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高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全).doc

1、1专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1 【陕西省榆林市第二中学 2018 届高三上学期期中】已知椭圆 的左右焦点分别为,离心率为 ;圆 过椭圆 的三个顶点.过点 且斜率不为 0 的直线与椭圆交于 两点.()求椭圆的标准方程;()证明:在轴上存在定点 ,使得 为定值;并求出该定点的坐标.【答案】 (1) (2)【解析】试题分析:()设圆 过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得 ,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;( )设直线的方程为 ,将方程与椭圆方程联立求得 两点的坐标,计算得 。设 x 轴上的定点为 ,可得,由定值可得需满足 ,解得 可得定点坐标。解得 。椭圆的标准方程为

2、 .()证明:由题意设直线的方程为 ,由 消去 y 整理得 ,设 , ,2要使其为定值,需满足 ,解得 .故定点 的坐标为 .点睛:解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点;(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意2 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知斜率为 k的直线 l经过点 1,0与抛物线 2:Cypx( 0,为常数)交于不同的两点 ,MN,当 12时,弦 MN的长为 45.(1)求抛物线 的标准方程;(

3、2)过点 M的直线交抛物线于另一点 Q,且直线 经过点 ,B,判断直线 Q是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由.【答案】 (1) 24yx;(2)直线 N过定点 1,4【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案;(2)由(1)可设 221,ttt,则 12MNkt,则 1:0Nxty;同理: 22MQtt11:2t.由 ,0在直线 上 t(1) ;由 在直线 上 20t将(1)代入 1212tt (2)将(2)代入 NQ方程 124xtyt,即可得出直线 NQ过定点3(2)设 2221,MtNtQt,则 12=MNtkt,则 1:yxt即 110yt;同理: 220

4、Qyt;11:2Nxt.由 ,0在直线 MN上 t,即 1t(1) ;由 在直线 上 20将(1)代入 1212tt (2)将(2)代入 Q方程 124xtyt,易得直线 NQ过定点 ,43 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知抛物线 :0Cymx过点1,, P是 C上一点,斜率为 的直线 l交 C于不同两点 ,AB( l不过 P点) ,且 AB的重心的纵坐标为 .(1)求抛物线 的方程,并求其焦点坐标;(2)记直线 ,AB的斜率分别为 12,k,求 12k的值.【答案】 (1)方程为 24yx;其焦点坐标为 ,0(2) 120【解析】试题分析;(1)将 ,代

5、入 ymx,得 4,可得抛物线 C的方程及其焦点坐标;(2)设直线 l的方程为 b,将它代入 得 20bx( ) ,利用韦达定理,结合斜率公式以及 PAB的重心的纵坐标 3,化简可 12k 的值;4因为 PAB的重心的纵坐标为 23,所以 12py,所以 py,所以 1px,所以 12112 yxkx,又 121yyx21bbx121x0.所以 120k.4已知椭圆2:()xyCab的短轴端点到右焦点 10F, 的距离为 2()求椭圆 的方程;()过点 F的直线交椭圆 于 AB, 两点,交直线 4lx: 于点 P,若 1AF,2PB,求证: 12为定值【答案】(1) 243xy;(2)详见解析

6、.【解析】试题分析:()利用椭圆的几何要素间的关系进行求解;()联立直线和椭圆的方程,得到关于 或 的一元二次方程,利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.()由题意直线 AB过点 1,0F,且斜率存在,设方程为 1ykx,将 4x代人得 P点坐标为 43k, 由2 13yk,消元得 22840x,设 1,Axy, 2,Bxy,则 0且21223 4kx, 方法一:因为 1PF,所以 11PAF. 同理 224Bx,且 1x与 24异号, 所以 1212 123x51232x 22286434kk0. 所以, 12为定值 .当 12x时,同理可得 120. 所以, 为定值 0.6同理

7、223PBmyF,且 1y与 23my异号, 所以 11212 2 3609m. 又当直线 AB与 x轴重合时, 12, 所以, 12为定值 .【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系,其主要思路是联立直线和椭圆的方程,整理成关于 x或 y的一元二次方程,利用根与系数的关系进行求解,因为直线 AB过点 1,0F,在设方程时,往往设为xmy0,可减少讨论该直线是否存在斜率. 5 【四川省绵阳南山中学 2017-2018 学年高二上学期期中考】设抛物线 C: 24y, F为 C的焦点,过 F的直线 l与 C相交于 ,AB两点.(1)设 的斜率为 1,求 ;(2)求证: O是一个定值.【答案】(1) 8

8、(2)见解析【解析】试题分析:(1)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出;(2)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出;7(2)证明:设直线 l的方程为 1xky,由 1 4xky得 240 12, 1y2,OABx, 11212ky,212443kyy, AB是一个定值.点睛:熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键,考查计算能力,直线方程设成 1xky也给解题带来了方便.6 【内蒙古包头市第三十三中 2016-2017 学年高一下学期期末

9、】已知椭圆 C: 21(0,)xyab的离心率为 3,右焦点为( 2,0).(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过原点 作两条互相垂直的射线,与椭圆交于 A,B 两点,求证:点 O 到直线 AB 的距离为定值.【答案】(1) 21xy,(2) O 到直线 AB 的距离为定值 32.【解析】试题分析:(1)根据焦点和离心率列方程解出 a, b, c;(2)对于 AB 有无斜率进行讨论,设出 A, B 坐标和直线方程,利用根与系数的关系和距离公式计算;8有 OA OB 知 x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得

10、4 m2=3 k2+3 原点到直线 AB 的距离 3d , 当 AB 的斜率不存在时, y ,可得, 13d 依然成立.所以点 O 到直线 的距离为定值 2 . 点睛: 本题考查了椭圆的性质,直线与圆锥曲线的位置关系,分类讨论思想,对于这类题目要掌握解题方法设而不求,套用公式解决7 【四川省成都市石室中学 2017-2018 学年高二 10 月月考】已知双曲线 210xybaa渐近线方程为 3yx, 为坐标原点,点 3,M在双曲线上()求双曲线的方程;()已知 ,PQ为双曲线上不同两点,点 O在以 PQ为直径的圆上,求 22OPQ的值【答案】 ()216xy;() 22113.【解析】试题分析

11、:(1)根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程,代入点 M 的坐标求得参数即可;(2)由条件可得 OP,可设出直线 ,P的方程,代入双曲线方程求得点 ,的坐标可求得23Q。9()由题意知 OPQ。设 直线方程为 ykx,由21 6xyk,解得2263 ky, 222261| 33OPxkk。由 Q直线方程为 1yx.以 代替上式中的 ,可得222266| 3113k。 22222 1+=366kkOPQ。 8 【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学 2018 届高三上学期两校期中联考】已知椭圆 E: 21(0)xyab经过点 P(2,1),且离心率为 2()求椭圆的标准方程;()设 O 为坐

12、标原点,在椭圆短轴上有两点 M, N 满足 O,直线 PM、 PN 分别交椭圆于 A, B探求直线 AB 是否过定点,如果经过定点请求出定点的坐标,如果不经过定点,请说明理由【答案】 (1)218xy;(2)直线 AB 过定点 Q(0,2).【解析】试题分析:(1)根据椭圆的几何性质得到椭圆方程;(2)先由特殊情况得到结果,再考虑一般情况,联立直线和椭圆得到二次函数,根据韦达定理,和向量坐标化的方法,得到结果。10x1+x2= 84kt, x1x2= 48tk, 又直线 PA 的方程为 y1= 1( x2) ,即 y1= 12kxt( x2) ,因此 M 点坐标为(0, 12t) ,同理可知:

13、 N( 0, 2kt) ,当且仅当 t=2 时,对任意的 k 都成立,直线 AB 过定点 Q(0,2). 9 【广西桂林市第十八中学 2018 届高三上学期第三次月考】已知椭圆 2:10xyCab的左,右焦点分别为 12,F.过原点 O的直线 与椭圆交于 ,MN两点,点 P是椭圆 上的点,若 14PMNk,10NM,且 1N的周长为 423.(1)求椭圆 C的方程;(2) 设椭圆在点 P处的切线记为直线 ,点 12,FO在 上的射影分别为 ,ABD,过 作 的垂线交x轴于点 Q,试问 12ABOD是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1) 24xy;(2)1.【解析】试题分析; (1)设 ,Mmn,则 ,Nn, 21mnab,设 0,Pxy, ,APBPynkkxmx,以及 14ABk, 2.ab ,由 FNM,由椭圆的定义可得 243.2ac ,结合 3c ,综合 23可得:

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