解析傅里叶变换.doc

1、 本科毕业论文（设计）题 目 解析傅里叶变换2013 年 4 月 30 日解析傅里叶变换西南大学电子信息工程学院，重庆 400715摘要：傅里叶变换的实质就是将信号分解成不同频率复指数信号的叠加，由于复指数信号在 LTI 系统中的响应十分简单，且傅里叶变换具有多种极其有用的性质使得傅里叶变换在信号分析中得以广泛运用。信号的傅里叶变换有多种形式，且各种变换间具有很强联系：如非周期信号的周期性扩展，其傅里叶级数是原信号傅里叶变换的等间隔采样；若离散序列由连续信号周期取样得到，则离散序列的 DTFT 是连续信号 FT 以取样频率进行周期性扩展后的尺度变换。为了用计算机对信号进行傅里叶分析，而引入 D

2、FT，它是对信号时域和频域的采样。各种 FFT 算法的提出大大减少了 DFT 的运算次数，使 DFT 得以广泛应用，并极大促进了数字信号处理技术的发展。关键字：LTI 系统；卷积；傅里叶变换；DFTAnalysis of Fourier TransformLIU ChaoyuanSchool of Electronic and Information Engineering, Southwest China University, Chongqing 400715, ChinaAbstract: The essence of the Fourier transform to signal is

3、 decomposed into different frequency of complex exponential signals, due to the response of complex exponential signals in LTI system is very simple, and the Fourier transform has many useful properties make Fourier transform can be widely used in signal analysis. Signal Fourier transform has many f

4、orms, and has a strong link between each other: such as periodic extension of non-periodic signal, the Fourier series(FS) is the original signal Fourier transform(FT) interval sampling; if the discrete sequence obtained by continuous signal sampling, discrete sequence of DTFT is the scale transform

5、of the continuous signal FT periodic extension by the sampling frequency. In order to use the computer to Fourier analysis of the signal, then introduction the DFT, which is the sampling of the signal in time domain and frequency domain. A Variety of FFT algorithms proposed greatly reducing the numb

6、er of DFT calculations, so DFT can be widely used, and greatly promote the development of digital signal processing technology.Key words: LTI systems;Convolution;Fourier Transform;DFT目录第一章 引言 .11.1 历史背景 .11.2 本文所研究内容 .2第二章 线性时不变系统（LTI 系统） .32.1 线性系统 .32.2 时不变系统 .32.3 LTI 系统对信号的响应 .42.3.1 卷积 .42.3.2

7、LTI 系统对复指数信号的响应 .6第三章 傅里叶变换 .73.1 连续与离散 .73.1.1 离散时间序列 .83.1.2 连续时间复指数信号与离散时间复指数信号 .83.2 连续时间周期信号与离散时间周期信号的傅里叶级数(FS) .103.3 连续时间傅里叶变换（FT）与离散时间傅里叶变换（DTFT） .123.3.1 连续时间傅里叶变换 .123.3.2 离散时间傅里叶变换 .143.4 连续时间傅里叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系 .163.5 连续信号的离散化处理过程 .183.6 离散时间信号的采样与抽取 .20第四章 数字信号处理 .244.1 周期序列的离散傅里叶级数 .2

8、44.2 离散傅里叶变换（DFT） .244.2.1 频率域采样 .264.2.2 循环卷积 .284.2.3 基于 DFT 的信号频谱分析 .314.3 快速傅里叶变换 FFT.32第五章 总结 .36参考文献： .37致谢： .370第一章 引言1.1 历史背景傅里叶变换是大家所熟悉的一种变换，又是一种令人感到陌生的变换！随着信号从模拟信号到数字信号，信号处理从模拟信号处理到数字信号处理，18世纪末和 19 世纪初诞生的傅里叶变换发生了巨大的变化。傅里叶变换的丰富和发展，极大地促进了信息科学的丰富和发展。现代的信息科学和技术也离不开傅里叶变换的理论和方法 1。关于傅里叶分析方法的建立有过一

9、段漫长的历史 2，它涉及到很多人的工作和许多不同物理现象的研究。1753 年 D伯努利曾经声称：一根弦的实际运动都可以用标准振荡模式的线性组合来表示。但是，他并没有继续从数学上进行深入探讨；同时，在当时他的想法也并未被广泛接受。1759 年 J.L.拉格朗日也曾强烈批评使用三角级数来研究振动弦运动的主张。他反对的论据是基于他自己的信念，即不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数。在 1807 年 J.B.J.傅里叶完成了一项研究，他发现在表示一个物体的温度分布时，成谐波关系的正弦函数级数是非常有用的。另外，他还断言：任何周期信号都可以用这样的级数来表示！？当然这一断言存在一定的缺陷也并未给出

10、完善的数学证明，但他洞察出这个级数表示法的潜在威力，并且在很大程度上正是由于他的工作和断言，才大大激励和推动了傅里叶级数问题的深入研究。后来于 1829 年 P.L.狄里赫利给出了若干精确的条件，在这些条件下，一个周期信号才能用其傅里叶级数表示。当时，1807 年傅里叶的那篇论文并未公开露面。这是由于拉格朗日顽固地坚持 50 年前就已经提出过的关于拒绝接受三角级数的观点，强烈反对这篇论文的发表。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后 15 年这个论文才

11、被发表出来。当然，拉格朗日也并非全错，因为对于含有间断点的周期信号，傅里叶级数的表示并不能完全等价于原信号，但却能做到无能量上的差别。直到傅里叶的晚年，他才得到某种应有的承认，但是，对他而言最有意义的称赞应该是他的研究成果已经在数学、科学、工程等诸多领域内产生了巨大影响。1如今，傅里叶分析的基本理论已经得到很大的发展。按信号类型的不同，我们可以得到各种不同的傅里叶变换表现形式。然而，也正是由于理论的拓展我们往往很容易就混淆与各种不同的概念之间也很难把握各种傅里叶变换之间的关系。1.2 本文所研究内容关于傅里叶变换的推导研究有很多错综复杂的数学公式和概念之间的联系。从傅里叶级数到傅里叶变换再到离

12、散傅里叶变换，人们在学习过程中总很难明确把握各种变换的概念及其相互之间的关系，而且在学习中也很难剖析出傅里叶变换的本质和它广泛应用的原因。本文从基础出发，简化数学推导，注重概念间的联系，向读者呈现傅里叶变换的内涵及各种变换间的内在联系。本论文的组织结构如下：第 1 章，引言。简要介绍傅里叶变换的历史背景和发展情况。阐述本论文的出发点和体系结构。第 2 章，线性时不变系统（LTI 系统） 。本章介绍线性时不变系统的基本概念；并以离散信号为例，说明信号通过 LTI 系统后的响应，即响应为输入和系统函数的卷积。最后，简要介绍了 LTI 系统对复指数信号的响应，其响应以一个简单的形式呈现，特别强调复指

13、数信号的原因是傅里叶变换的实质就是将信号表示成复指数信号的叠加。第 3 章，傅里叶变换。以连续和离散相对应的方式介绍傅里叶变换的基本内容。包括连续复指数信号和离散复指数信号、连续周期信号和离散周期信号的傅里叶级数、连续时间信号和离散时间信号的傅里叶变换、各傅里叶变换之间的联系。并介绍信号的离散化处理过程和离散信号的采样与抽取以加深对傅里叶变换的认识。第 4 章，数字信号处理。为了用计算机对信号进行傅里叶分析而引入离散傅里叶变换 DFT。本章介绍了 DFT 的引入和其基本内容，它的物理意义是对信号傅里叶变换的有限取样。并介绍了它的一种快速算法。第 5 章，总结。总结本文的工作。2第二章 线性时不

14、变系统（LTI 系统）在了解傅里叶变换之前，我们必须先了解线性时不变系统（LTI 系统） ，它的重要性在于很多理论研究都是基于线性时不变系统而展开；在实际应用中，很多非线性系统都可化简为线性系统的叠加 34。故对 LTI 系统的研究具有普遍意义。LTI 系统作为傅里叶分析中的基本系统对傅里叶变换的研究具有重要意义。设时域离散系统的输入序列为 x(n)，系统输出序列为 y(n)，运算关系用T表示，则输出与输入之间的关系可用下式表示：)()(nxTy（2.1.1）其框图如图 2.1 所示。图 2.1 时域离散系统Figure 2.1 Discrete time-domain system2.1 线

15、性系统线性即为线性叠加，它包含可加性和齐次性。设 和 分别作为系统的输入序列，对应系统输出分别为 和)(1nx2 )(1ny，则线性系统一定满足下面两个公式：2y)()(2121 nynxT（2.1.2）)()(11ay（2.1.3）（2.1.2）表征线性系统的可加性；（2.1.3）表征线性系统的齐次性，式中 为常数。把定义一个线性系统的两个性质结合起来，可以简单地写成：a)()( 2121 nbyanbxaT3（2.1.4）式中 和 为任意常数。ab对于线性系统来说，叠加性质的一个直接结果是：零输入产生零输出，即：在全部时间输入为零，则其输出也恒为零。2.2 时不变系统对于时不变系统的描述可

16、以用输入时移，输出产生同样的时移来描述，换句话说就是系统的特性行为不随时间而变。用公式表示为：)()(00nxTny（2.2.1）其中假设 。)()(xTn同时满足线性和时不变的系统便是线性时不变系统，它是信号分析里最为基础的系统。2.3 LTI 系统对信号的响应2.3.1 卷积卷积 5在傅里叶分析中是一个极其重要的一个概念，它是时域运算和频域运算勾通起来的桥梁。这里也通过卷积的推导过程来加深对 LTI 系统的了解。我们知道一个时域离散信号可以表示成一串移位的单位脉冲序列的线性组合。即：（2.3.1）kknxn)()(对于线性系统，若记 为移位单位脉冲 的响应，根据线性系统h的可加性和齐次性，

17、线性系统的输出可表示为kknhxny)()(（2.3.2）若系统为时不变的，则 与 之间存在一定的关系，即：)(k0nh（2.3.3）4定义系统的单位脉冲序列响应 ，表示 是 LTI 系统当输入为)(0nh)(h时的输出。则由 可完全表征系统的特性。结合（2.3.2）与（2.3.3）)(n)(nh式，得：kknhxy)()(（2.3.4）定义（2.3.4）式为卷积运算，用符号记作：)()(nhxy（2.3.5）所以，综上，可以通俗的表述为：对于 LTI 系统，在已知系统的单位脉冲响应 的情况下，可直接通过计算系统输入 与 的卷积，便能得出系)(nh )(nxh统输出 。用公式表示为：ykknh

18、xnhxy)()()(（2.3.6）傅里叶变换的一个好处就是化卷积运算为乘积运算，简化运算过程。根据卷积定理可得，对于 LTI 系统，若 、 和 分别是系统输入序)(jweX)(jH)(jweY列 、系统单位脉冲响应 和系统输出 的离散时间傅里叶变换。则)(nx)nhny)(jwjjweeY（2.3.7）对比（2.3.6）与（2.3.7）式，可得出另外一种求系统响应的方法 6：如图 2.2 所示，分别求出系统系统输入 与单位脉冲响应 的离散时间傅里)(nx)(nh叶变换 与 ，根据（2.3.7）求出 并对 求傅里叶反变换)(jweX)(jH)(jweYjwe便可求出系统输出响应 。该方法中，将

19、两个信号的卷积转化为它们的傅里ny叶变换相乘这种简单的代数运算，这一点既方便与信号与系统的分析，又大大深化了一个 LTI 系统对施加于它的输入信号响应这一问题的理解。5图 2.2 利用卷积定理计算系统响应原理框图Figure 2.2 The principle frame graph of calculation system response by using convolution theorem式（2.3.6）所示的卷积运算也是通常所说的线性卷积，在离散傅里叶变换（DFT）中要有还将定义一种卷积，为循环卷积。在满足一定条件下可借助计算机，用计算循环卷积的方式计算线性卷积。卷积运算中还有三

20、个重要的性质：交换律、分配律和集合律 7。用式子分别表示为：)()()( 2121 nhnxhnxx（2.3.8）掌握这几种性质与利于加深对 LTI 系统的了解。例如，交换律和集合律结合，我们得出对于多个 LTI 系统级联而成的系统，级联次序无关紧要。2.3.2 LTI 系统对复指数信号的响应傅里叶变换的实质就是将信号分解为不同频率复指数信号的叠加，而 LTI系统对复指数信号有着怎样的响应特性呢？这是本节讨论的内容。在 LTI 系统中，若输入离散时间序列 ，其中 z 为复数，单位脉冲响应为nz。由卷积和可以确定系统输出为：)(nhkknkk zhzhnxhy )()()()(（2.3.9）观察式（2.3.9）发现：一个 LTI 系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号。也就是说：离散时间： nnzHz)(（2.3.10）