1、第二节 方阵的特征值与特征向量内容分布图示 特征值与特征向量的概念 例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 特征值与特征向量的性质 ( 1 ) 例 6 特征值与特征向量的性质 ( 2 ) 例 7 例 8 定理 1 例 9 例 10 例 11 内容小结 课堂练习 习题 4-2 返回内容要点:一、特征值与特征向量定义 1 设 是 阶方阵, 如果数 和 维非零向量 使AnnXAX成立, 则称数 为方阵 的特征值, 非零向量 称为 的对应于特征值 的特征向量（或A称为 的属于特征值 的特征向量）.注：1. 阶方阵 的特征值 ，就是使齐次线性方程组n0)(E有非零解的值, 即满足方程 |A的 都是矩阵
2、的特征值.A称关于 的一元 次方程 为矩阵 的特征方程，称 的一元 次多项式n0|En|)(f为矩阵 的特征多项式.根据上述定义，即可给出特征向量的求法：设 为方阵 的一个特征值，则由齐次线性方程组iA0)(XAEi可求得非零解 ，那么 就是 的对应于特征值 的特征向量，且 的对应于特征值ipi i A的特征向量全体是方程组 的全体非零解。即设 为i 0)(i sp,21的基础解系，则 的对应于特征值 的特征向量全体是0)(XAEi Ai不同时 .spkpk21 sk,(1)0二、特征值与特征向量的性质性质 1 阶矩阵 与它的转置矩阵 有相同的特征值.nATA性质 2 设 是 阶矩阵，则)(i
3、jannnnnaaAEf 2122112|)(|)1()(1 ASakin 其中 是 的全体 阶主子式的和. 设 是 的 个特征值，则由 次代数方程kSAkn,21 n的根与系数的关系知，有(1) ;212 nnaa (2) .|A其中 的全体特征值的和 称为矩阵 的迹, 记为 .Anaa21 A)(Atr性质 3 设 是 阶矩阵,如果)(ijn(1) ),21(|1ianjij或(2) ),21(|1njanij有一个成立, 则矩阵 的所有特征值 的模小于 1, 即Ai),21(|nii定理 1 阶矩阵 的互不相等的特征值 对应的特征向量 线性无n m,1 mp,2关.注：1. 属于不同特征
4、值的特征向量是线性无关的;2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一; 一个特征向量不能属于不同的特征值 .例题选讲：例 1 (讲义例 1) 求矩阵 的特征值和特征向量.153A例 2 (讲义例 2) 设 求 A 的特征值与特征向量 .,31402例 3 (讲义例 3) 求 n 阶数量矩阵 的特征值与特征向量 .aaA 0例 4 试求上三角阵 A 的特征值: .02211nnaa 例 5 令 则,12,01B.123,23AB例 6 (讲义例 4) 试证: n 阶矩阵 A 是奇异矩阵
5、的充分必要条件是 A 有一个特征值为零.注: 此例也可以叙述为：n 阶矩阵 A 可逆 它的任一特征值不为零.例 7 (讲义例 5) 设 是方阵 A 的特征值, 证明(1) 是 的特征值; (2) 当 A 可逆时, 是 的特征值.2A1注：易进一步证明：若 是 的特征值, 则 是 的特征值， 是 的特征值，kA)(A其中 特别地, 设特征多项式 则 是)( 110nnaxxax |,|Ef)(f的特征值, 且Af .0|)1()(121 AAAnnn 例 8 (讲义例 6) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 , 求2.|23|*E例 9 求 3 阶矩阵 的特征值以及相应的线性无关的特征向量组.1例 10 (讲义例 7) 设 和 是矩阵 A 的两个不同的特征值 , 对应的特征向量依次为12和 , 证明 不是 A 的特征向量.1p221p例 11(讲义例 8) 正交矩阵的实特征值的绝对值为 1.注: 的特征值 是特征方程 的根，也是 的根. 的对应特征值A0|E0|EAA的特征向量是齐次方程组 的非零解，也是 的非零解.0)(XAE 0)(XEA课堂练习1.求矩阵 的特征值和特征向量.31A2.求矩阵 的特征值与特征向量.163054
