1、性质1,按定义计算行列式较麻烦, 因此有必要讨论行列式的性质以简化行列式的计算.,n 阶行列式与它的转置行列式相等.,1.3、行列式的性质,如：,则.,即,由上节例 5 及性质 1 还可知,上三角行列式,下三角行列式,三角行列式,性质2,互换 n 阶行列式的任意两行 ( 列 ) , 行列式仅改变符号.,即,证,这是因为行列式 D 的这两行互换后得 D = D, 从而 D = 0.,如二阶行列式,而,两者异号.,推论1,若 n 阶行列式有两行 ( 列 ) 的对应元素相同, 则行列式为零.,性质3,n 阶行列式D等于它的任意一行 ( 列 )的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。,即,推论1,行列
2、式D某一行 ( 列 ) 元素全为零, 则行列式D0.,推论2,行列式某一行 ( 列 ) 元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和等于零,则,性质4,把行列式的某行(列)的所有元素同乘以数 k , 等于该行列式乘以数 k .,即,由性质 3 可知, 若行列式某行 ( 列 ) 有公因式则可提出来。,例如,右边,上式左边按第二行展开得：,若 行列式D有两行(列)对应元素成比例,则 D0,性质5,例如,则,性质6,若 n 阶行列式的某行(列)的各元素是两个数的和,则该行列式等于两个行列式的和.,例如,如,= 10 ,而,即,证,性质7,把 n 阶行列式的某行 ( 列 ) 的各元素乘以数 k 后加到另一
3、行 ( 列 )的对应元素上去,行列式的值不变.,性质 7 可由性质 6 及性质 5 得出.,如,两者相等.,行列式还有两条推论：,1. 行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应相同，则 D = 0 ；,6. 行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应成比例，则 D = 0 ；,2. 行列式 D 有某行 ( 列 )各元素全为零，则 D = 0 .,小结：,1. DT = D ;,2. 互换行列式的两行 ( 列 ) ，行列式仅变号;,3. 行列式某行 ( 列 ) 的公因式可提出；,4. 行列式某行 ( 列 ) 的元素均为两数之和，则原行列式等于另两行列式之和；,5. 行列式某行 ( 列 ) 的各
4、元素乘以数 k 后加到另一行 ( 列 ) 对应元素上去，行列式的值不变.,行列式有七条性质：,7 行列式D等于它的任意一行 ( 列 )的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。,由上节例 5可知三角行列式简单易求, 因此对任一行列式,可利用行列式的性质, 将其化为 一个与之相等的三角行列式, 从而简化行列式的计算.,为表达简捷,计算行列式时, 以 ri 表示每 i 行, ci,以 k 加到第 i 行记作 ri+krj .,将第 j 行乘,表第 i 列, 交换 i, j 两行记作,例6. 计算,= 72.,解：,例7. 计算,解：,例8,计算行列式,解,总结n阶行列式的计算 行列式的计算主要有如下几种方法： 1 定义法 利用行列式的定义计算; 2 三角形法利用性质化为三角形行列式来计算； 3 降阶法利用行列式的按行（列）展开性质3对行列 式进行降阶计算； 4 综合法利用性质先使D的某行（列）有尽可能多的零， 再对行列式进行降阶计算;,
