1、函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。一、几个重要的结论（一）函数 图象本身的对称性（自身对称）)(xfy2、 的图象关于直线 对称。2)(af)(xfyax3、 的图象关于直线 对称。)(xfx4、 的图象关于直线 对称。)(bfaf)(xfy 2)(baxax5、 的图象关于点 对称。xff2)()()(xfy),(6、 的图象关于点 对称。bax,ba7、 的图象关于点 对称。xff2)() )(xfy),(8、 的图象关于点 对称。cbfaff,2cba（二）两个函数的图象对称性（相互对称）
2、（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数 与 图象关于直线 对称。)(xafy)(xafy0x2、函数 与 图象关于直线 对称2a3、函数 与 图象关于直线 对称)(xfy)(xafyx4、函数 与 图象关于直线 对称ab0)()(xba即直线 对称2bx5、函数 与 图象关于 X 轴对称。)(fy)(xf6、函数 与 图象关于 Y 轴对称。x7、函数 与 图象关于原点对称)(xfy)(xf（三）函数的周期性1、 的周期为)(xfTf)(xfyT2、 的周期为bfaf)(aab3、 的周期为)()(xx)(xfy24、 的周期为)(1faffaT5、 的周期为)(xfxf)(xfy26
3、、 的周期为)(1)(faf)(faT37、 的周期为)()(xfxf )(xfy8、 的周期为)(1)(faf)(faT49、 的周期为2xfxf)(xfy610、 有两条对称轴 和 （ 周期)(fyab)(f)(2abT11、 有两个对称中心 和 周期x)0,(, xy12、 有一条对称轴 和一个对称中心 周期)(fyax)0,(b)(f)(4ab13、奇函数 满足 周期 。()(xffxyT14、偶函数 满足 周期 。)(xfy)a)(fa2二、例题讲授例题 1（1）已知 是定义在实数集 R 上奇函数， 时， ，求)(xfy0x12)(xf的解析式。)(f（2）已知 满足 ， 时， ，求
4、 的)(f )1()(fxf)(xf )(xfy解析式。（3）已知奇函数 满足 ， 时， ，求)(fy)()(xff 0212)(xf)18(log2f（4）已知 满足 ， 时， ，求(xfy0)1()(xff 1)(xf的解析式。)(f例题 2（1）已知 ， 求2sin)(xbaxf 1)(f)2(f（2）已知偶函数 )(fy定义域为 R，且恒满足 )(xfx，若方程0)(xf在 4,上只有三个实根，且一个根是 4，求方程在区间 10,8中的根（3）已知 ，求 的值12)(xf )6(5)(5fff例题 3（）设函数 )(xfy的定义域为 R，若 的图象关于 对称，则函数满足 )(xfy1x
5、A、 B、1ff0)2C、 D、)()(xx1()(xff（）函数 1fy与函数 1xy的图象关于关于_对称（）函数 和函数 的图象关于关于_对称)(x)(f（）设函数 )(xfy的定义域为 R，且满足 )1()(xfxf，则 )1(xfy的图象关于_对称。 的图象关于_对称。)2fy（）设函数 )(xfy的定义域为 R，则下列命题中，若 )(xfy是偶函数，则)2(xfy图象关于 y 轴对称；若 )(xfy是偶函数，则 图象关于直线对称；若 )2()(ff，则函数 f图象关于直线 2对称；)(f与 x图象关于直线 2对称，其中正确命题序号为 _。例题2、 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数
6、，其图像关于直线 x=1 对称，对任意 x1,x20, ，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，且 f(1)=a0。（1）求 f( ) 及 f( )4（2）证明 f(x)是周期函数（3）记 an=f(2n+ ),求证：a n=a2121三、自我检测 1、如果函数 f(x)x 2bxc 对任意实数 t 都有 f(2t)f(2t)，那么 A.f(2)f(1)f(4) B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1) D.f(4)f(2)f(1)3、 如果奇函数 f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为 5，那么 f(x)在区间7，3上是A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5C
7、.减函数且最小值为5 D.减函数且最大值为54、 F(x)1 f(x)，(x0)是偶函数，且 f(x)不恒等于 0，则 f(x) 12xA.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数5、 设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0x1，f(x)x，则 f(7.5)( ) A.0.5 B.0.5 C.1.5 D.1.56、 设 f(x)是定义在（ ， +）上的函数，对一切 xR 均有 f(x)+f(x+3)=0，且当1x1 时，f(x)=2x 3，求当 2x4 时，f(x) 的解析式。7、 定义在 上的偶函数 满足 且当 时, .求的单调区间提示： ，)4()2()xffxff( )=f(n )=f +(n1) =f( )f(n1)21n21n21
