数轴与动点问题探讨.doc

1、 1数轴上的线段与动点问题 1数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数左边点表示的数。 2点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为 a，向左运动 b 个单位后表示的数为 ab；向右运动 b 个单位后所表示的数为 a+b。 3数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。【例题学习】1、已知数轴上有 A、B

2、、C 三点，分别代表24，10，10，两只电子蚂蚁甲、分别从A、C 两点同时相向而行，甲的速度为 4 个单位/秒。问多少秒后，甲到 A、B、C 的距离和为 40 个单位？若乙的速度为 6 个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？在的条件下，当甲到 A、B、C 的距离和为 40 个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。2例 2如图，已知 A、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为20，B 点对应的数为100。1 AB 中点 M 对应的数；现有一只电子蚂蚁 P 从 B 点出发，以 6 个单位/秒的

3、速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点相遇，求 C 点对应的数；若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 D 点相遇，求 D 点对应的数。3例 3已知数轴上两点 A、B 对应的数分别为1，3，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为x。（1）若点 P 到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数；（2）数轴上是否存在点 P，使点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 5？若存在，

4、请求出 x 的值。若不存在，请说明理由？（3）当点 P 以每分钟一个单位长度的速度从 O 点向左运动时，点 A 以每分钟 5 个单位长度向左运动，点 B 一每分钟 20 个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后 P 点到点A、点 B 的距离相等？4例4点 A1、A 2、A 3、A n（n 为正整数）都在数轴上，点 A1在原点 O 的左边，且A1O=1，点 A2在点 A1的右边，且 A2A1=2，点 A3在点 A2的左边，且 A3A2=3，点 A4在点 A3的右边，且 A4A3=4，依照上述规律点 A2008、A 2009所表示的数分别为（ ） 。A2008，2009 B2008，2009

5、C1004，1005 D1004，10045、如图，若点 A 在数轴上对应的数为 a，点 B 在数轴上对应的数为 b，且 a，b 满足a2（b1） 20。 A B （1）求线段 AB 的长； 0（2）点 C 在数轴上对应的数为 x，且 x 是方程 2x1 x2 的根，在数轴上是否存在12点 P，使 PAPBPC，若存在，求出点 P 对应的数；若不存在，说明理由。6、已知线段 AB12，CD6，线段 CD 在直线 AB 上运动， （CA 在 B 的左侧，C 在 D 的左侧）（1）M、N 分别是线段 AC、BD 的中点，若 BC4，求 MN。（2）当 CD 运动到 D 点与 B 点重合时，P 是线

6、段 AB 的延长线上一点，下列两个结论：是定值， 是定值。其中有一个正确，请你作出正确的 1PA + PBPC 2 PA - PBPC选择，并求出其定值。57、观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与 ，3 与 5， 与 ， 与 3. 2264并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：_ .（2）若数轴上的点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为1，则 A 与 B 两点间的距离可以表示为（3）结合数轴求得 的最小值为 ，取得最小值时 x 的取值范围为 23x（4） 满足 的 的取值范围为 41x规律发现专题训练1用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示

7、的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖 4 块；那么第( )个图案中有白色地砖 块。n2.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。 ”如图，在一个边长为 1 的正方形纸版上，依次贴上面积为 ， ， ，2148的矩形彩色纸片（n 为大于 1 的整数） 。请你用“数形结合”的思想，依21数形变化的规律，计算 = 。n28423.有一列数：第一个数为 x1=1，第二个数为 x2=3，第三个数开始依次记为x3，x 4，x n；从第二个数开始，每个数是它相邻两个数和的一半。 （如：x 2= ）31x(1)求第三、第四、第五个数，并写出计算过程； (2)根据（1）的结果，推

8、测 x8= ；(3)探索这一列数的规律，猜想第 k 个数 xk= .（k 是大于 2 的整数）4.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）. 继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到 7 条折痕，那么对折四次可以得到_ 条折痕 .如果对折 n 次，可以得到 条折痕 .第 2 题65. 观察下面一列有规律的数， 根据这个规律可知第 n 个数是 （n 是正整数）,48635,21,836.古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第 24 个三角形数与第 22 个三角形数的差为 。7、观察下面一列数：-1，2，-

9、3，4，-5，6，-7， ，将这列数排成下列形式按照上述规律排下去，那么第 10 行从左边第 9 个数是 .8.探索：一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成 4 部分，三条直线最多可以把平面分成 部分，四条直线最多可以把平面分成 部分，试画图说明；n 条直线最多可以把平面分成几部分？练习巩固】1已知数轴上 A、B 两点对应数分别为2，4，P 为数轴上一动点，对应数为 x。若 P 为线段 AB 的三等分点，求 P 点对应的数。数轴上是否存在 P 点，使 P 点到 A、B 距离和为 10？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由。若点 A、点 B 和 P 点（P 点在原点）同

10、时向左运动。它们的速度分别为 1、2、1 个单位长度/分钟，则第几分钟时 P 为 AB 的中点？2电子跳蚤落在数轴上的某点 K0，第一步从 K0 向左跳一个单位到 K1，第二步由 K1向右跳 2 个单位到 K2，第三步由 K2 向左跳 3 个单位到 K3，第四步由 K3 向右跳 4 个单位到. 16-1514-1312-1110 -9-76-54-32 -1第 8 题7K4按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的 K100 所表示的数恰是 19.94。试求电子跳蚤的初始位置 K0 点表示的数。3、数轴上 A 点对应的数为5，B 点在 A 点右边，电子蚂蚁甲、乙在 B 分别以分别以 2

11、 个单位/秒、1 个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在 A 以 3 个单位/秒的速度向右运动。（1）若电子蚂蚁丙经过 5 秒运动到 C 点，求 C 点表示的数；A B5（2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后 1 秒遇到乙，求 B 点表示的数；A B5（3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为 t 秒，是否存在 t 的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的 2 倍？若存在，求出 t 值；若不存在，说明理由。A 4、三个数 a、b、c 的积为负数，和为正数，且 ，bcacbax则 的值是_ 。 123cbax5、如图，平面内有公共端点的六条射线 OA，OB ， OC， OD， OE， OF，从射线

12、 OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字 1，2，3，4，5，6，7，（1） “17”在射线 _上，“2008”在射线_上（2）若 n 为正整数，则射线 OA 上数字的排列规律可以用含 n 的代数式表示为_ ABDCEFO172839410 5116 1286、已知|ab2|与|a1|互为相互数，试求下式的值 1112207babab例1、分析：如图1，易求得 AB=14，BC=20 ，AC=34设 x 秒后，甲到 A、B、C 的距离和为40个单位。此时甲表示的数为24+4x。甲在 AB 之间时，甲到 A、B 的距离和为 AB=14甲到 C 的距离为10（24+4x）=344x依题意，14

13、+（344x）=40 ，解得 x=2甲在 BC 之间时，甲到 B、 C 的距离和为 BC=20，甲到 A 的距离为4x依题意，20+4x）=40 ，解得 x=5即2秒或5秒，甲到 A、B、C 的距离和为40个单位。是一个相向而行的相遇问题。设运动 t 秒相遇。依题意有，4t+6t=34，解得 t=3.4相遇点表示的数为24+43.4=10.4 （或：1063.4=10.4）甲到 A、B、C 的距离和为 40个单位时，甲调头返回。而甲到 A、B、C 的距离和为40个单位时，即的位置有两种情况，需分类讨论。甲从 A 向右运动2秒时返回。设 y 秒后与乙相遇。此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的

14、数相同。甲表示的数为：24+424y；乙表示的数为：10626y依题意有，24+424y=10626y，解得 y=7相遇点表示的数为：24+424y=44 （或：10626y=44）甲从 A 向右运动5秒时返回。设 y 秒后与乙相遇。甲表示的数为：24+454y；乙表示的数为：10656y依题意有，24+454y=10656y，解得 y=8（不合题意，舍去）即甲从 A 点向右运动2秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为44。例2、分析：设 AB 中点 M 对应的数为 x，由 BM=MA所以 x（20）=100x，解得 x=40 即 AB 中点 M 对应的数为40易知数轴上两点 AB

15、 距离，AB=140，设 PQ 相向而行 t 秒在 C 点相遇，依题意有，4t+6t=120，解得 t=12（或由 P、Q 运动到 C 所表示的数相同，得20+4t=100 6t，t=12）相遇 C 点表示的数为：20+4t=28（或1006t=28）设运动 y 秒，P、Q 在 D 点相遇，则此时 P 表示的数为1006y，Q 表示的数为204y。P、Q 为同向而行的追及问题。依题意有，6y4y=120，解得 y=60（或由 P、Q 运动到 C 所表示的数相同，得204y=1006y，y=60）D 点表示的数为：204y=260 （或1006y=260）例3、解：点 P 到点 A.点 B 的距

16、离相等，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 X91)(xx点 P 为线段 AB 的中点X 为1由 AB=4，若存在点 P 到点 A、点 B 的距离之和为5， P 不可能在线段 AB 上，只能在 A点左侧，或 B 点右侧。P 在点 A 左侧， PA=1x，PB=3x依题意， （1x）+（3x）=5，解得 x=1.5P 在点 B 右侧，PA=x （1）=x+1，PB=x3依题意， （x+1）+ （x3）=5，解得 x=3.5（3）设 x 分钟后点 P 到点 A，点 B 的距离相等；出发 x 分钟后，点 P、A、B 对应的数分别为 -x 、-1-5x 、3-20x ，可列方程：|(-x)-(-1-

17、5x)| = |(-x)-(3-20x)| ，即有：|4x+1| = |19x-3| ，分两种情况讨论： 当 0 x 3/19 时，4x+1 = 3-19x ，解得：x = 2/23 3/19 时，4x+1 = 19x-3 ，解得：x = 4/15 3/19 ；综上可得：2/23 分钟后或 4/15 分钟后，点 P 到点 A，点 B 的距离相等。例4、 分析：如图，点 A1表示的数为1；点 A2表示的数为1+2=1；点 A3表示的数为1+2 3=2；点 A4表示的数为1+2 3+4=2 点 A2008表示的数为1+2 3+42007+2008=1004点 A2009表示的数为1+2 3+420

18、07+20082009=10057、（2）分析： 即 x 与 2 的差的绝对值，它可以表示数轴上 x 与 2 之间的距离。即 x 与-3 的差的绝对值，它也可以表示数轴上 x 与-3 之间的距离。3如图，x 在数轴上的位置有三种可能：图 1 图 2 图 3图 2 符合题意 5、 -3x_ 2_.（3）分析： 同理 表示数轴上 x 与-1 之间的距离， 表示数轴上 x 与-4 之间1x 4x的距离。本题即求，当 x 是什么数时 x 与-1 之间的距离加上 x 与-4 之间的距离会大10于 3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x-1。1.4n+2 2.1-1/2n 3.解：根据上面的分析（1）x

19、3=2x2-x1=23-1=5；x 4=2x3-x2=25-3=7；x 5=2x4-x3=27-5=9；（2）解：x 8=16； (3)2n-1 4.15;2n-1 5.n/n(n+2) 6.45 根 据 所 给 的 数 据 发 现 ： 第 n 个 三 角 形 数 是 1+2+3+n， 则 第 24个 三 角 形 数 与 第 22个三 角 形 数 的 差 为 23+24=47解 答 ： 解 ： 第 24个 三 角 形 ： 1+21+22+23+24，第 22个 三 角 形 ： 1+21+228.90 解：根据每行的最后一个数的绝对值是这个行的行数 n 的平方，所以第9行最后一个数字的绝对值是：99=81，第10行从左边第9个数是：81+9=90故第10行从左边第9个数是90一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成 4 部分，三条直线最多可以把平面分成 7 部分，四条直线最多可以把平面分成 11 部分，可以发现，两条直线时多了 2 部分，三条直线比原来多了 3 部分，四条直线时比原来多了 4 部分，n 条时比原来多了 n 部分因为 n=1，a 1=1+1n=2，a 2=a1+2n=3，a 3=a2+3n=4，a 4=a3+4n=n，a n=an-1+n以上式子相加整理得，a n=1+1+2+3+n=1+（1+2+3+n）=1+n (n+1)/2