高考立体几何压轴题精选.doc

1、高中复习资料数学 1ABCDEFCDF1甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为 a,则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为( )A, 3827a B, 3827a C, 31 D,389a2夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为( )A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:33设二面角 a的大小是 06,P 是二面角内的一点,P 点到 ,的距离分别为

2、1cm,2cm,则点 P 到棱 的距离是( )A, 213cm B, 213cm C, 23c D, 4213cm4如图,E,F 分别是正三棱锥 ABCD 的棱 AB,BC的中点,且 DEEF.若 BC= a,则此正三棱锥的体积是( )A,32aB, 324C, 31 D, 31a5棱长为的正八面体的外接球的体积是( )A, 6 B, 427 C, 823 D, 236若线段 AB 的两端点到平面 的距离都等于 2,则线段 AB 所在的直线和平面 的位置关系是 .7若异面直线 ,ab所原角为 06,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线 ,ab上到 A,B 距离为2 和平共处的两点,当 3EF

3、时,线段 AB 的长为 .8如图(1),在直四棱柱 1ABCD中,当底面四边形 ABCD满足条件 时,有 1AC(注:填上你认为正确的一种条件即可 ,不必考虑所有可能的情形)9如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题 :AB 与 EF 所连直线平行 ; AB 与 CD 所在直线异面 ;MN 与 BF 所在直线成 06; MN 与 CD 所在直线互相垂直 .ABCDABCD图(1) ABE NM 图(2)高中复习资料数学 2AB OCD EOAAB CDPQ其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)10如图,在 ABC中,AB=AC=13,BC=10,DE/BC 分别交 A

4、B,AC 于 D,E.将 DE沿DE 折起来使得 A 到 1,且 DEB为 06的二面角,求 1到直线 BC 的最小距离.11如图,已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC= a(0),PA平面 ABCD,且 PA=1.(1)问 BC 边上是否存在点 Q 使得 PQ QD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点 Q,使得 PQ QD,求这时二面角 Q A的正切.12. 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A (123)、B (345)、C (247)求三角形 ABC 的面积13.在正四棱柱 中， ， 1ABCD12AB为 B1C1 的中点P（1）求直线 AC 与平面 ABP 所成的角；（2）求异面

5、直线 AC 与 BP 所成的角；（3）求点 B 到平面 APC 的距离P高中复习资料数学 3DOB CAPx yz14.如图,正四棱锥 P-ABCD 中，侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 。26（1）求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小 ；（2）若 E 是 PB 中点，求异面直线 PD 与 AE 所成的角的正切值 ；（3）在侧面 PAD 上寻找一点 F 使 EF侧面 PBC，试确定 F 的位置并证明。15：在正方体的 8 个顶点、12 条棱的中点、6 个面的中心及正方体的中心共计 27 个点中，问共线的三点组的个数是多少16.如图，在三棱锥 P ABC 中， AB

6、 BC， AB BC 12PA， 点 O、 D 分别是 AC、 PC 的中点，OP底面 ABC ()求证 OD平面 PAB；() 求直线 与平面 PBC 所成角的正弦17. 如图 1，已知 ABCD 是上下底边长分别为 2 和 6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴3OO1 折成直二面角，如图 2 奎 屯王 新 敞新 疆 （）证明：AC BO 1；PED CBA高中复习资料数学 4（）求二面角 OACO 1 的余弦18.已知圆柱的底面半径为 3，高为 4，A 、B 两点分别在两底面圆周上，并且 AB=5，求异面直线 AB 与轴 OO/之间的距离。19.简单选填题1、已知 ,是平面，m，n 是直线，

7、给出下列命题：若 ， 则 ；若 /,/, 则， n； 如果 与是 异 面 直 线 ， 那 么、 n相交；若 ./,/, 且， 则， 且 其中正确命题的个数是（ ）A4 B3 C2 D12、已知三条不重合的直线 m、 n、 l 两个不重合的平面 ,，有下列命题若 /,/n则；若 /,则且 ll；若 /, 则 ；若 n则,；其中正确的命题个数是 （ ）A1 B2 C3 D43、 、 为两个互相垂直的平面， a、 b 为一对异面直线，下列条件：图 1 A BCDO1O图 2BCDA O1O图 3BCDA yx O1OzA O O/ B 高中复习资料数学 5 a/ 、 b ； a 、 b /； a 、

8、 b ； a/ 、 b /且 a 与 的距离等于 b 与 的距离.其中是 a b 的充分条件的有 （ ）A B C D4、已知三条不重合的直线 m、 n、 l， 两个不重合的平面 ,，有下列命题若 /,/nm则 ； 若 /,/则且 mll ；若 /,则 ； 若 nn则,；其中正确的命题个数是A1 B2 C3 D45、若l、m、n是互不相同的空间直线， ,是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是A若 ， ,lan，则 ln B若 ， la，则 lC若 ln，mn，则 m D若 l ， ，则 6、若二面角 为 ，直线 m，直线 n，则直线 m与 n所成的角取值范围是A B C D7、已知直线 l与

9、平面 成 045角，直线 ，若直线 l在 内的射影与直线 也成 45角，则 与 m所成的角是A30 B45 C60 D908、设正方体 ABCD-A1B1C1D1中 E，F 分别是棱 A1A，B 1B 中点，G 为 BC 上一点，若 C1FEG，则FG1为（ ）A60 B90 C120 D1509、已知三棱锥 中， 00 6,9 AB面 ，点 E、F 分别在 AC、AD 上，使面 EF/且面，则平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的正弦值为 （ ）A B C D 10、从 P 点出发三条射线 PA，PB，PC 两两成 60，且分别与球 O 相切于 A，B，C 三点，若球的体积为 ，则 O

10、P 的距离为（ ）43A B C D22 33211、直线 l与平面 成 45角，若直线 l在 内的射影与 内的直线 m成 45角，则 l与 m 所成的角是（ ）A30 B45 C 60 D9012、一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ ）A8 B6 C4 D13、已知线段 AB 在平面 外，AB 两点到平面 的距离分别是 1 和 3，则线段 AB 中点到平面 的距离是_. 14、正三棱锥 PABC 的四个顶点同在一个半径为 2 的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2 ，则正三棱锥的底面边长是_. 36741,62,3,63(0,)25高中复习资料数学 615、(江苏省启东中学

11、高三综合测试三) 三棱锥 PABC 的四个顶点点在同一球面上，若 PA底面 ABC，底面 ABC 是直角三角形，PA=2, AC=BC=1，则此球的表面积为 。16、四面体 ABCD 中，共顶点 A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为 361、 ，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。答案： 1过顶点 A,V 与高作一截面交 BC 于点 M,点 O 为正四面体的中心 , 1O为底面 ABC 的中心,设正四面体 VABC 的棱长为 m,则 AM= 32=VM, 1M= 36Am,123OAM, 116VO,得 1OVa在 1Rt中, 221A,即 223()()3ama,得 6

12、3m.则 1VO43a,有 20318(sin6)37VABCVO.选 B.温馨提示:正四面体外接球的半径 :内切球的半径 1= :1a.2 3221234:():()()33RR,选 B.3设 PA棱 a于点 A,PM 平面 于点 M,PN平面 于点 N,PA= t, PAM,则0sin(6)2t,得 3cos5in,有 si27或 (舍去),所以 1sintm,选 B.4由 DEEF,EF/AC,有 DEAC,又 AC BD,DEBD=D,得 AC平面 ABD.由对称性得 09BACDBA,于是 2BACDa.高中复习资料数学 73122()34BACDVaa,选 B.5可由两个相同的四棱

13、锥底面重合而成,有 2r,得 ,外接球的体积 342Vr,选 D.6当 2AB时,AB/ ;当 AB时,AB/ 或 AB;当 2AB时,AB/ 或与 斜交.7由 EFF,得 22cosEFE(1)当 0时,有 194,得 ;(2)当 12时,有 2AB,得 6AB.8 ACBD.(或 ABCD 是正方形或菱形等)9将展开的平面图形还原为正方体 NCFEMD,可得只,正确.10解:设 C的高 AO 交 DE 于点 1O,令 x,由 AO= 2135,有 12x,在 AO中, 016,有 2 011cos6AAO得 21()x.当 6时, 1到直线 BC 的最小距离为 6.11解:(1)( 如图)

14、以 A 为原点建立空间直角坐标系,设 BQx,则Q (,0x,P(0,0,1),D (0,)a得 (1,)PQx, (1,0)Da由 PD,有 1,0x,得 2x 若方程有解,必为正数解,且小于 .由 ()4, ,得 2.(i)当 2a时,BC 上存在点 Q,使 PQQD;(ii)当 0时, BC 上不存在点 Q,使 PQ QD.(2)要使 BC 边上有且只有一个点 Q,使 PQ QD,则方程 有两个相等的实根,这时, 2()40,得 2a,有 1x.又平面 APD 的法向量 1()n,设平面 PQD 的法向量为 2(,)nxyz高中复习资料数学 8而 (1,0)QD, (,20)(,1)(0

15、,2)P,由 2n,得 (,),)xyz,解得 ,xyz有 2(1,)n,则12120(12cos, 6n,则 12ta,5所以二面角QPDA的正切为 5.12. 根据向量积的定义可知三角形 ABC 的面积|21sin|21ACBACBSAC由于AB(222)(124)因此421kji4i6j2k于是 1)(|64|21jiABCS13. （1）AB平面 BC1，PC 平面 BC1，AB PC 在矩形 BCC1B1 中，BC=2， BB1=1，P 为 B1C1 的中点，PCPB PC 平面 ABP，CAP 为直线 AC 与平面 ABP 所成的角 PC= ，AC= ，在 RtAPC 中，CAP=

16、30 02直线 AC 与平面 ABP 所成的角为 300 （2）取 A1D1 中点 Q，连结 AQ、CQ ，在正四棱柱中，有 AQBP ，CAQ 为异面直线 AC 与 BP 所成的角 在ACQ 中， 212, 6.ACQCCAQ=60 0 异面直线 AC 与 BP 所成的角为 600 （也可用向量法） （3）过点 B 作 BHAP 于 H， 由题（1） PC平面 ABP，PCBHBH平面 APC BH 的长即为点 B 到平面 APC 的距离在 Rt ABP 中，AB=2 ， 23,.PB14、方法一：（）证明：ABDACV平 面 平 面 平 面 VD平 面平 面 平 面高中复习资料数学 9HD

17、 ABCDOB CAPx yz（）解：取 VD 的中点 E，连结 AE，BEVAD 是正三角形AEVD ，AF= ADAB平面 VAD AB AE32又由三垂线定理知 BEVD因此， 是所求二面角的平面角AB于是， tan3E即得所求二面角的大小为 2arctn15 解答：两端点都为顶点的共线三点组共有 个；两端点都为面的中心共线三点组872共有 6132个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有 138个，且没有别的类型的共线三点组，所以总共有 283149个16.解答 OPABCOABC 平 面 ， ， ， .AP ， ， zOxyz以 为 原 点 ， 射 线 为 非 负 轴 ， 建 立 空

18、间 直 角 坐 标 系 如 图 ，222,0,0,0BaBaCa设 ， 则,.OPh设 ， 则DC 为 的 中 点 ， 212,0,04ODahPAah 又 ，1. .2PAB 平 面,a 7,2h 214,0,a 1,7PBCn可 求 得 平 面 的 法 向 量 210cos, .3ODn OD设 与 平 面 所 成 的 角 为 ， si,0则 210arcn3PB 与 平 面 所 成 的 角 为高中复习资料数学 1017.解答（I）证明 由题设知 OAOO 1，OBOO 1所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB 故可以 O 为原点，OA、OB 、OO 1 所在直线分别为 轴、

19、y 轴、xz 轴建立空间直角坐标系，如图 3，则相关各点的坐标是 A（3，0，0） ，B（0，3，0） ，C（0，1， ）O 1（0，0， ） 3从而 .),(),( 1BCBA所以 ACBO 1 （II）解：因为 所以 BO1OC，由（I）ACBO 1，所以,03CBO1平面 OAC， 是平面 OAC 的一个法向量设 是 0 平面 O1AC 的一1O),(zyxn个法向量，由 得 设二面角,3.0,1 zyzxnA取 3,OACO1 的大小为 ，由 、 的方向可知 ， ，所以 COS1Bn1B， = 即二面角 OACO1 的大小是cosn1B.43|1 .43arcos18. 在圆柱底面上 AOOO /，BO /OO /，又 OO/是圆柱的高，AB=5，所以 d= 。即2异面直线 AB 与轴 OO/之间的距离为 。2319. 答案 15 CBCBD 612 CCBBBCC 13、 1 或 2 14、3 15、6 16、 1