点差法求解中点弦问题.doc

1、1点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。【定理 1】在椭圆 （ 0）中，若直线 与椭圆相交于 M、N 两点，点 是弦12byaxabl ),(0yxPMN 的中点，弦 MN 所在的直线 的斜率为 ，则 .lMNk20abxy证明：设 M、N 两点的坐标分别为 、 ，则有 ，),(1yx

2、),(2)2(.1,221 byax)2(1得 .02121byax又.21212axxy.2,12xyxykMN.2abkMN【定理 2】在双曲线 （ 0， 0）中，若直线 与双曲线相交于 M、N 两点，点2bybl是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 的斜率为 ，则 .),(0yxPlMNk20abxy证明：设 M、N 两点的坐标分别为 、 ，则有),(1yx),(2)2(.1,212 byax，得)2(1.02121byax .21212xyx又 .,0212 yxxykMN.20abkMN【定理 3】 在抛物线 中，若直线 与抛物线相交于 M、N 两点，点 是弦 MN)(ml ),

3、(0yxP的中点，弦 MN 所在的直线 的斜率为 ，则 .lMNky02证明：设 M、N 两点的坐标分别为 、 ，则有),(1yx),(2)2(.1,21 mxy，得)2(1).(22121my.)(121又 . .01212,yxkMNmkMN0注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆 1 内一点 P(2,1)作一条直线交椭圆于 A、B 两点，使线段 AB 被 P 点平分，求此直线x216 y24的方程【解】 法一：如图，设所求直线的方程为 y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 21) x28(2 k2k) x4(2 k1

4、) 2160， (*)又设直线与椭圆的交点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 x1、x 2 是(*)方程的两个根，x 1x 2 .82k2 k4k2 1P 为弦 AB 的中点， 2 .解得 k ，所求直线的方x1 x22 42k2 k4k2 1 12程为 x2y40.法二：设直线与椭圆交点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，P 为弦 AB 的中点， x 1 x24，y 1y 22.又A、B 在椭圆上，x 4y 16，x 4y 16.两式相减，得 (x x )4( y y )0，21 21 2 2 21 2 21 2即(x 1 x2)(x1x 2)4(y 1y 2)(y1

5、y 2)0. ，y1 y2x1 x2 x1 x24y1 y2 12即 kAB .所求直线方程为 y1 (x2)，即 x2 y40.12 122、已知椭圆 + =1，求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程【解答】解：设 P（x，y） ，A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） P 为弦 AB 的中点， x 1+x2=2x，y 1+y2=2y则 + =1， + =1，得， = =3，整理得：x+y=0 由 ，解得 x= 所求轨迹方程为：x+y=0 （ x ）3点 P 的轨迹方程为：x+y=0（ x ） ；3、 （2013 秋启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，5 ）的椭圆被直线 3xy

6、2=0 截得的弦的中点的横坐标为 ，则椭圆方程为 =1 【解答】解：设椭圆 =1（ab0） ，则 a2b2=50又设直线 3xy2=0 与椭圆交点为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，弦 AB 中点（x 0，y 0）x 0= ，代入直线方程得 y0= 2= ，由 ，得 ，AB 的斜率 k= = = =3 =1，a 2=3b2联解，可得 a2=75，b 2=25，椭圆的方程为： =1 故答案为： =14、例 1（09 年四川）已知椭圆 （ 0 ）的左、右焦点分别为 、 ，离心率12byaxab1F2，右准线方程为 .2e2() 求椭圆的标准方程；() 过点 的直线 与该椭圆相交于

7、M、N 两点，且 ，求直线 的方程.1Fl 326|2NFl解：（）根据题意，得 . 所求的椭圆方程为 .2,caxe1,cb 12yx（）椭圆的焦点为 、 . 设直线 被椭圆所截的弦 MN 的中点)0,1(F),(2l为 .由平行四边形法则知： .由 得： .),(yxPPFNM22326|2NFM326|PF4 xyDE FO.926)1(2yx若直线 的斜率不存在，则 轴，这时点 P 与 重合， ，与题设l xl)0,1(F4|2| 12FNMF相矛盾，故直线 的斜率存在.由 得： l 2abykMN .xy).(x代入，得 整理，得： .96)(21)(xx 0174592解之得： ，

8、或 .37由可知， 不合题意. ，从而 .x3x3y.1xyk所求的直线 方程为 ，或 .l1y1x6、 （2009 秋工农区校级期末）已知椭圆 的一条弦的斜率为 3，它与直线 的交点恰为这条弦的中点 M，则点 M 的坐标为 【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则 ，两式相减，得 =0， （y 1y2） （y 1+y2）=3（x 1x2） （x 1+x2） ，=3 ，因为直线斜率为 3， =3，两交点中点在直线 x= ，x 1+x2=1，3=31 （y 1+y2） ， = 所以中点 M 坐标为（ ， ） 故答案为：（ ， ） 7、如图，在 中， ，

9、椭圆 C： ，以DEFRt25|,2|,90EDF12byaxE、F 为焦点且过点 D，点 O 为坐标原点。（）求椭圆 C 的标准方程；（）若点 K 满足，问是否存在不平行于 EF 的直线 与椭圆 C 交于l不同的两点 M、N 且，若存在，求出直线 的斜率的取值范围，若不存在，说明|NMl 理由。解：（）略： ，.31E142yx )21,0(K（）分析： ，|N5设 MN 的中点为 H，则 ，此条件涉及到弦 MN 的中点及弦 MN 的斜率，故用“点差法”MNK设 ，直线 的斜率为 （ ，),(),(),(021yxNyxMlk)0则 由得：43212432又 ，则 ，43)()( 02121

10、21 kyxyyxx |NKMMNH ，从而解得 ，点 在椭圆内，则0kxy 2,00kx),(0H且12413422 y 8、已知 是椭圆 不垂直于 轴的任意一条弦， 是 的中点，AB20xyabxPAB为椭圆的中心.求证：直线 和直线 的斜率之积是定值.OABOP证明 设 且 ，12,xy12x则 ， （1） ， （2）21ab2yab得： ，2112x， .2121byxay2121ABbxykxay又 ， ， （定值）.12OPk2ABOPba 2ABOPk二、双曲线1、过点 P(4,1)的直线 l 与双曲线 y 21 相交于 A、B 两点，且 P 为 AB 的中点，求 l 的方程x2

11、4解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y 1， y 1，两式相减得：x214 21 x24 2(x1x 2)(x1x 2)(y 1y 2)(y1y 2)0，P 为 AB 中点， x1x 28，y 1y 22.14 1，即所求直线 l 的斜率为 1，l 方程为 y1x4，即 xy30.y2 y1x2 x12、设 A、B 是双曲线 x2 1 上的两点，点 N(1,2)是线段 AB 的中点，(1)求直线 AB 的方程；y226(2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点，那么 A、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？分析 要证明 A、B、C、D 四点共圆，首先判断圆心

12、所在位置，若 A、B、C 、D 四点共圆，则CD 垂直平分 AB，据圆的性质知，圆心在直线 CD 上，CD 中点 M 为圆心，只要证明|AM| MB|CM| MD|即可解析 (1)依题意，可设直线 AB 方程为 yk(x1)2，由Error! 得(2 k 2)x22k(2 k)x(2 k 2)20设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x 1、x2 是方程的两个不同的实根，所以 2k 20.由韦达定理得，x 1x 2 .由 N(1,2)是 AB 的中点得， 1.2k(2 k)2 k2 x1 x22即 k(2 k)2 k2.解得 k1， 直线 AB 的方程为 yx1.(2)由Error!得 x2

13、2x 30，解得 x13， x21.A(3,4) ，B(1,0)CD 是线段 AB 的垂直平分线，所以 CD 所在直线方程为 yx 3.Error!得 x26x 110.设 C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD 的中点为 M(x0，y0)由韦达定理，得 x3x 46，x 3x411.从而 x0 (x3 x4)3， y0 x036.12|CD|Error! 4 ，2(x3 x4)2 2(x3 x4)2 4x3x4 10|CM|MD |2 .| MA| MB| 2 .10 (x0 x1)2 (y0 y1)2 10A、B 、C、D 四点到 M 的距离相等，所以 A、B、C、D 四点共圆3、已知双

14、曲线的方程为 x2 1.y22试问：是否存在被点 B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦的直线方程，如果不存在，请说明理由分析 易判断出点 B(1,1)在双曲线的外部，不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是 90.解析 解法一：设被 B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为 yk( x1)1，代入双曲线方程 x2 1，y22得(k 2 2)x22 k(k1)x k 22k30. 2k (k1) 24(k 22)(k 22k3)0.解得 k .故不存在被点 B(1,1)所平分的弦k(k 1)k2 2 32解法二：设存在被点 B 平分的弦 M

15、N，设 M(x1，y1)、N(x2，y2)则 x1x 22，y 1y 22，且Error!得(x 1x 2)(x1x 2) (y1y 2)(y1y 2)0.k MN 2，故直 线 MN：y12( x1)12 y1 y2x1 x2由Error! 消去 y 得，2x 24x 30， 80.这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存在点评 由本题可以看到：7如果点 B 在双曲线的内部，则以该点为中点的弦一定存在如果点 B 在双曲线的外部，则以该点为中点的弦有可能不存在因此，点 B 在内部无需检验，点 B 在外部必须检验关于双曲线内部、外部，请看图，双曲线把平面划分开来，图中阴影部分为

16、双曲线内部，另一部分为双曲线外部4、设双曲线 的中心在原点，以抛物线 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线C432xy的右准线 （）试求双曲线 C 的方程； （）设直线 与双曲线 交于 两点，求 ； :21lyx,AB（）对于直线 ，是否存在这样的实数 ，使直线 与双曲线 的交点 关于直线kklC,AB( 为常数 )对称，若存在，求出 值；若不存在，请说明理由4:axyl解：（）由 得 ， ，抛物线的顶点是 ，准线是23)32(2xy3p)0,32(. 在双曲线 C 中， . 321x321,ca.1,22ba双曲线 C 的方程为 .12yx（）由 得： .13,2yx042设 ，则

17、.),(),(21BA2,121xx. 1024)(4| 2k（）假设存在这样的实数 ，使直线 与双曲线 的交点 关于直线 对称，则 是线段 AB 的垂直lC,ABll平分线. 因而 ，从而 . 设线段 AB 的中点为 .由 得：ka141:xkyl ),(0yxP20abxykAB， .30xyk0xy由 得： .,由、得： .410kkxky403,0ykx由 得： ， .又由 得：0xy1322.132y .02)(2kx8直线 与双曲线 C 相交于 A、B 两点， 0，即 6，且 . 符合题意的l )3(842k2k32的值存在， .k2k5、 1 21 ,26 ,0 ,53.yxAx

18、yBCxyFAC在 双 曲 线 的 一 支 上 有 不 同 的 三 点 ， ， ， 与 焦 点的 距 离 成 等 差 数 列 证 明 线 段 的 垂 直 平 分 线 经 过 某 一 点 并 求 出 该 点 坐 标 .2 212112AC1212121212 633, 13, k y 3 6, yyxxx xyx解 :依 题 意 有 ，则 ，故 的 中 垂 线 方 程 为 ，即 由 方 程 知 其 必 .5经 过 定 点 0,三、抛物线1在抛物线 y28x 中，以(1，1) 为中点的弦所在直线的方程是( )Ax4y30 Bx4y30 C4xy 30 D4xy30答案 C ， 解析 设弦两端点为

19、A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 y1y 22.A、B 在抛物 线上，y 8 x1，y 8x 2，两式相减得，(y 1y 2)(y1y 2)8( x1x 2)，21 2 4，直线 AB 方程 为 y14( x1) ，即 4xy30.y1 y2x1 x22若点(3,1)是抛物线 y22 px 的一条弦的中点，且 这条弦所在直 线的斜率为 2，则 p_.答案 2解析 设弦两端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1 y22， p2.3过点 Q(4,1)作抛物线 y2 8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分，求弦 AB 所在的直线方程答案 4x y150解析 解法一：设以 Q 为中点

20、的弦 AB 端点坐标为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有 y 8x 1，21y 8x 2， x 1x 28，y 1y 22. ， 得(y 1y 2)(y1y 2)8( x1x 2)2将代入得 y1y 24(x 1 x2)，即 4 ，k4.y1 y2x1 x2所求弦 AB 所在直线方程为 y14(x4)，即 4xy150.4、 （2004福建）如图， P 是抛物线 C：y= x2 上一点，直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q（）若直线 l 与过点 P 的切线垂直，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程；9（）若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S，与 y 轴交于点 T，试求

21、 的取值范围【分析】 （1）设 M（x 0，y 0） ，欲求点 M 的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点 P，Q 与中点M 的关系结合中点坐标公式求解，（2）欲 的取值范围，可转化为将其表示成某变量的表达式，然后再求此表达式的最值问题，另外，为了化简比例式，一般将线段投影到坐标轴上的线段解决【解答】解：（）设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，M（x 0，y 0） ，依题意 x10，y 10，y 20由 y= x2，得 y=x过点 P 的切线的斜率 k=x1，直线 l 的斜率 kl= = ，直线 l 的方程为 y x12= （ xx1） ，联立消去 y，得 x2+ xx

22、122=0M 是 PQ 的中点x 0= = ，y 0= x12 （x 0x1）消去 x1，得 y0=x02+ +1（x 00） ，PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ +1（x0） 方法二：设 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2） 、M（x 0，y 0） ，依题意知 x10，y 10，y 20由 y= x2，得 y=x过点 P 的切线的斜率 k 切 =x1，直线 l 的斜率 kl= = ，直线 l 的方程为 y x12= （x x1） 方法一：联立消去 y，得 x2+ xx122=0M 为 PQ 的中点，x0= = ，y 0= x12 （x 0x1） 消去 x1，得 y0=x02+

23、 +1（x 00） ，PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ +1（x0） （）设直线 l：y=kx+b ，依题意 k0，b0，则 T（0，b ） 分别过 P、Q 作 PPx 轴，QQx 轴，垂足分别为 P、Q，则 =10由 y= x2，y=kx+b 消去 x，得 y22（k 2+b）y+b 2=0则 y1+y2=2（k 2+b） ，y 1y2=b2 =|b|（ ）2|b| =2|b| =2y1、 y2 可取一切不相等的正数， 的取值范围是（2，+） 5、例（05 全国文 22）设 两点在抛物线 上， 是 AB 的垂直平分线.),(),(1yxBA2xyl（）当且仅当 取何值时，直线 经过抛

24、物线的焦点 F？证明你的结论.21xl（）当 时，求直线 的方程.3,解：（） ， .设线段 AB 的中点为 ，直线 的斜率为 ，则yx2)81,0(4Fp ),(0yxPlk.若直线 的斜率不存在，当且仅当 时，AB 的垂直平分线 为 轴，经过抛物线的021xl 021xy焦点 F.若直线 的斜率存在，则其方程为 ， .l )(ykykAB1由 得： ， .pxkAB0410kxx40若直线 经过焦点 F，则得： ， ，与 相矛盾.l 0018y410y当直线 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点 F.综上所述，当且仅当 时，直线 经过抛物线的焦点 F.21xl（）当 时，3,21x .102,12),183(), 1010 yxBA由 得： .pkAB041k所求的直线 的方程为 ，即l 10)(xy .041yx6、 243(),xyk若 抛 物 线 上 存 在 关 于 直 线 对 称 的 两 点 求 k的 取 值 范 围 .