一元一次方程知识点及经典例题.doc

1、1一、知识要点梳理知识点一：方程和方程的解1.方程：含有_的_叫方程注意：a.必须是等式 b.必须含有未知数。易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用 x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。考法：判断是不是方程：例：下列式子：(1).8-7=1+0 (2).1、 一元一次方程： 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 x 是未知数，a,b 是已知数，且 a0)。要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： （1） 只含有一个未知数； （2） 未知数的次数是 1 次； （3） 整式方程2、方程的解： 判断一个数是否是某方程的解：将其

2、代入方程两边，看两边是否相等知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等。如果 ，那么 ；(c 为一个数或一个式子)。等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。如果 ，那么 ；如果 ，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。即： （其中 m0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程： =1.6，将其化为： =1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。2、解一元一次方程

3、的一般步骤： 解一元一次方程的一般步骤 变形步骤 具 体 方 法 变 形 根 据 注 意 事 项去分母方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质 21不能漏乘不含分母的项；2分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号2去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号乘法分配律、去括号法则1分配律应满足分配到每一项2注意符号，特别是去掉括号移 项把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边等式性质 11移项要变号；2一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边合并同类 项把方程中的同类项分别合并，化成“”的形式（bax）0合并同类项法则合并同类项时，把同类项的系数相

4、加，字母与字母的指数不变未知数的系数化成“1”方程两边同除以未知数的系数 ，得ax等式性质 2 分子、分母不能颠倒要点诠释：理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:a0 时，方程有唯一解 ；a=0，b=0 时，方程有无数个解；a=0，b0 时，方程无解。牛刀小试例 1、解方程（1）y- 52y例 2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程 的解与方程 的解相同，求 m 的值.104x52x例 3 、解方程知识与绝对值知识综合题型解方程： 7|12|x3二、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念1、已知下列各式： 2x51；871；xy； xyx 2；3xy6；5

5、x3y4z0；8；x0。其中方程的个数是( )A、5 B、6 C、7 D、8举一反三：变式 1判断下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x 2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+ =2 （4）2x 2-1=1-2(2x-x2)变式 2已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+60 是一元一次方程，求 a 的值。变式 3（2011 重庆江津）已知 3 是关于 x 的方程 2xa=1 的解,则 a 的值是( )A5 B5 C7 D2类型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形

6、和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。1巧凑整数解方程： 2、举一反三：变式解方程： 2x52 巧去括号解方程： 4、举一反三：4变式解方程：4运用拆项法解方程： 5、5巧去分母解方程： 6、举一反三：变式（2011 山东滨州）依据下列解方程 的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。解：原方程可变形为 (_)去分母，得 3（3x+5）=2(2x-1). (_)去括号，得 9x+15=4x-2. （_）(_),得 9x-4x=-15-2. (_)合并，得 5x=-17. (合并同类项)（_）,得 x= . （_）6巧组合

7、解方程： 7、思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 72 化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数 3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。7巧解含有绝对值的方程： 8、|x2|30思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|m，则 xm 或 xm；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。5举一反三：【变式 1】 （2011 福建泉州）已知方程 ，那么方程的解是 _.；

8、变式 2 5|x|-163| x|-4变式 3 8利用整体思想解方程： 9、思路点拨：因为含有 的项均在“ ”中，所以我们可以将 作为一个整体，先求出整体的值，进而再求 的值。参考答案例 1：解：是方程的是，共六个，所以选 B总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。举一反三1.解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。答案：（1） （2） （3）不是， （4）是2.解析：分两种情况：（1）只含字母 y，则有(a-3)(2a+5)0 且 a-30 （2）只含字母 x，则有 a-30 且(a-3)(

9、2a+5)0 不可能综上， a 的值为 。3.答案：B例 2. 解：移项，得 。合并同类项，得 2x1。系数化为 1，得 x 。举一反三解：原方程可变形为2x56整理，得 8x18(215x)2x5，去括号，得 8x18215x2x5移项，得 8x15x2x5182合并同类项，得9x21系数化为 1，得 x 。例 4 解：去括号，得去小括号，得去分母，得(3x5)88去括号、移项、合并同类项，得 3x21两边同除以 3，得 x7原方程的解为 x7举一反三解：依次移项、去分母、去大括号，得依次移项、去分母、去中括号，得依次移项、去分母、去小括号，得，x48例 5 解：原方程逆用分数加减法法则，得

10、移项、合并同类项，得 。系数化为 1，得 。例 6 解：原方程化为去分母，得 100x(1320x)7去括号、移项、合并同类项，得 120x207两边同除以 120，得 x原方程的解为总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。举一反三【答案】解：原方程可变形为 (_分式的基本性质_)去分母，得 3（3x+5）=2(2x-1). (_等式性质 2_)去括号，得 9x+15=4x-2. （去括号法则或乘法分配律_）(_移项_),得 9x-4x=-15-2. (等式性质 1_)合并，得 5x=-17. (合并同类项)（_ _系数化为 1_）,得 x=

11、 . （等式性质 2）例 7 解：移项通分，得化简，得去分母，得 8x1449x99。移项、合并，得 x45。例 8 解法一：移项，得|x2|3当 x20 时，原方程可化为 x23，解得 x5当 x20 时，原方程可化为(x2)3，解得 x1。所以方程|x2|30 的解有两个：x5 或 x1。解法二：移项，得|x2|3。因为绝对值等于 3 的数有两个：3 和3，所以 x23 或 x23。分别解这两个一元一次方程，得解为 x5 或 x1。举一反三1.【答案】2.解：5| x|-3|x|16-42|x|12|x|6x63.解：|3 x-1|83x-183x1883x9 或 3x-7x3 或例 9

12、解：移项通分，得：化简，得：移项，系数化 1 得：总结升华：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。三、课堂练习一、选择题1、已知下列方程：（1）x-2= ;(2) 0.3x=1;(3) =5x-1;(4) x -4x=3;(5) x=0;(6) x+2y=0.其中x322一元一次方程的个数是（ ）A 2 B 3 C 4 D 52、下列四组变形中，正确的是（ ）A 由 5x+7=0,得 5x= -7 B 由

13、 2x-3=0,得 2x-3+3=0 C 由 =2,得 x= D 由 5x=7,得 x=356x313、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头 2 小时可把空池灌满；单独开乙水龙头3 小时可把空池灌满，若同时开放两个水龙头，灌满空池需（ ）A 小时 B 小时 C2 小时 D3 小时564、下列方程中，是由方程 7x-8=x+3 变形而得到的是（ ）A 7x=x+5 B 7x+5=x C 6x=11 D -8+3=-6x 5、下列方程的变形中，是移项的是（ ）9A 由 3= x，得 x=3 B 由 6x=3+5x，得 6x=5x+3 25 ； 其中一元一次方程的个数是 （ 6x20y） A2

14、 B3 C4 D513、已知关于 的方程 的解是 ，则 的值是 （ x5(21)axx1a） A-5 B-6 C-7 D814、方程 移项后，正确的是 （ 3521） A B x3215xC D 15、方程 ，去分母得 （ 4232x） A B ()(1)123(4)183()xxC D 1248xx6916、甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 km 的两地相向而行，2 小时相遇，若甲比乙每小时多骑 25 km，则乙的时速是 （ ） A125 km B15 km C175 km D 20 km17、某商店卖出两件衣服，每件 60 元，其中一件赚 25，另一件赔 25，那么这两件衣服售出后商店是 （ ） A不赚不赔 B 赚 8 元 C亏 8 元 D 赚 15 元二、填空题：1、圆的周长为 4，半径为 x,列出方程为 。2、已知方程（m-2）x +5=9 是关于 x 的一元一次方程，则 m = .1m3、已知代数式 x+2y 的值是 3，则代数式 2x+4y+1 的值是 。4、3a b 与 2a b 是同类项，则 m = .32m4m64105、若 +（y+1） =0,则 x-y= .yx26、某商品的进价为 250 元，为了减少库存，决定每件商品按标价打 8 折销售，结果每件商品仍获利 10 元，那么原来标价为 。7、当 x= 时， 的值是 0.1528x