专题 圆锥曲线中的最值与范围问题.doc

1、1高三数学专题复习圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。一求距离的最值或范围：例 1.设 AB 为抛物线 y=x2的一条弦，若 AB=4，则 AB 的中点 M 到直线 y+1=0 的最短距离为 ，解析：抛物线 y=x2的焦点为 F（0 ， 41） ，准线为 y= 41，过 A、B、M 准线 y= 41的垂线，垂足分别是 A1、B 1、M 1，则所求的距离 d=MM1+ 3= 2(AA1+BB1) + 3= 2(AF+BF

2、) + 43 2AB+ = 4+ 3= ,当且仅当弦 AB 过焦点 F 时，d 取最小值 ，评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。练习：1、(2008 海南、宁夏理)已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（2，1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（ A ）A. （ 41， 1） B. （ 4，1） C. （1，2） D. （1，2）2、 （2008 安徽文）设椭圆2:1(0)xCab其相应于焦点 (,0)F的准线方程为 4x.（）求椭圆 的方程；（）已知过点 1(,0)F倾斜角为 的直线交椭

3、圆 C于 ,AB两点，求证： 2ABCOS;（）过点 2作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 和 ,DE,求 的最小值解 ：（1）由题意得：22844caab 椭圆 C的方程为218xy(2)方法一：由（1）知 1(,0)F是椭圆 的左焦点，离心率 2e设 l为椭圆的左准线。则 :4lx作 111,AB于， 与 轴交于点 H(如图) 点 A 在椭圆上112F1(cos)HAF21cosAF同理 2B2yO1A2B2A.M1FB02x.1 224coscossABF 。方法二：当 2时，记 tank，则 :()ABykx将其代入方程 28xy 得 22218(1)0k设 1(,)(,)AyB ，则

4、 ,x是此二次方程的两个根.2212()kkx2221 111()()()4yxkxx222 283()4kk.(1)2tan,k 代入（1）式得 cosAB .(2)当 时， 2AB 仍满足（2）式。24cos（3）设直线 的倾斜角为 ，由于 ,DEAB由（2）可得2sAB ， 4sin222411coincosin4DE 当 34于时， ABDE取得最小值 633、我们把由半椭圆 12byax (0)x 与半椭圆 12cxby (0) 合成的曲线称作“果圆” ，其中 c， a， 如图，设点 0F， 1， 2是相应椭圆的焦点， 1A， 2和 1B， 2是“果圆” 与 x， y轴的交点， M是

5、线段21A的中点(1)若 012F 是边长为 1 的等边三角形，求该“果圆”的方程；（2）设 P是“果圆”的半椭圆 12cxby(0) 上任意一点求证：当 P取得最小值时， P在点 12B， 或1A处；（3）若 是“果圆”上任意一点，求 PM取得最小值时点 的横坐标解：（1） 22012()00FcbcFbc， ， ， ， ， ，2202 11b，于是 2223744abc， ，3所求“果圆”方程为 241(0)7xyx ， 241(0)3yx （2）设 ()Pxy， ，则 2| ycaM2 2()1() 04bacxbcxc， ， 012cb， 2|PM的最小值只能在 0或 x处取到即当 取

6、得最小值时， 在点 12B， 或 1A处 （3） |21A，且 和 同时位于“果圆”的半椭圆21(0)xyxab和半椭圆2(0)yxbc上，所以，由（2）知，只需研究 P位于“果圆”的半椭圆2上的情形即可 2| ycaPM 22222 4)()()( cbcax 当2()xc，即 a 时， 2|PM的最小值在 2)(ax时取到，此时 P的横坐标是 2)( 当 acx2)(，即 c时，由于 2|P在 ax时是递减的， 2|PM的最小值在 ax时取到，此时的横坐标是 综上所述，若 2ac ，当 |M取得最小值时，点 的横坐标是 2)(c；若 ca2，当 |P取得最小值时，点 P的横坐标是 a或 c

7、4、已知 P 点在圆 x2+(y-2)2=1 上移动， Q 点在椭圆219xy上移动,试求 |PQ|的最大值。解：故先让 Q 点在椭圆上固定，显然当 PQ 通过圆心 O1时| PQ|最大，因此要求| PQ|的最大值，只要求| O1Q|的最大值.设 Q(x， y)，则| O1Q|2= x2+(y-4)2 因 Q 在椭圆上,则 x2=9(1-y2) 将代入得| O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 87y因为 Q 在椭圆上移动，所以 -1y1，故当 2时，1max3此时 max31P二求角的最值例 2 M， N 分别是椭圆 24y的左、右焦点， l 是椭圆的一条准线，点 P 在 l 上，则

8、MPN 的最大值是 . 解析：不妨设 l 为椭圆的右准线，其方程是 2x，点 )0(,(0yP，直 线PM 和 PN 倾斜角分别为 和 . )0,(),2(4 ,2320tan0yykPM 220tan0yykPN于是 )t(t N 231tat10y3626200y )2,0MPN MPN 即 MPN 的最大值为 .评注：审题时要注意把握 MPN 与 PM 和 PN 的倾斜角之间的内在联系.练习：1、已知椭圆的一个焦点为 F1(0,-2 )，对应的准线方程为 924y，且离心率 e 满足： 24,3成等差数列。（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线 l，使 l 与椭圆交于不同的两点 M、 N，

9、且线段 MN 恰被直线 1x平分，若存在，求出 l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。（1）解：依题意 e 23，2924ac a3， c2 ， b 1， 又 F1(0，2 )，对应的准线方程为 y椭圆中心在原点，所求方程为 219x(2)假设存在直线 l，依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 2x平分直线 l 的斜率存在。 设直线 l： y kx m由 219ykxm消去 y，整理得 ( k29) x22 kmx m290 l 与椭圆交于不同的两点 M、 N，4 k2m24( k29)( m29)0 即 m2 k290 设 M(x1,y1),N(x2,y2) 11x 2k把代入式中得 29

10、()4k， k 3或 k直线 l 倾斜角 ()()33， ，三、求几何特征量代数和的最值例 3.点 M 和 F 分别是椭圆 1925yx上的动点和右焦点，定点 B(2,2).求|MF|+|MB|的最小值. 求 4|MF|+|MB|的最小值.解析：易知椭圆右焦点为 F(4,0)，左焦点 F (-4,0)，离心率 e= 54，准线方程 x= 425.|MF| + |MB| = 10|MF | + |MB| =10（|MF |MB|）10|F B|=102 10. 5故当 M，B，F 三点共线时，|MF|+|MB|取最小值 102 10.过动点 M 作右准线 x= 425的垂线，垂足为 H，则 54

11、|eMF|54H|MF.于是45|MF|+|MB|=|MH|+|MB|HB|= 17.可见，当且仅当点 B、M、H 共线时， |MF|+|MB|取最小值 17.评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。练习：1、点 P 为双曲线 142yx的右支上一点， M， N 分别为 1)5(2yx和 1)5(2yx上的点，则 PM PN的最大值为 .解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点 0,1F和右焦点 0,2F.对于双曲线右支上每一个确定的点 P，连结 PF1，并延长 PF1交 F1于点 Mo.则 PM0为适合条件的最大的 PM

12、，连结 PF2,交 F2于点 No.则 PN0为适合条件的最小的 PN.于是0MPN)1()(1F624)(2故 PM PN 的最大值为 6.评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.2已知 e1， e2分别是共轭双曲线 12byax和 12byax的离心率，则 e1+e2的最小值为 .解析： ,2221ba22e)1(4)( 2211 baee824)(42ba考虑到 02，故得 e. 即 e1+e2的最小值为 .评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.3 （2012 年高考（山东文） ）如图,椭圆 的离心

13、率为 ,直线 和 所围成的矩形2:1(0)xyMab32xaybABCD 的面积为 8.()求椭圆 M 的标准方程;() 设直线 与椭圆 M 有两个不同的交点 与矩形 ABCD 有两个不同:()lyxmR,PQl的交点 .求 的最大值及取得最大值时 m 的值.,ST|PQ解:(I) 矩形 ABCD 面积为 8,即 2334cabe28ab由解得: ,椭圆 M 的标准方程是 . ,1214xy(II) , 2224,5840xyxm设 ,则 , 12(,)()PQ21214,55mx6由 得 . . 22640(4)m5m22284| 55mPQm线段 CD 的方程为 ,线段 AD 的方程为 .

14、 )1xy )1(yx(1)不妨设点 S 在 AD 边上,T 在 CD 边上,可知 . ,2(,21DS所以 ,则 , )3(2)(12mDT 2)3(54mTPQ令 ,则 5(,),5(3tmt 4,21t所以 , )431(3(42ttSTPQ当且仅当 时 取得最大值 ,此时 ; t 253m(2)不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 CD 边上,此时 , 1因此 ,此时 , 2ADT25STPQ当 时 取得最大值 ; 0mSPQ5(3)不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 BC 边上,可知 ,15x由椭圆和矩形的对称性可知当 时 取得最大值 ; 53mSTPQ25综上所述当 和 0 时,

15、 取得最大值 . 53m|S25四、求面积的最值例 4已知平面内的一个动点 P 到直线 34:xl的距离与到定点 )0,3(F的距离之比为 32，点 )21,(A，设动点P 的轨迹为曲线 C.求曲线 C 的方程；过原点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 M， N 两点.求 MAN 面积的最大值.解析：设动点 P 到 l 的距离为 d，由题意 2F根据圆锥曲线统一定义，点 P 的轨迹 C 为椭圆. 23,ace, 可得 ,a 134cab故椭圆 C 的方程为： 142yx若直线 l 存在斜率，设其方程为 kxyl 与椭圆 C 的交点 ),(yx),(2N将 y=kx 代入椭圆 C 的方程 142

16、并整理得 0)(2k. 22121,0kxx于是 21)(| xMN 4)( 21212xxk7222416)1( kk又 点 A 到直线 l 的距离 2|d故 MAN 的面积 41|21kMNS从而 224)(k当 k=0 时， S2=1 得 S=1当 k0 时， S2b0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 .不过2+1xy1210原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.()求椭圆 C 的方程;() 求 ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.【解析】 ()由题: ; (1) 12cea左焦点( c,0)到点 P(2,1)的距离为

17、: . (2) 由(1) (2)可解得:2()1dc0. 所求椭圆 C 的方程为: . 222431ab， ， +43xy()易得直线 OP 的方程: y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. 2 12 A,B 在椭圆上, . 02+1334344ABABBBkxyyxy设直线 AB 的方程为 l:y= (m0), 代入椭圆: . 32x222+13330xmyx -显然 . 222(3)4(3)(1)0m 0, a 245, 故 amin=3 5，得（2a） min=6 5,此时椭圆方程为 1365y.解法 2：设椭圆 92ax=1 与直线 x

18、y+9=0 的公共点为 M(acos, sin92)，则 acos sin+9=0 有解. )cos(92a=9 cos(+ )= 2，| |1 29 a245, a min=3 5，得（2a） min=6 5,此时椭圆的方程 13645yx.解法 3：先求得 F1(3，0)关于直线 xy+9=0 的对称点 F(9,6)，设直线 xy+9=0 与椭圆的一个交点为 M，则2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|FF 2|=6 ，于是(2a) min=6 ,此时易得： a 2=45, b2=36，于是椭圆的方程为 136452yx.评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，在此基础上，灵活合理地运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，寻求恰当的解题方法。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理。六、求参变量的取值范围：例 6、如图，已知某椭圆的焦点是 F1(4，0)、 F2(4，0)，过点 F2并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B，且