专训2 三角形的三种重要线段的应用.doc

1、专训 2 三角形的三种重要线段的应用名师点金：三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度认识这三种线段三角形的高的应用找三角形的高类 型 1：1如图，已知 ABBD 于点 B，ACCD 于点 C，AC 与 BD 交于点 E，则ADE 的边 DE 上的高为_，边 AE 上的高为_ (第 1 题)作三角形的高类 型 2：2(动手操作题】画出图中 ABC 的三条高(要标明字母，不写画法 )(第 2 题)求与高相关线段的问题类 型 3：3如图，在ABC 中，BC4，AC5，若 B

2、C 边上的高 AD4.求：(1)ABC 的面积及 AC 边上的高 BE 的长；(2)ADBE 的值(第 3 题)证与高相关线段和的问题类 型 4：4如图，在ABC 中，ABAC，DE AB，DFAC，BGAC，垂足分别为点 E，F，G.求证：DEDFBG.(第 4 题)求与高有关的面积类 型 5：5 【2016淄博 】如图，ABC 的面积为 16，点 D 是 BC 边上一点，且 BD BC，点 G 是 AB 边上一点，点14H 在ABC 内部，且四边形 BDHG 是平行四边形则图中阴影部分的面积是( )21 教育网A3 B4 C5 D6(第 5 题)(第 6 题) (第 7 题)三角形的中线的

3、应用求与中线相关线段的问题类 型 1：6如图，AE 是ABC 的中线，已知 EC4，DE 2，则 BD 的长为( )A2 B3 C4 D67如图，已知 BECE，ED 为EBC 的中线，BD8，AEC 的周长为 24，则ABC 的周长为( )【版权所有：21 教育】A40 B46 C 50 D568在等腰三角形 ABC 中，ABAC，一腰上的中线 BD 将这个三角形的周长分成 15 cm 和 6 cm 两部分，求这个等腰三角形的三边长21*cnjy*com求与中线相关的面积问题类 型 2：9操作与探索：在图中，ABC 的面积为 a.(第 9 题)(1)如图，延长ABC 的边 BC 到点 D，使

4、 CDBC，连接 DA，若ACD 的面积为 S1，则S1_( 用含 a 的式子表示 )；21cnjy(2)如图，延长ABC 的边 BC 到点 D，延长边 CA 到点 E，使 CDBC，AECA，连接 DE，若DEC 的面积为 S2，则 S2_(用含 a 的式子表示)，请说明理由；(3)如图，在图的基础上延长 AB 到点 F，使 BFAB，连接 FD，FE ，得到DEF，若阴影部分的面积为S3，则 S3_(用含 a 的式子表示)三角形的角平分线的应用三角形角平分线定义的直接应用类 型 1：10(1)如图，在ABC 中， D，E，F 是边 BC 上的三点，且1234，以 AE 为角平分线的三角形有

5、_；【(2)如图，已知 AE 平分BAC，且12415，计算3 的度数，并说明 AE 是DAF 的角平分线2(第 10 题)三角形的角平分线与高相结合求角的度数类 型 2：11如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是BAC 的平分线， B 20，C60，求DAE 的度数(第 11 题)求三角形两内角平分线的夹角度数类 型 3：12如图，在ABC 中，BE ，CD 分别为其角平分线且交于点 O.(1)当A60时，求BOC 的度数；(2)当A100时，求BOC 的度数；(3)当A 时，求 BOC 的度数(第 12 题)答案1AB；DC2解：如图(第 2 题)3解：(1)S ABC BCAD 448

6、.12 12因为 SABC ACBE 5BE8，12 12所以 BE .165(2)ADBE4 .165 544证明：连接 AD，因为 SABC S ABD S ADC ，所以 ACBG ABDE ACDF.12 12 12又因为 ABAC，所以 DEDF BG.点拨：“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决5B 点拨：设ABC 的边 BC 上的高为 h，AGH 的边 GH 上的高为 h1，CGH 的边 GH 上的高为 h2，则有 hh 1h 2.SABC BCh 16，S 阴影 S AGH S CGH GHh1 GHh2 GH(h1h

7、 2) GHh.12 12 12 12 12四边形 BDHG 是平行四边形，且 BD BC，GHBD BC.14 14S 阴影 SABC 4.14 (12BCh) 14故选 B.6A7A 点拨：因为AEC 的周长为 24，所以 AECEAC24.又因为 BECE，所以 AEBEACABAC24.又因为 ED 为EBC 的中线，所以 BC2BD2816.所以ABC 的周长为 ABAC BC241640.故选 A.8解：设 ADCDx cm ，则 AB2x cm ，BC (21 4x)cm .依题意，有 ABAD15 cm 或 ABAD6 cm ，则有 2xx15 或 2xx6，解得 x5 或 x

8、2.当 x5 时，三边长为 10 cm，10 cm，1 cm ；当 x2 时，三边长为 4 cm，4 cm，13 cm ，而 4413，故不成立所以这个等腰三角形的三边长为 10 cm，10 cm，1 cm .9解：(1)a(2)2a理由：连接 AD，由题意可知 SABC S ACD S AED a，所以 SDEC 2a，即 S22a.(3)6a10解：(1)ABC 和ADF(2)因为 AE 平分 BAC，所以BAECAE.又因为1215，所以BAE121515 30.所以CAEBAE30，即CAE4330.又因为415，所以315.所以23.所以 AE 是DAF 的角平分线11解：在ABC

9、中，B 20，C 60，所以BAC180B C18020 60100.又因为 AE 是BAC 的平分线，所以BAE BAC 10050.12 12在ABD 中，BBAD BDA 180.又因为 AD 是高，所以BDA90，所以BAD180B BDA 1802090 70.所以DAE BADBAE7050 20.点拨：灵活运用三角形内角和为 180，结合三角形的高及角平分线是求有关角的度数的常用方法12解：(1)因为A60 ，所以ABCACB 120.因为 BE，CD 为ABC 的角平分线，所以EBC ABC，DCB ACB.12 12所以EBC DCB ABC ACB (ABCACB)60 ，

10、12 12 12所以BOC180(EBCDCB)18060 120.(2)因为A100，所以ABCACB 80.因为 BE，CD 为ABC 的角平分线，所以EBC ABC，DCB ACB.12 12所以EBC DCB ABC ACB (ABCACB)40 ，所以BOC 180 (EBCDCB)12 12 12180 40 140.21(3)因为A，所以ABCACB 180.因为 BE，CD 为ABC 的角平分线，所以EBC ABC，DCB ACB.12 12所以EBC DCB ABC ACB (ABCACB)90 ，12 12 12 12所以BOC180(EBCDCB)180 90 .(90 12) 12点拨：第(1)问很容易解决，第(2)问是对前一问的一个变式，第(3)问就是类比前面解决问题的方法用含 的式子表示