全等三角形难题集锦(整理).doc

1、11、（1）如图 1，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC求 AEB 的大小；（2）如图 2，OAB 固定不动，保持 OCD 的形状和大小不变，将 OCD绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD 不能重叠），求 AEB 的大小 . CDOABCBDOAE图 1 图 22、（1）如图 1，现有一正方形 ABCD，将三角尺的指直角 顶点放在 A 点处，两条直角边也与 CB 的延长线、DC 分别交于点 E、F请你通过观察、 测量，判断 AE 与 AF 之间的数量关系，并说明

2、理由（2）将三角尺沿对角线平移到图 2 的位置， PE、PF 之间有怎样的数量关系，并 说明理由（3）如果将三角尺旋转到图 3 的位置， PE、PF 之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有， 请说明3、 、 分别是正方形 的边 、 上的点，且 ， ， 为垂足，求证： EFABCD45EAF HEFAHB CHFEDBA4、C 为线 段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作等边 和等边 ，AD 与 BE 交于点ABCDEO，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ以下五个结论： AD=BE； ； AP=BQ； Q/ DE=DP； CP=CQ C

3、PQ 为等边三角形60AOB共有 2 对全等三角形 CO 平分 CO 平分AOEBCD恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上）5、D 为等腰 斜边 AB 的中点，DM DN，DM，DN 分别交 BC，CA 于点 E，F。CRt（1）当 绕点 D 转动时，求证：DE=DF。MN（2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。NMEFACBAABC EDOP Q26、如图， 是正三角形， BDC 是顶角 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别ABC 120BDC交 AB、AC 边于 M、N 两点，连接 MN探究：线段 BM、MN、NC 之间的关系，并加以证明7、点 C 为线段

4、 AB 上一点， ACM， CBN 都是等边三角形，线段 AN，MC 交于点 E，BM，CN 交于点 F。求证：（1）AN=MB .（2）将 ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变， （1）中的结论是否依然成立？ （3）AN 与 BM 相交所 夹锐角是否发生变化。OOFEABA BNCMMCNFE图 图8、复习“全等三角形 ”的知识时，老 师布置了一道作业题：“如图，已知在 中，AB=AC ，P 是 内部任意BCABC一点，将 AP 绕 A 顺时针旋转至 AQ，使 ，连 接 BQ、CP，则 BQ=CP”BCQAP小亮是个爱动脑筋的同学，他通 过对图的分析， 证明了

5、ABQACP，从而证得 BQ=CP 之后，将点 P 移到等腰三角形 ABC 之外，原题中的条件不变， 发现“BQ=CP” 仍然成立，请你就图给出证明9、将一张透明的平行四边形胶片沿 对角线剪开，得到 图中的两张三角形胶片 和 且 ABCDEFABC。将这两张三角形胶片的 顶点 与顶点 重合，把 绕点 顺时针方向旋转，这时 与 相交于点DEFBEDFO当 旋转 至如图 位置，点 ， ， 在同一直线上时， 与 的数量关系是 )(CAC当 继续 旋转至如图位置时， （1）中的结论还成立吗？ 与 存在怎样的数量关系？请说明理由DEF OD310、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图

6、 2 是由它抽象出的几何图形，B，C， E 在同一条直线上，连结 DC（1）请找出图 2 中的全等三角形，并 给予证明（说明：结论中不得含有未 标识的字母）；（2）证明：DC BE图1图2DC EAB11、两个全等的含 30、60角的三角板 ADE 和三角板 ABC 放置在一起， ，90ACBD，E、A、C 三点在一条直线上， 连接 BD，取 BD 中点 M，连接 ME、MC，试判断 EMC 的形状，30ABDE并说明理由12、如图，AD/BC，AD=BC，AE AD，AF AB，且 AE=AD，AF=AB，求证：AC=EF FE DCAB13、如图，AE AB，AD AC，AB=AE， B=

7、 E，求 证：（1）BD=CE；（2）BD CE14、如图，BF AC 于点 F，CE AB 于点 E，且 BD=CD。求证：（1） BDE CDF；（2） 点 D 在 A 的平分线上 DA CBFE15、如图 1，A、E、F、C 在同一条直线上， AE=CF，过 E、F 分别作 DE AC，BF AC，（1）若 AB=CD，试说明 BD 平分 EF；（2）若将 DEC 的边 EC 沿 AC 方向移动变为图 2 时，其余条件不变，BD 是否还平分 EF，请说明理由。416、如图，OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一 对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的

8、方法，解答下列问题：（1）如图 ，在 中， ACB 是直角， B=60，AD、CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线， AD、CE 相交于点ABCF。请 你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图 ，在 中，如果 ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（ 1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。O PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图17、如图 1，点 M 为锐角 内任意一点， 连接 AM、BM、CM以 AB 为一边向外作等边 ，将 BM 绕点 BABC ABE逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN（1）求证： AMBENB；（2

9、）若 AM+BM+CM 的值最小，则称点 M 为 的费尔马点若点 M 为 的费尔马点，试求此时 、ABCABCM、 的度数；BCA（3）小翔受以上启发，得到一个作 锐角三角形费尔马点的简 便方法：如图 2，分 别以 的 AB、AC 为一边向外作等边 ABE 和等 边 ACF，连接 CE、BF，设交点为 M，则点 M 即为 的费尔马点 试说明这种作法的依据18、如图 1，四边形 ABCD 是正方形， M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角 顶点 E在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合），另一条直角 边与 CBM 的平分线 BF 相交于点 F.（1）如图

10、1，当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测 量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ； 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ； 请证 明你的上述两猜想 .（2）如图 2，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N， 使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF 有怎样的数量关系并证明图 1 图 219、如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 BC、CD 的中点， AF、DE 相交于点 G，则可得结论：AF=DE；AF DE.（不需要证明）5（1）如图 2，若点 E、F 不是正方形 A

11、BCD 的边 BC、CD 的中点，但满足 CE=DF.则上面的结论 、是否仍然成立？（请直接回答“成立” 或“ 不成立 ”）（2）如图 3，若点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线 和 DC 的延长线上，且 CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.20、如图 1、图 2、图 3，AOB，COD 均是等腰直角三角形， AOB COD 90，（1）在图 1 中，AC 与 BD 相等吗，有怎 样的位置关系？请说明理由。（2）若 COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗， 还具有那种位置

12、关系吗？为什么？（3）若 COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 3 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？21、如图 1，在 中，BC 边在直线 l 上， AC BC，且 AC = BCEFP 的边 FP 也在直线 l 上， 边 EF 与边 ACABC重合，且 EF=FP（1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜 想 并 写 出 AB 与 AP 所满 足 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 ；（2）将 EFP 沿 直 线 l 向 左 平 移 到 图 14-2 的 位 置 时 ，EP 交 AC 于 点 Q，连 结 AP，BQ猜想并 写 出 BQ

13、与 AP 所满足 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 ，请证 明你的猜想；（3）将 EFP 沿 直 线 l 向 左 平 移 到 图 3 的 位 置 时 ，EP 的 延 长 线 交 AC 的 延 长 线 于 点 Q，连结 AP，BQ你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 还 成 立 吗 ？ 若 成 立 ，给 出 证 明 ；若 不 成 立 ，请说明理由图 1（ F） B C P A（ E）l l P A E B C Q F 图 2l B P A 图 3E F Q C 22、如图所示，在 和 中， ， ， ，且点 ， ， 在一条直线上， 连接ABCDEAC

14、BEDDAEBCBD， ， ， 分别为 ， 的中点BECDMN6（1）求证： BECD； ；ANM（2）在图 的基 础上，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，其他条件不 变，得到图所示的图形请直接写180出（1）中的两个结论是否仍然成立. CENDABM图CAEMB DN图23、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点 ，且 EF 交90EF正方形外角 的平分线 CF 于点 F，求 证：AE=EFDCG经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易 证 ，所以AMCEFA在此基础上，同学们作了进一步的研

15、究：（1）小颖提出：如图 2，如果把 “点 E 是边 BC 的中点” 改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你 认为小颖的观点正确吗 ？如果正确，写出 证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不 变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗 ？如果正确，写出 证明过程；如果不正确，请说明理由A DFC GEB图 1A DFC GEB图 2A DFC GEB图 324、问题背景，如下命题： 如 图 1，在正三角形 ABC 中，N 为 B

16、C 边上任一点，CM 为正三角形外角 ACK 的平分线，若 ，60ANM则 AN=NM。 如图 2，在正方形 ABCD 中，N 为 BC 边上任一点，CM 为正方形外角 DCK 的平分线，若 ，则9AN=NM。 如图 3，在正五边形 ABCDE 中， N 为 BC 边上任一点，CM 为正五边形外角 DCK 的平分线，若 ，180AN则 AN=NM。图 3MN KEDCBA图 2MN KDCBA图 1MKN CBA任务要求：（1）请你证明以上三个命题；7（2）请你继续完成下面的探索： 如图 4，在正 （ 3）边形 ABCDEF中， N 为 BC 边上任一点，CM 为正 边形外角 DCK 的平分线

17、， 问当n n ANM 等于多少度时，结论 AN=NM 成立（不要求证明）. 如图 5，在梯形 ABCD 中， AD BC，AB=BC=CD，N 为 BC 延长线上一点，CM 为 DCN 的平分线，若 ANM= ABC，请问 AN=NM 是否还成立？若成立， 请给予证明；若不成立， 请说明理由.图 5MNDCBA图 4N KF EDCBA25、已知 AOB=90， AOB 的平分线 OM 上有一点 C，将一个三角板的直角顶点与点 C 重合，它的两条直角边分别与 OA、OB 或它们的反向延 长线相交于 D、E。（1）当三角形绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时（如图 1），易证：CD=CE（

18、2）当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，在 图 2 图 3 这两种情况下，上述 结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。 MMMABCDEOABCDEOOEDCBAMMMABCDEOABCDEOOEDCBA26、已知 AB=CD=AE=BC+DE=2， ABC= AED=90，求五边形 ABCDE 的面积27、已知 AE AB，AF AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC BF ABCEFM28、已知 BE，CF 是 的高，且 BP=AC，CQ=AB，试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位置关系ABCBACEFQPD29、已知 E

19、 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 DAE=FAE。求 证： FA8AB CDEF30、已知 PA= ，PB=4，以 AB 为一边作正方形 ABCD，使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧.2（1）如图，当 APB=45时，求 AB 及 PD 的长;（2）当 APB 变化，且其它条件不 变时，求 PD 的最大值，及相应 APB 的大小.31、已知点 是正方形 的边 上一点，点 是 的延长线上一点，且 求证： EABCDFCBEAFDEBF FEDCBA32、以 的边 、 为边分别向外作正方形 和正方形 ，连结 ，试判断 与 面积ABCAABDEACFGEAG之间

20、的关系，并说明理由AGFCBDE33、用两个全等的等边 和 ACD拼成菱形ABCD，把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60ABC角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC 重合.将三角尺绕 点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD相交于点E ，F时， （如图131），通过观察或测量BE，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD的延长线相交于点E，F时（如图132），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.34、在等边 的两边 AB，AC 所在直线上分别有两点 M，N，D 为 外一点，且 ，A

21、BC ABC60MDN， ，探究：当点 M，N 分别爱直线 AB，AC 上移动时，BM ，NC，MN 之间的数量关系及120DD9的周长与等边 的周长 L 的关系AMNABC（1）如图 ，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且 DM=DN 时，BM ，NC，MN 之间的数量关系式_；此时 =_QL（2）如图 ，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且 时 ，猜想（ 1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加DNM以证明；（3）如图 ，当点 M，N 分别在 边 AB，CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=_（用 x，L 表示）35、在等边 中， P 在 延长线上一点，以 PA 为边作等边 ，E

22、C 延长线交 BP 于 M，连接 AM。ABCAAPE求证：（1）BP=CE；（2）EM PM=AM.PBACEM36、在等边 中，点 D 为 直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、C 重合），以 AD 为边作菱形 ADEF（A、D、E、F 按ABC逆时针排列），使 DAF=60，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上 时，求 证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延 长线上且其他条件不变时 ，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并 说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延 长线

23、上且其他条件不变时 ，补全图形，并直接写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系37、在等边 中，过 边上的点 作 ，交 于点 ，在 的延长线上取点 ，使 ，连接ABCDBCG/AGDEDB， ED10（1）求证： ；DACGE（2）过点 作 ，交 于点 ，请你连接 ，并判断 是怎样的三角形，试证明你的结论F/BFAFEF C G A E D B F 38、在等腰 中， ， 是 的中点，过 作 ， ，且 求证：ABCDBCAEDAFAEDFDFECBA39、在等腰 中， ACB 90，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F。求ABCRt证：

24、 ADC BDE ABDEF40、在等腰 中， ACB=90，F 是 AB 的中点，直线 l 经过点 C，分别过点 A、B 作 l 的垂线，即 ，ABCRt CA，EB（1）如图 1，当 CE 位于点 F 的右侧时，求 证： ADCCEB；（2）如图 2，当 CE 位于点 F 的左侧时，求 证：ED=BE-AD；（3）如图 3，当 CE 在 的外部时，试猜想 ED、AD、BE 之间的数量关系，并证明你的猜想ABC41、四边形 ABCD 中，AB=BC， BF 是 ABC 的平分线， AF DC，连接 AC、CF。求证：CA 是 DCF 的平分线。FD AC B42、在四边形 ABCD 中，AC 平分 BAD，CEAB 于 E，且 B+D=180，求证：AE=AD+BE