1、2 椭圆常用结论一、椭圆的第二定义 奎 屯王 新 敞新 疆:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 内常数 ，那么这个点的轨)1,0(e迹叫做椭圆 奎 屯王 新 敞新 疆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 就是离心率 奎 屯王 新 敞新 疆 （点与线成对出现，e左对左，右对右）对于 ，左准线 ；右准线 奎 屯王 新 敞新 疆12byaxcaxl21:caxl22:对于 ，下准线 ；上准线 奎 屯王 新 敞新 疆2xycyl21: cyl22:椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 奎 屯王 新 敞新 疆 焦点到准线的距离 （焦参数）cbacp2
2、22二、焦半径圆锥曲线上任意一点 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。M椭圆的焦半径公式：焦点在 轴（左焦半径） ,（右焦半径） ,其中 是离心率 奎 屯王 新 敞新 疆 x01exar02exar焦点在 y 轴其中 分别是椭圆的下上焦点 奎 屯王 新 敞新 疆 1020,MFyFy21,F焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 奎 屯王 新 敞新 疆 可以记为：左加右减，上减下加 奎 屯王 新 敞新 疆 caPc21,推导：以焦点在 轴为例x如上图，设椭圆上一点 ，在 y 轴左边.0,根据椭圆第二定义， ，ePMF1则 02020201 exacxacxec
3、xePF 同理可得 02a三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在 轴为例，x弦 AB坐标： ，abc2,c2,弦 长度： AB2四、若 是椭圆： 12byax上的点. 21,F为焦点，若 21PF，则 21F的面积为 P2tanb.推导：如图 sin212PFSFP根据余弦定理，得=cos212PF= 2121 4)c= 2124PFca= 2124PFb得 cos21= = =in2121PFSFP sinco12bcos1i22tanb五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率 ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为 ,则它的弦长k 12(,)AxyB222
4、11112()4ABxxx2k注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为 ，运用韦达定理来进行计算.1212)yxk当直线斜率不存在是,则 .12ABy六、圆锥曲线的中点弦问题：(1)椭圆中点弦的斜率公式：设 为椭圆 弦 （ 不平行 轴）的中点，则有： 0(,)Mxy21xyabABy2ABOk证明：设 ， ，则有1(,)Axy2(,)B， 两式相减12ABkx12aby得： 整理得：22110ab，即221yx，因为 是弦 的中点，所以21212()ybxa0(,)MxyAB，所以012OMky2ABObka(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法
5、”求解。在椭圆 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ；12byax0(,)Mxy 02yaxb由（1）得2ABOka0221yxbkaOMAB七、椭圆的参数方程 奎 屯王 新 敞新 疆)(sinco为 参 数ba八、共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12bayx的离心率是 )(2bace，方程 tbyax(2是大于 的参0yxMF1 F2OABF PHy0xA数， 的离心率也是 ace 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.0ba例 1、已知椭圆 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为1625yx_例 2、如果椭圆 弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方
6、程是 21369xy例 3、已知直线 与椭圆 相交于 、 两点，且线段1xy21(0)yabAB的中点在直线 ： 上，则此椭圆的离心率为_ABl0例 4、 是椭圆 的右焦点， 为椭圆内一定点， 为椭圆上一动点。F1342yx1,A（1） 的最小值为 PA（2） 的最小值为 F分析： 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 或准线作出来考虑问题。PP解：（1） 设另一焦点为 ，则 (-1,0)连 ,FAF542)(2aaPAF当 是 的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为 4- 。PFAPFA5（2）作出右准线 l，作 交于 ，因 ， ， ， 所以 ，lPH42a32b12c2a， .1ce FPF2,即 PHA当 、 、 三点共线时，其和最小，最小值为AP 3142Axca例 5、求椭圆 上的点到直线 的距离的最小值132yx06yx例 6、椭圆 顶点 A（a，0） ，B（0，b） ，若右焦点 F 到直线 AB的距离等于 ，则椭圆的离心率 e=（ ）A B C D例 7、在椭圆 中，F 1，F 2 分别是其左右焦点，若|PF 1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D
