全国中考数学一元二次方程压轴题.doc

1、13（2015宜昌，第 22 题 10 分）全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题， 2014 年，某社区共投入 30 万元用于购买健身器材和药品（1）若 2014 年社区购买健身器材的费用不超过总投入的 ，问 2014 年最低投入多少万元购买药品？（2）2015 年，该社区购买健身器材的 费用比上一年增加 50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与 2014 年相同求 2014 年社区购买药品的总费用；据统计，2014 年该社区积极健身的家庭达到 200 户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费 用的 ，与 2014 年相比，如果 2015 年社区内

2、 健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015 年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的 ，求 2015 年该社区健身家庭的户数4（2015湘潭，第 24 题 8 分）阅读材料：用配方法求最值已知 x，y 为非负实数，x+y2 0x+y2 ，当且仅当“ x=y”时，等号成立示例：当 x0 时，求 y=x+ +4 的最小值解： +4=6，当 x= ，即 x=1 时，y 的最小值为 6（1）尝试：当 x0 时，求 y= 的最小值（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小 轿车已成 为越来越多家庭的交通工具，假 设某种小轿车的购车费用为 1

3、0 万元，每年 应缴保险费等各类费 用共计 0.4 万元， n 年的保养、维护费用总和为 万元 问这种小轿车使用多少年报废 最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用= ）？最少年平均费 用为多少万元？18.已知关于 x 的一元二 次方程 x24x+m=0（1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；（2）若方程两实数根为 x1，x2，且满足 5x1+2x2=2，求实数 m 的值19.（2015湖北省咸宁市，第 19题 8 分）已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2=02（1）证明：不 论 m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根20

4、.（2015黄石第 20 题，8 分）解方程组 请阅读下列材料：问题：已知方程 x 2 x10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍解：设所求方程的根为 y，则 y2 x，所以 x y2把 x 代入已知方程，得( )2 10来源:学科网 ZXXKy2 y2 y2化简，得 y 22 y40故所求方程为 y 22 y40来源:学科网这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法” 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） ；（1）已知方程 x 2 x2 0 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_；（2）已知关于

5、x 的一元二次方程 ax 2 bx c0（ a0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数例 5 已知关于 x 的一元二次方程 x 2( a b c)x ab bc ca0，且a b c0（1）若方程有实数根，求证： a， b， c 不能构成一个三角形的三边长；来源:Zxxk.Com（2）若方程有实数根 x0，求证： b c x0 a；（3）若方程的实数根为 6 和 9，求正整数 a， b， c 的值例 6已知方程 x 22 ax a4 0 有两个不同的实数根，方程 x 22 ax k0 也有两个不同的实数根，且其两根介于方程 x 22 ax a40的两根之间

6、，求 k 的取值范围 （8 分） （2014 杭州模拟）阅读下列材料：求函数 的最大值解：将原函数转化成 x 的一元二次方程，得 x 为实数，= =y+40，y4因此，y 的最大值为43根据材料给你的启示，求函数 的最小值2014亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出 300 只粽子，卖出 1 只粽子的利润是 1 元经调查发现，零售单价每降 0.1 元，每天可多卖出 100 只粽子为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降 m（0m 1）元（1）零售单价下降 m 元后，该店平均每天可卖出 只粽子，利润为 元（2）在不考虑其他因素的条件下，当 m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润

7、是 420元并且卖出的粽子更多？（2002甘肃）某企业 1998 年初投资 100 万元生产适销对路的产品，1998 年底将获得的利润与年初的投资的和作为 1999 年初的投资，到 1999 年底，两年共获利润 56 万元，已知1999 年的年获利率比 1998 年的年获利率多 10 个百分点（即：1999 年的年获利率是 1998年的年获利率与 10%的和） 求 1998 年和 1999 年的年获利率各是多少？2已知 ABC 的三边长为 a、 b、 c，关于 x 的方程 x 22( a b )x c 22 ab0 有两个相等的实数根，又 sinA、sin B 是关于 x 的方程( m5 )x

8、 2( 2m5 )x m80 的两个实数根（1）求 m 的值；（2）若 ABC 的外接圆面积为 25，求 ABC 的内接正方形的边长3已知关于 x 的方程 x 2( m n1) x m0（ n0）的两个实数根为 、 ，且 （1）试用含有 、 的代数式表示 m 和 n；（2）求证： 1 ；（3）若点 P（ ， ）在 ABC 的三条边上运动，且 ABC 顶点的坐标分别为A（1，2） ， B（ ，1） ， C（1，1） ，问是否存在点 P，使 m n ？若存在，求12 54出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由5已知关于 x 的一元二次方程 x 22 x a 2 a 0（ a0） （1）证明这个方程

9、的一个根比 2 大，另一个根比 2 小；（2）如果当 a 1，2，3，2011 时，对应的一元二次方程的两个根分别为 1、 1， 2、 2， 3、 3， 2011、 2011，求 1 1 1 1 1 2 的值1 2 1 3 1 3 1 2011 1 201146已知关于 x 的一元二次方程 x 2( a b c)x ab bc ca0，且a b c0（1）若方程有实数根，求证： a， b， c 不能构成一个三角形的三边长；（2）若方程有实数根 x0，求证： b c x0 a；（3）若方程的实数根为 6 和 9，求正整数 a， b， c 的值7已知方程 x 22 ax a40 有两个不同的实数根

10、，方程 x 22 ax k0 也有两个不同的实数根，且其两根介于方程 x 22 ax a40 的两根之间，求k 的取值范围8已知关于 x 的方程 x 24| x|3 k（1）当 k 为何值时，方程有 4 个互不相等的实数根？（2）当 k 为何值时，方程有 3 个互不相等的实数根？（3）当 k 为何值时，方程有 2 个互不相等的实数根？（4）是否存在实数 k，使得方程只有 1 个实数根？若存在，求 k 的值和方程的根；若不存在，请说明理由9已知 x1， x2是关于 x 的一元二次方程 4x 24( m1) x m 20 的两个非零实数根，则 x1与 x2能否同号？若能同号，请求出相应的 m 的取

11、值范围；若不能同号，请说明理由10已知 、 为关于 x 的方程 x 22 mx3 m0 的两个实数根，且( )216，如果关于 x 的另一个方程 x 22 mx6 m90 的两个实数根都在 和 之间，求 m 的值11已知 a 为实数 ， 且关于 x 的二次方程 ax 2( a 21) x a0 的两个实数根都小于 1，求这两个实数根的最大值12求实数 a 的取值范围，使关于 x 的方程 x 22( a1) x2 a60（1）有两个实根 x1、 x2，且满足 0 x11 x24；（2）至少有一个正根13已知 x1、 x2是方程 x 2 mx10 的两个实数根，满足 x1 x2，且 x22（1）求

12、 m 的取值范围；（2）若 2，求 m 的值x2 mx1 m x1 mx2 m14已知关于 x 的方程 x 2( m2) x 0（ m0）m 24（1）求证：这个方程总有两个异号实根；（2）若这个方程的两个实根 x1、 x2满足| x2| x1|2，求 m 的值及相应的x1、 x215已知 ABC 的一边长为 5，另两边长恰是方程 2x 212 x m0 的两个根，5求 m 的取值范围16已知： ， （ ）是一元二次方程 x 2 x10 的两个实数根，设s1 ， s2 2 2，sn n n根据根的定义，有 2 10， 2 10，将两式相加，得( 2 2)( )20，于是，得 s2 s120根据以上信息，解答下列问题：（1）利用配方法求 ， 的值，并直接写出 s1， s2的值；（2）猜想：当 n3 时， sn， sn-1， sn-2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；（3）根据（2）中的猜想，求( )8( )8的值17已知方程( x1)( x 22 x m)0 的三个实数根恰好构成 ABC 的三条边长（1）求实数 m 的取值范围；（2）当 ABC 为直角三角形时，求 m 的值和 ABC 的面积