1、第 31讲 数列求和课前双击巩固1.公式法(1) 公式法 等差数列的前 n项和公式:Sn= = .(其中 a1为首项, d为公差) 等比数列的前 n项和公式:当 q=1时, Sn= ; 当 q1 时, Sn= = .(其中 a1为首项, q为公比) . (2)分组求和法一个数列的通项是由 的数列的通项组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减 . 2.倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列 中,到首末两端等 “距离”的两项的和相等或等于 ,那么求这个数列的前 n项和即可用倒序相加法 . (2) 并项求和法数列 an满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时,运用 求其前 n项和
2、.如通项公式形如 an=(-1)nf(n)的数列 . 3.裂项相消法把数列的通项拆成 ,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和 . 4.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之 构成的,那么求这个数列的前 n项和时即可用错位相减法 . 常用结论1.一些常见的前 n项和公式(1)1+2+3+4+n= .(2)1+3+5+7+2n-1=n2.(3)2+4+6+8+2n=n2+n.2.常用的裂项公式(1) = - .(2) = .(3) = - .题组一 常识题1.教材改编 若数列 的通项公式为 an=2n-1+n,则数列 的前 n项和 Sn= . 2.教材改编
3、若数列 的通项公式为 an= ,则数列 的前 20项和为 . 3.教材改编 若数列 的通项公式为 an=(n-1)2n-1,则数列 的前 n项和 Sn= .题组二 常错题索引:用裂项相消法求和时不能准确裂项;用错位相减法求和时易出现符号错误、不能准确“错项对齐”等错误;并项求和时不能准确分组 .4.设数列 an的前 n项和为 Sn,若 Sn=4n2-1(nN *),则数列 的前 n项和为 . 5.32-1+42-2+52-3+(n+2)2-n= . 6.在数列 an中, a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,nN *,则 S60的值为 . 7.已知数列 an满足 an+1= +
4、,且 a1= ,则该数列的前 2018项的和等于 . 课堂考点探究探究点一 分组求和法求和1 在公差不为零的等差数列 中, a2=4,且 a1,a3,a9成等比数列 .(1)求数列 的通项公式;(2)若 bn=an+ ,求数列 的前 n项和 Tn.总结反思 某些数列在求和时是将数列的通项转化为若干个等差或等比或可求和的数列通项的和或差,从而间接求得原数列的和 .注意在含有字母的数列中要对字母进行讨论 .式题 已知数列 的前 n项和 Sn= (nN *).(1)求数列 的通项公式;(2)设 bn=2n+(-1)nan,求数列 的前 2n项和 .探究点二 错位相减法求和2 在等差数列 中, a2=
5、2,a3+a5=8,在数列 中, b1=2,其前 n项和 Sn满足bn+1=Sn+2(nN *).(1)求数列 , 的通项公式 ;(2)设 cn= ,求数列 的前 n项和 Tn.总结反思 错位相减法求和,主要用于求 anbn的前 n项和,其中 ,bn分别为等差数列和等比数列 . 式题 2017 哈尔滨二模 设 Sn是数列 的前 n项和,已知 a1=3,an+1=2Sn+3(nN *).(1)求数列 的通项公式;(2)令 bn=(2n-1)an,求数列 的前 n项和 Tn.探究点三 裂项相消法求和考向 1 形如 an=3 已知正项数列 满足 a1=1, + - =4,数列 满足 = + ,记 的
6、前n项和为 Tn,则 T20的值为 . 总结反思 数列的通项公式形如 an= 时,可转化为 an= ( - ),此类数列适合使用裂项相消法求和 .考向 2 形如 an=4 2017青岛二模 在公差不为 0的等差数列 中, =a3+a6,且 a3为 a1与 a11的等比中项 .(1)求数列 的通项公式;(2)设 bn= ,求数列 的前 n项和 Tn.总结反思 (1)数列的通项公式形如 an= 时,可转化为 an= - ,此类数列适合使用裂项相消法求和 .(2)裂项相消法求和的基本思路是变换通项,把每一项分裂为两项,裂项的目的是产生可以相互抵消的项 .强化演练1.【考向 1】数列 的通项公式为 an= ,若该数列的前 k项之和等于 9,则 k=( )A.98 B.99C.96 D.972.【考向 1】数列 an的通项公式为 an= (nN *),若该数列的前 n项和为 Sn,则 Sn=( )A. -1B. + - -1C.D.3.【考向 2】若数列 满足 a1=1,且对任意的 m,nN *都有 am+n=am+an+mn,则 + + = ( )A. B.C. D.4.【考向 2】2017成都九校联考 已知等比数列 满足 a1= ,a3a5=4(a4-1).(1)求数列 an的通项公式;(2)若数列 满足 bn=log2(16an),求证:数列 的前 n项和 Sn .
