北邮数理方程课件 第三章 分离变量法.doc

1、第三章 分离变量法3。2 基础训练3.2.1 例题分析例 1 解下列定解问题：（1）0,2,00,022tt lxxuutluat解：分离变量，即令（2）(,)()xtXTt代入方程（1）中第一式） ，得（3）0)()(2tat（4）x其中 为分离常数。 （2）式代入边界条件（1）中第二式） ，得（5）0)(lX相应的本证值问题为求（6）)(lx的非零解下面针对 的取值情况进行讨论：（1）当 时， （6）式中方程的通解是0（7）()xxXAeB其中 A，B 为积分常数， （7）代入（6）中边界条件，得（8）0lle由（8）得 A=B=0，得 X（x）=0 ，为平凡解，故不可能有 。0(2) 当

2、 时， （6）式中方程的通解是0()AxB由边界条件得 A=B=0，得 X（x）=0 ，为平凡解，故也不可能有 。（3）当 时，上述固有值问题有非零解此时式（6）的通解为02xBAxXsinco)(代入条件（6）中边界条件，得 0,l由于 ，故 ，即0B0cosl),21(2nl从而得到一系列固有值与固有函数 24)(ln),210(1si)( nxlBxXnn与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),()i2co)( tlaDtlaCtTnnn于是，所求定解问题的解可表示为 xlntltltxun n 2)1(si2)1(si)1(s),(0 利用初始条件确定其中的任意常数 ，得nDC,0

3、320)1()1(sin)(lxdlxln故所求的解为 xlntlannltxu 2)1(si2)1(cos)2(3),(03 例 2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦长为 ，被拨开的点在弦长的 ( 为正整数)处，拨开距离为 ，试求解弦的振动，即求l 01nh解定解问题0| )1()(0| )(002ttlxxtulnlhxula解：将 代入原方程及边界条件得)(),(TxXtu20Ta（1） 0()Xl（2）解(2)第一式可得 xDxCxXsincos)(由（2）的第二式得，2ln,31,si)(lxDxXnn将 代入（1）并解得 latnBlatAtT

4、nn sico)(1,si)innttxuxtlll由初始条件得 )1()(0cos0001 lnlxhlatnAnsico1lxlatBlan所以0nB0021010sin)1( )(si20nhdxnlhdxlllAln从而 10202 sincosi)(),(n lxlattxu 例 3 求解细杆的导热问题，杆长 ，两端保持零度，初始温度分布.20/)(|tlbxut解：该问题的定解问题为0|)(02lxxtxtuba（1）令 , 代入(1)第一式可得，)(),(tTxXtu0)( xX（2）)()(2 tTat（3）由(2)得（4）()cosinXxAxBx由(1)第三式可得，0)(t

5、T0)(tTlX0(0)l因 为 所 以由 得 ，)(XA由 ， 得 ， 于是有sin0lBl),321(2nln， ，sinnxXBl22() (1,23)nnatatlnTtCe因此，2(,)sinatlnnxuxtel1i),(2nltalCt将 作 Fourier 展开得2)(lxb12sin)(lxBlxb其中 ),321(cos14i)(302nnbdxltlxBn于是 ),(s3 BCn因此 xlkekblnntxultaknlta1)12(313 1si)(8icos4),( 22例 4 在矩形域 内求 Laplace 方程yax0,（1）022ux的解，使其满足边界条件00b

6、yyaxxuA(2)3解：令 ，代入式(1)，有)(),(YXyxu（4）)(xX（5）0)(y又由边界条件(3)得(6)0)(bY当 时，式(5)的通解为0 yyeCy21)(由式(6)有 021bbeC由此得 ，即式(5)、(6)无非零解021C当 时，式(5)的通解为 01)(AyY由 ，得 0)(01AbY常 数 ）()00y当 时，式(5)的通解为 yBYsincos)(0coin yAy由 得 ，由 得 ，得 ，0)(YB0)(bsbnb或即 ,21(2nb由此可见，本征值为 ),210(2nb本征函数为 ,cos)( yAyYnn将 的值代入式(4)，解得 xDCX00),21(

7、)( nexbnbxnn故问题的一般解为(7)ybneDCxDyYxXyYXyxunbxnbncos)()(),(1010由边界条件 得到0xu0cos10 bynn一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零，故(8),21(0 DCn又由 得Ayuax AybeaDnbanban cos10将 Ay 展开成 Fourier 余弦级数，并比较系数有 21200Aydb故 aD(9)1(coscos220 nAbdynAbeCanban从式(8)和(9)中解得 ),()1(,)1(cos22 banshDbanhAnn 代入式(7)并整理得(10)yxsbanhAxayun co1co2),(12例

8、 5 带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 是垂直的水平架0E设的输电线处在这个静电场中输电线是导体圆柱柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布） 解：化成定解问题，取柱轴为 z 轴，设导线“无限长” ，那么场强和电势都与 z 无关，只需在 x，y 平面上讨论如图 3-2 所示，圆柱在 x，y 平面的截面是圆周 作为静电场的边界，所以我们采用极坐标柱外空间无电荷，电为 半 径 ）a(22势满足二维 Laplace 方程 ，化成极坐标为02yux(1)(1

9、22 a边界条件：导体中的电荷不再移动，说明导体中电势相同，又因为电势具有相对意义，可以把导体的电势当作零，故(2)0au“无穷远”处也为一个边界（圆内则考虑圆心点） ， “无穷远”处静电场仍为匀强静电场 ，0E由于选取了 x 轴平行 ，故有0E0,yxE即 00,cosux因此有(3)0图 3-2 输电线对带电云和大地之间电场的影响分离变量，令 )(),(Ru代入方程(1)，得(4)0(5)2d因为极角具有周期性， 应表示一个点，同一处的 u 应该相同，故有),(),和 ),(2uu即 )()RR所以有 (6)(方程(6)称为自然周期条件方程(4)，(6)构成本征值问题，解之 mBAsinc

10、o)(即 ),210(2方程(5)可以写成(7)22Rmd为欧拉方程作变换 化成常系数线性微分方程，其通解为te)0(1ln0mDCRm于是得到极坐标系中 Laplace 方程的本征解 ln),(00ummmmm DCBAu 1)sicos),(一般解应叠加(8) 10 )sincs(ln),(m mmmDC由边界条件(2)，有 01)sicos(l10 m mmmaDCBAa一个 Fourier 级数为零，各系数为零，即 ,0ln0 mmaDC由此 C20,l于是将解化简为(9) 1 20 1)sincos(ln),(m mmaBAaDu 再由边界条件(3)，对于 略去 及 项，即aln10

11、1lim(cosin)cosmABE比较系数 10(1)mE代入方程（9） ，导体周围的电势分布(10)2000(,)lncoscosauDEa例 6 长为 l 的理想传输线，一端接于电动势为 的交流电源，另一端开路，tvin0求解线上的稳恒电振荡解：经历交流电的许多周期后,初始条件所引起的自由振荡衰减到可以认为已经消失，这时的电振荡完全是由交流电源引起的，所以叫稳恒振荡因此是没有初始条件的问题： 0,102lxtjxxt uevuLCa为了计算方便，将电动势 写成 ，最后将得到的解取虚部tvsin0tj由于振荡完全由交流电源引起，当然可以认为振荡的周期与交流电源相同，即令 tjexXtu)(,(代入方程得 0)()()(22tjtjae即 )()(2xXaxX其通解为 xajxajBeA)(故有 tjxajxajtxu),(由 得tjxevu0(1)0vBA及 lxu