1、1大学数学（第二层次）期中试卷参考答案（20121124）一、解答下列各题（每小题 6 分，共 48 分）1 求 。123lim1x解：原式 。63li210x2求 。)1ln(lim0xx解：原式 。21)(lim21li)1ln(im)l(i 00200 xxxxxxx3设 ，求此函数之反函数的导数。2xey解： ，由 ，解得 。由 ，xd1)(2yd21ydx02xed知。21yx4求函数 的间断点，指出间断点类型，并简要说明理由。2/1xe解：函数在 处无定义故间断。由 ，知 为可去间断点。00lim2/10xxe5设 ，求 的一阶及二阶导数。xycos)1(y解： ， 。)ln(l
2、1cos)1ln(si xx )1(cosin2)l(co1lsi 2 xyxxy26证明当 时，不等式 成立。0x 21arctnxx证明：令 ，由拉格朗日中值定理，有 ，即farctn)( )0()0(xff，其中 。由 得 。即证。21txx0x02217用“ ”语言证明 。2lim2x证明： ，取 ，则当 时，就有：0|0x。故有： 。2|2|2|xx 2lim2x8求函数 的所有原函数。)6sin(4y解： ，其中 C 为任意常数。xco3二、 （12 分）设 ，求 在 处的一阶及二阶导数，并判0,cos21)(xf )(xf0断 在 处是否有三阶导数。xf0解：在 点两侧，函数的一
3、、二、三阶导数均存在，左右极限存在且相等，故在处函数的一、二、三阶导数均存在，计算得：。0)(,1)(,)(fff三、 （10 分）求 带拉格朗日余项的三阶麦克劳林展开式。 )ln()xf解： ，容易算得：4)4(32 )1(32,1(2),1(,1)( xfxffxf 。故所求展开式为：0,),0, ffff，其中 。432)1(xxx1四、 （8 分）设数列 满足 ， ，证明 有极限，并求极限。n51)(,231Nnxn nx3答：数学归纳法易证 单调下降，大于 2，由单调有界原理知其有极限。设其极限为nxA，则由数列定义得 ，解得 或 ，由 知极限为 2。A31ANnx,2五、 （14 分）求函数 的定义域、单调区间、曲线的凹凸区间、极值点及拐点，xy21求渐近线，并画出函数曲线的草图。解： ， 。22)(4)(xy 323)(142)(xxy0,0 （0，1）1 （1，2） 2 ),(y 无定义 0 无定义 无定义 无定义 增，凹 铅直渐近线增，凸 极大值，2减，凸 铅直渐近线减，凹时 ，故 为水平渐近线。无斜渐近线。草图如下：x0y六、 （8 分）求不定积分 。dxex)2(解： dxedex )1()2( xexx)1(Cex2)(2。Cx53
