求圆的轨迹方程.doc

1、1作业：（1）圆 C 与圆 关于直线 对称，则圆 C 的方程为_2(1)xyyx（答： ） ；2（2）圆心在直线 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_3yx（答： 或 ） ；9)()3(221)()1(22yx（4）如果直线 将圆：x 2+y2-2x-4y=0 平分，且不过第四象限，那么 的斜率的取值范围是_l l（答：0，2） ；（5）方程 x2+y x+y+k=0 表示一个圆，则实数 k 的取值范围为_（答： ） ；21k（6）若直线 与圆 切于点 ，则 的值_30aby2410xy(1,)Pab（答：2） ；（7）直线 被曲线 所截得的弦长等于 2x265（答： ） ；45（8）一束

2、光线从点 A(1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是 （答：4） ；（9）已知 是圆 内一点，现有以 为中点的弦所在直线 和直线(,)0Mab22:OyrMm，则2:laxyrA ，且 与圆相交 B ，且 与圆相交/ml lmlC ，且 与圆相离 D ，且 与圆相离（答：C） ；（10）已知圆 C： ，直线 L： 。求证：对 ，直线 L 与圆22(1)5xy10xymRC 总有两个不同的交点；设 L 与圆 C 交于 A、B 两点，若 ，求 L 的倾斜角；求直线 L 中，7截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答： 或 最长： ，最短： ）60121

3、y1x例 1 设方程 ，若该方程表示一个圆，求 m 的取值2 24(3)(1)9xymxym范围及这时圆心的轨迹方程。分析:配成圆的标准方程再求解解：配方得： 22 2()(4)67xy该方程表示圆，则有 ，得 ，此时圆心的轨迹方程为 ，21670m1(,)2341xym2消去 m，得 ，由 得 x=m+324(3)1yx(,1)70,47所求的轨迹方程是 ，2(),注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中 20,47x变式 1 方程 表示圆，求实数 a 的取值范围，并求出其中半径最小的24(1)0axyaxy圆的方程。解：原方程可化为22()4()()aa当

4、 a 时，原方程表示圆。20,a又 222(4)4() ar 当 ，所以半径最小的圆方程为min,a 221xy2、用待定系数法求圆的轨迹方程例 2 求过两点 )4,1(A、 )2,3(B且圆心在直线 0上的圆的标准方程并判断点 )4,2(P与圆的关系分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 与圆的位置关系，只须看点 P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为 22)()(rbyax圆心在 0y上，故 圆的方程为 22)(ryax又该圆过 )4,1(A、

5、)2,3(B两点 224)3(16解之得： a， 0r所以所求圆的方程为 2)1(2yx解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过 )4,(A、 ),3(B两点，所以圆心 C必在线段 AB的垂直平分线 l上，又因为132ABk，故 l的斜率为 1，又 A的中点为 )3,2(，故 的垂直平分线 的方程为：323xy即 01y又知圆心在直线 上，故圆心坐标为 )0,1(C半径 24)(2ACr故所求圆的方程为 1yx又点 )4,2(P到圆心 )0,(的距离为 rCd252 点 P在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的

6、大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例 3 求半径为 4，与圆 相切，且和直线 相切的圆的方程0422yx0y分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：则题意，设所求圆的方程为圆 22)()(rbaC：圆 与直线 相切，且半径为 4，则圆心 的坐标为 或 C0y )4,(1aC)4,(2又已知圆 的圆心 的坐标为 ，半径为 30242yxA2若两圆相切，则 或 73A3C(1)当 时， ，或 (无解)，故可),(1aC22)1()(2214()(a得 02所求圆方程为 ，或 224)()0(yx 224)()0(yx(2)当 时， ，或 (无解

7、)，)4,2aC71214a故 6所求圆的方程为 ，或 224)()6(yx 224)()6(yx说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线 相切且半径为 4，则圆心坐标为 ，且方程形如0)4,(aC224)()(yax又圆 ，即 ，其圆心为 ，半径为 3x 223)1()(yx )1,2(A若两圆相切，则 故 ，解之得 3CA74a 0a4所以欲求圆的方程为 ，或 22)()10(yx 224)()10(yx上述误解只考虑了圆心在直线 上方的情形，而疏漏了圆心在直线 下方的情形另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定

8、圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得 、 、 或 、 、 ；abrDEF（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数. 3、用几何方法求圆的轨迹方程例 4 设圆满足:截 轴所得弦长为 2;被 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1,在满足条件yx、的所有圆中,求圆心到直线 的距离最小的圆的方程。02:xl分析:注意挖掘题目的条件,充分利用圆的几何性质解决问题.解法一:设圆心为 ,半径为 ,则点 到 轴， 轴的距离分别为 ， 。)(baPrPxy|b|a由题设圆 截 轴所得劣弧对的圆心角为 ，知圆 截 轴的弦长为 ，故x90Px2r2

9、b又圆 截 轴所得的弦长为 ,所以有 .从而得 y212ar12又点 到直线 的距离为 ),(baP0yx|5bd所以当且仅当 时上式等号成立,此时 ，从而 取得最小值. 12d解此方程组得由于 知 于是,所求圆的方程是:2brr或 )1()(yx 2)1()(2yx解法二:同解法一得 22| 554abdd得将 代入上式，整理得 1ba245102bd=把它看作 b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即，得 0)5(82d152d所以 有最小值1，从而 有最小值 2将其代入式得2 b24b+2=0.解得 b=1.5将 b=1代入 r2=2b2,得 r2=2.由 r2=a2+1得 a=1

10、.综上 a=1,b=1,r2=2.由 a-2b=1知 a,b同号.于是,所求圆的方程是或 )1()(22yx 2)1()(2yx点拨:求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程，二是代数法,即根据题意设出圆的方程,再利用条件得到有关方程系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程.4、直线与圆的位置关系例 5 在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限、半径为 的圆 与直线 相切于坐xoy2Cyx标原点 ，求圆 的方程。OC解： (1)设圆心坐标为( m， n)（ m0）,则该圆的方程为( x-m)2+(

11、y-n)2=8 已知该圆与直线 y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2 即 =4 2nm又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m 2+n2=8 联立方程和组成方程组解得 nm故 圆的方程为(x+2) 2+(y-2)2=8点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用. 第三部分 课堂练习1.关于 x,y 的方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆的充要条件是 B=0 且 A=C0,D 2+E2-4AF0 2.过点 P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1

12、) 3.若两直线 y=x+2k 与 y=2x+k+1 的交点 P 在圆 x2+y2=4 的内部，则 k 的范围是 15k4.已知圆心为点（2，-3） ，一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是460xy5.直线 y=3x+1 与曲线 x2+y2=4 相交于 A、B 两点，则 AB 的中点坐标是 31,06.方程 表示的曲线是_两个半圆21()xy7.圆 关于直线 的对称圆的方程是4)3(20yx22(4)(3)xy8.如果实数 x、y 满足等式 ，那么 的最大值是 323x9.已知点 和圆 ，求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最短路)1,(A4)7()5(:2yx

13、C6程为_8_10求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2xy3=0 上的圆的方程;解：设圆心 P(x0,y0),则有 ,20202020 )()3()()5(3yxyx解得 x 0=4, y0=5, 半径 r= , 所求圆的方程为(x4) 2+(y5) 2=10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j111. 一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3 y=0 上，且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7解：因圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x3 y=0 上，故设圆方程为 头htp:/w.xjkygcom126t:

14、/.j2(3)()9xbyb又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 ，7则有 + =9b2， 解得 b=1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2|()(故所求圆方程为 或 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j223)()9xy(3)()9点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何关系求 a、 b、 r 或 D、 E、 F. 12.在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切xOy 4xy（1）求圆 的方程；（2）圆 与 轴相交于 两点，圆内的动点 使 成等比数列，求 的取AB， PAOB， ， PAB值范围解：（1）依题设

15、，圆 的半径 等于原点 到直线 的距离，Or34xy即 得圆 的方程为 423r2（2）不妨设 由 即得1212(0)()AxBx， ， ， ， 4， ， ，设 ，由 成等比数列，得 ，()Pxy， PO， ， 222()()xyxyxA即 2()(2)ABxyA， ，224(1).xy7由于点 在圆 内，故PO24.xy，由此得 21y所以 的取值范围为 AB20)，第四部分 作业练习1点 P (a, b ), Q (b+1 , a1) 关于直线 L 对称，则 L 的方程是 x y1=0 2过点 P（2，1）且被圆 x2+y22 x+4y=0，截得的弦长最大的直线的方程是 3x y5=03如

16、果点（4， a）到直线 的距离不大于 3，那么 a 的取值范围是0，10 01344直线 当 k 变动时，所有直线都过定点（3，1） ,0ykx5直线 和直线 平行的充要条件是12)(ayx106或6.方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(tR)表示圆方程，则 t 的取值范围是 17-t7.点 A 是圆 C: 上任意一点,A 关于直线 的对称点也在圆 C 上,则50yax21xy实数 a 的值为-10 8.过圆 x2+y2=4 外一点 P(4，2)作圆的两条切线，切点为 A、 B，则 ABP 的外接圆方程是( x-2)2+(y-1)2=5 9M( 为圆 内异于

17、圆心的一点，则直线 与该圆的位置关),0yx)0(22ayx 20ayx系为相离（填相切、相交、相离）10.设直线 与圆 相交于 、 两点，且弦 的长为 ，则3a22(1)()4yABA30 a11.已知圆 C 过点 A（4,-1）,且与圆 相切于点 B（1,2）,则圆 C2650x的方程为 22513yx812. 25 2()34250xyxyxy若 点 ， 在 直 线 上 移 动 ， 则 的 最 小 值 为13.过点 的直线 将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 的斜1,2l()4 l率 =k14.若圆 上至少有三个不同点到直线 : 的距离为 ,则直线2410xyl0axby2

18、的倾斜角的取值范围是 l 5,215.已知 A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0)求点 D 的坐标,使四边形 ABCD 为等腰梯形.解:设 ，若 ，则 ，易得 D（ ）(,)DxyABCABCK163,5若 ，则由 ，可解得Dk(2,3)故点 D 的坐标为 163(,)25得16.已知 的顶点 A 为（ 3，1） ，AB 边上的中线所在直线方程为 ， 的平BC 61059xyB分线所在直线方程为 ，求 BC 边所在直线的方程40xy解:设 ，由 AB 中点在 上，1(40,)y6590xy可得： ，y 1 = 5，所以 2761 (1,5)B设 A 点关于 的对称点为 ，0xy(,)Ax则

19、有 .故)7,1(1432xy :29650Cy17.已知圆 ： 和圆 ，直线 与圆 相切于点 ；圆 的圆心在射线C2xy2l1(,)2C上，圆 过原点，且被直线 截得的弦长为 20()xy2 43()求直线 的方程；l()求圆 的方程2解：()（法一）点 在圆 上，(1,)21:Cxy直线 的方程为 ，即 lxy0（法二）当直线 垂直 轴时，不符合题意 l当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，即 l l1()ykx10ky9则圆心 到直线 的距离 ，即： ，解得 ，1(0,)Cl2dr2|1|k1k直线 的方程为 l0xy（）设圆 ： ，圆 过原点， 222()()ar(0)a2C25

20、ar圆 的方程为 C5xy圆 被直线 截得的弦长为 ，圆心 到直线 ： 的距离：2l432(,)l20xy|2|51ad整理得： ，解得 或 2802a14 ， 0a圆 ： 2C22()(4)xy18.已知过 A（0，1）和 且与 x 轴相切的圆只有一个，求 的值及圆的方程(,Baa解:设所求圆的方程为 因为点 A、B 在此圆上，20xyDEF所以 ， ，EF,24160Da又知该圆与 x 轴（直线 ）相切，所以由 ，y2040DF由、消去 E、F 可得： ， 22(1)4164aa由题意方程有唯一解，当 时， ；当 时由 可解得 ，,5,Ea0a这时 8,17,6D综上可知，所求 的值为 0

21、 或 1，当 时圆的方程为 ；当 时，圆的a0a28176xy1方程为 245xy19.已知圆 O: 交 轴于 A， B 两点,曲线 C 是以 为长轴,离心率为 的椭圆,其左焦2xAB2点为 F.若 P 是圆 O 上一点,连结 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线于点 Q.()求椭圆 C 的标准方程；()若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 相切；xyOPFQA B第 19题10()试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A、 B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由. 解：()因为 ,所以 c=12,ae则 b=1,即椭圆 的标准方程为C21xy()因为 (1,1),所以 ,所以 ,所以直线 OQ 的方程为 y=2x(7 分)PPFkOQk又椭圆的左准线方程为 x=2,所以点 Q(2,4)所以 ,又 ,所以 ,即 ,1PQkOP1PP故直线 与圆 相切()当点 在圆 上运动时,直线 与圆 保持相切QO证明:设 ( ),则 ,所以 , ,0)xy022200yx01PFykx01OQxky所以直线 OQ 的方程为 01x所以点 Q(2, )0y所以 ,又 ,0220000()()PQxxxkyy 0OPykx所以 ,即 ,故直线 始终与圆 相切1OPQP