 3 只是坏的，今从中任取 5 只，求（1）5 只全是好的的概率； （2）5 只中有两只坏的的概率；（3）5 只中至多有一只坏的概率。解：（1） =0.6624 540371Cp（2） =0.0354 540237（3） =0.9

6、6354037137Cp4向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为 0.025，炸中其余两个军火库的概率各为 0.1。只要炸中一个另外两个必然爆炸，求军火库发生爆炸的概率。解：设 分别表示击中第一、二、三个军火库爆炸，D 表示军火库爆炸，BA,易知事件 互不相容，且 ，C025.)(AP1.0)(CPB则 25.1)()( P5两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两艘轮船停靠泊位的时间分别为 1 个小时和 2 个小时。求有一艘轮船停靠泊位时需要等待的概率。解：设 分别为甲、乙船到达时刻，甲停靠时间为 1 小时，乙停靠时间为 2 小时，yx,40设 “

7、一艘轮船停靠泊位时需要等待” ，则 发生当且仅当 ，AA10xy20y1206597.3241)( P习题 1-3 条件概率1选择题：（1）设 A，B 为两个相互对立事件，且 ， ，则( C )。0)(AP)B（A） （B） （C） （D）0)(P)(0)(BPA（2）已知 ， ， ，则( )。3.5.015.)(（A） （B） （C） （D）)( BPA(PA)(（3）设 ， ， ，则下列结论正确的是（ ） 。8.0)P7.8.0)(（A） ； （B） ； )()(B（C）事件 与事件 相互独立； （D） 事件 与事件 B 对立。A（4）设 ， ， ，则（ ） 。1)(0AP1)(0B1)(

8、)(BAP（A） 事件 与 互不相容； （B ）事件 与 对立；（C） 事件 与 不相互独立； （D）事件 与 相互独立。（5）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 p，第二道工序的废品率为 q，则该零件加工的成品率为（ ）（A） （B ） （C） （D）1pq1pq1q(1)p（6）对于任意两个事件 ，以下结论正确的是（ ） 。 A和（A）若 则 一定独立。 （B）若 则 有可能独立。, ,AB（C）若 则 一定独立。 （D）若 则 一定不独立。B2填空题:(1) 设事件 A， B 相互独立且互不相容，则 =_.)(,min(BPA(2) 已知 若 互不相容，则 . ；若 相互

9、独,6.0)(,5.0)(P、 BA、立，则 . .(3) 已知 ， ， ， =_._.)(A)(B8.)(A)(BP(4) 某人独立射击三次，其命中率为 0.8，则三次中至多击中一次的概率为 _0.104_.(5) 对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别为 0.4，0.5，0.7。则三次射击中恰好有一次击中目标的概率_0.36_。3在 10 只晶体管中有 7 只正品，3 只次品。现不放回的抽取两次，每次一只，求下列事件的概率。（1）两只都是正品；（2）至少有一只次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二只是次品；（5）第二次才是次品。解：设 表示第 i 次取出

10、次品，则iA（1） （2）157960)(21P 1589607)(1)(221 APAP（3） 57903（4） 103)()212AA（5） 37901P4已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品，从甲箱任取 3 件放入乙箱，然后再从乙箱中任取一件产品，求该产品为次品的概率。解 设 “从乙箱中取出的是次品” ， “从甲箱中取出的三件中恰有 个次品” .3AiBi0,12i由全概率公式001122()(|)(|)(|)PBAPAPBA)(33BAP.63261033236 CC415已知一批产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格

11、品被误认为是次品的概率是 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是 0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率.解 设 “任取一产品，经检查是合格品” ，A“任取一产品确是合格品” ，B则 ()(|)(|)PBPA，0.968.045.928所求概率为 .|60(|) 9()4A6玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：（1）顾客买下该箱的概率 ；（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率 .解 设 “顾客买下该箱”

12、 ， “箱中恰有 件残次品” ， ，ABi0,12i（1） 0011()(|)(|)(|)PAPABPAB；441982020.8.9C（2） .0()(|)5.BPA7为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统 A 与 B，每种报警系统都使用时，对系统 A 其有效的概率是 0.92，对系统 B 其有效的概率为 0.93，在 A 失效的条件下，B 有效的概率为 0.85.求：（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。解：设 “报警系统 A 有效 ”， “报警系统 B 有效”则 （1） 98.015.80)(1)()( APBP（2）因为： 62

13、.392.8.07.5)(1)()( BPAABP8一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 80/81，求该射手的命中率.解 设该射手的命中率为 ，由题意p， ，401()41()83p所以 .23p习题 2-1 随机变量及其分布函数1试说明下列函数能否为某随机变量的分布函数.10,()sin2,.xFxx20,0,()ln(1),.xFx解： 是； 不是，因为 .1()x2()2()012设随机变量 的分布函数为X,4(),1,.xFxabx且 ，试求：（1）常数 的值；（2） 。()2P,(2)PX解：(1) 由于 ，即 .(1)(limxF(1)li4xab又 .1(

14、)(0)2PX1li()xab由上两式知 .3,8ab(2) .11(21)(0)(2lim()2xPXFab习题 2-2 离散型随机变量1 填空题(1) 设随机变量 的分布律为: ，试确定 。X,NakXPN，,21_1a(2) 一批产品共 100 个，其中有 10 个次品，从中放回取 5 次，每次取一个，以 表示任意取出的X产品中的次品数，则 的分布为 。(,0.)B(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是 ，以p表示射击的次数，则 的分布律为 。X .,21,)1()(1kkXP2. 将编号为 的四个球随机地放入 个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以

15、表1,2343 X示放球最多的盒子中球的个数，试求 的分布列及其分布函数 .X()Fx解： ； ； .12123434()CPX13428()7CP134)27CPX0, ,2233()86,4,721,.3xFxx3 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为 0.3 的泊松分布,试问(1) 在一周内恰好发生 2 次交通事故的概率是多少？(2) 在一周内至少发生 1 次交通事故的概率是多少？解：设一周内发生交通事故的次数为 X，则 。3.0P（1） 。03.!23.0.eXP（2） 。259.01!.1)(1)( 3.3.0e4某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为 ，现购买 张彩票，试求：

16、（1） 此人中奖.的概率；（2）至少有 张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算） 。3解：设中奖的彩票数为 ，则 .X(20,1)B:（1） .20()1().9864P（2）由于 ，故0.(3)1()(1)(2)PXPX.022503!e习题 2-3 连续型随机变量1. 设连续型随机变量 的密度函数为X2,01,(),axxf其 他 .试求：（1）常数 的值；（2）随机变量 的分布函数；（3） 。aX3()2PX解：（1）由于 . 故 .120111()()32afxdaxdx 3（2）当 时， ；0xF当 时， ；12301()xtd当 时， ；2x12 2011()()xFttx当 时，

17、.故， 320,0,11(),21, .xxFx（3） .132211313()()2 6PXxdxd2. 设连续型随机变量 的分布函数为 , 0)(xeAF， ，试求：（1）系数 A；（2） 的密度函数；（3） 。X(13)PX解：（1）由 知， 。1)(F Aexxx lim)(li（2） .0,;(exf（3） 。3131)1(3)1( eeFXP3. 设 K 在(0，5)内服从均匀分布 , 求方程 有实根的概率。0242Kx解：所求的概率为： 2 52(160)1320.KPdx或4. 某种型号的电子管寿命 (以小时计)具有以下概率密度X，21010xfx， 其 他现有一大批此种管子（

18、设各电子管损坏与否相互独立）, 任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于1500 小时的概率是多少？解： 。15023)1( dxXP从而所求概率为。5415505 1331 CC5. 设连续型随机变量 ， （1）求 ；（2）确定常数 C4XN（ ， ） ,2XPP使 。P解：（1） 5328.0.1)()5.0()1(2352( 231.1.6972XPX（2）由于 ，从而， 。cPc2c故 。所以， ,故 。 2310X033c6设连续型随机变量 ，证明：对一切实数 ， 有()E:0st。|)()PstXP证明：由于 ，从而其分布函数为()X0,()10.xFe故，对一切实数 ， ，0s

19、t(,)()(|)PXstPXstPX()1()1()sttFte。()sePXs习题 2-4 二维随机变量及其分布1一箱子装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件，10 件，10 件。现从中随机抽取一件，记1,0X若 抽 到 一 等 品 ,其 他 .210X， 若 抽 到 二 等 品 ,， 其 他 .试求 的联合分布列。),(21解：2设随机变量 ，随机变量(2,)ZU:1,;ZX1,.ZY试求 的联合分布列。(,)XY解：由 知其密度函数为(2,)ZU:1,2,4()0.zfz其 他；12(1(1,)()4PXYPZPZdz；,)；1(,)()2z。211,)14PXYPZPZd 3. 完成下列表格YX 1y2y3y.ip1x0.1 0.1 0.2 0.420.2 0.2 0.2 0.6.jp0.3 0.3 0.4 14设二维随机变量 的联合密度函数为：),(YX，201,2(,)xcyxyfy他求：（1）常数 ；（2） ；（3） 和 的边缘密度函数。PYXY解：（1） 10 2,xcydxc 1312121280,0.;, .10,0.PXPX。12,0;PX