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专题16 圆锥曲线的综合问题-2017年高考数学(文)备考学易黄金易错点(解析版).doc

1、1设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px(p0)上任意一点,M 是线段 PF 上的点,且|PM|2|MF|,则直线 OM 的斜率的最大值为( )A. B. C. D133 23 22答案 C解析 如图,2直线 3x4y 40 与抛物线 x24y 和圆 x2(y1) 2 1 从左到右的交点依次为 A、B、C、D,则的值为_|AB|CD|答案 116解析 由Error!得 x23x 4 0,x A1,x D4,y A ,y D4.14直线 3x4y40 恰过抛物线的焦点 F(0,1),|AF| yA1 ,|DF|yD15,54 .|AB|CD| |AF| 1|DF| 1 11

2、63已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A,左焦点为 F1(2,0) ,点 B(2, )在椭2圆 C 上,直线 ykx(k 0)与椭圆 C 交于 E,F 两点,直线 AE,AF 分别与 y 轴交于点 M,N.(1)求椭圆 C 的方程;(2)在 x 轴上是否存在点 P,使得无论非零实数 k 怎样变化,总有MPN 为直角?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由解 (1)设椭圆 C 的方程为 1(ab0),x2a2 y2b2因为椭圆的左焦点为 F1(2,0),所以 a2b 24.因为点 B(2, )在椭圆 C 上,2所以 1.4a2 2b2由解得,a2 ,b2.2所

3、以椭圆 C 的方程为 1.x28 y24(2)方法一 因为椭圆 C 的左顶点为 A,则点 A 的坐标为(2 ,0)2因为直线 ykx( k0)与椭圆 1 交于两点 E,F,设点 E(x0,y 0)(不妨设 x00),则点x28 y24F(x 0,y 0)假设在 x 轴上存在点 P(t,0),使得MPN 为直角,则 0.MP NP 即 t2 0, 22k1 1 2k2 22k1 1 2k2即 t240,解得 t2 或 t2.故存在点 P(2,0)或 P(2,0),无论非零实数 k 怎样变化,总有MPN 为直角方法二 因为椭圆 C 的左顶点为 A,则点 A 的坐标为( 2 ,0) 2因为直线 yk

4、x( k0)与椭圆 1 交于两点 E,F,设点 E(x0,y 0),则点 F(x 0,y 0)x28 y24所以直线 AE 的方程为 y (x2 )y0x0 22 2因为直线 AE 与 y 轴交于点 M,令 x0 得 y ,22y0x0 22即点 M .(0,22y0x0 22)同理可得点 N .(0,22y0x0 22)假设在 x 轴上存在点 P(t,0),使得MPN 为直角,则 0.MP NP 故存在点 P(2,0)或 P(2,0),无论非零实数 k 怎样变化,总有MPN 为直角4设圆 x2y 22x 150 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于

5、C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA| EB|为定值,并写出点 E 的轨迹方程;(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围解 (1)因为|AD|AC| ,EB AC,故EBDACDADC,所以| EB|ED|,故|EA| |EB| |EA|ED| AD|.又圆 A 的标准方程为(x1) 2y 216,从而|AD|4,所以 |EA|EB| 4.由题设得 A( 1,0),B(1,0),|AB |2,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为:

6、1(y0) x24 y23(2)当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 yk(x1)(k0),M (x1,y 1),N (x2,y 2)由Error! 得(4 k23)x 28k 2x4k 2120.则 x1x 2 ,x 1x2 ,8k24k2 3 4k2 124k2 3所以|MN | |x1x 2| .1 k212k2 14k2 3当 l 与 x 轴垂直时,其方程为 x1,|MN| 3,|PQ|8,四边形 MPNQ 的面积为 12.综上,四边形 MPNQ 面积的取值范围为 12,8 )35.已知椭圆 C1: 1(a0)与抛物线 C2:y 22ax 相交于 A,B 两点,且两曲线的焦点

7、F 重合x2a2 y23(1)求 C1,C 2 的方程;(2)若过焦点 F 的直线 l 与椭圆分别交于 M,Q 两点,与抛物线分别交于 P,N 两点,是否存在斜率为k(k 0)的直线 l,使得 2?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由|PN|MQ|解 (1)因为 C1,C 2 的焦点重合,所以 ,a2 3a2所以 a24.又 a0,所以 a2.于是椭圆 C1 的方程为 1,来源:Zxxk.Comx24 y23抛物线 C2 的方程为 y24x.(2)假 设存在直线 l 使得 2,|PN|MQ|则可设直线 l 的方程为 yk(x1) ,P (x1,y 1),Q( x2,y 2),M(x 3

8、,y 3),N(x 4,y 4)由Error! 可得 k2x2(2k 24)xk 20,则 x1x 4 ,x 1x41,2k2 4k2所以|PN | .1 k2 x1 x42 4x1x441 k2k2由Error! 可得(34k 2)x28k 2x4k 2120,则 x2x 3 ,x 2x3 ,8k23 4k2 4k2 123 4k2易错起源 1、范围、最值问题例 1、如图,椭圆 1(ab0) 的左、右焦点分别为 F1、F 2,过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,x2a2 y2b2且 PQPF 1.(1)若|PF 1|2 ,|PF 2|2 ,求椭圆的标准方程;2 2(2)若|PQ| |PF

9、1|,且 ,试确定椭圆离心率 e 的取值范围34 43解 (1)由椭圆的定义,2a|PF 1| PF2|(2 )(2 )4,故 a2.2 2设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF1PF 2,因此 2c|F 1F2| |PF1|2 |PF2|2 2 ,2 22 2 22 3即 c ,从而 b 1.3 a2 c2故所求椭圆的标准方程为 y 21.x24(2)如图,由 PF1PQ ,| PQ| |PF1|,得|QF1| |PF1|.|PF1|2 |PQ|2 1 2由椭圆的定义,|PF 1| PF2|2a,|QF 1|QF 2|2a,进而|PF 1| PQ|QF 1|4a,于是(1 )|PF1|4a,1

10、2解得|PF 1| ,4a1 1 2故|PF 2| 2a|PF 1| .2a 1 2 11 1 2由勾股定理得|PF1|2 |PF2|2|F 1F2|2(2c) 24c 2,进而 e 2 ,即 e .12 59 22 53【变式探究】如图,已知椭圆: y 21,点 A,B 是它的两个顶点,过原点且斜率为 k 的直线 l 与线x24段 AB 相交于点 D,且与椭圆相交于 E,F 两点来源:(1)若 6 ,求 k 的值;ED DF (2)求四边形 AEBF 面积的最大值解 (1)依题设得椭圆的顶点 A(2,0),B(0,1) ,则直线 AB 的方程为 x2y 20.设直线 EF 的方程为 ykx(

11、k0)来源:Zxxk.Com由点 D 在线段 AB 上,知 x02kx 020,得 x0 ,所以 ,21 2k 21 2k 1071 4k2化简,得 24k225k 60,解得 k 或 k .23 38(2)根据点到直线的距离公式,知点 A,B 到线段 EF 的距离分别为 h1 ,h 2 ,2k1 k2 11 k2又|EF| ,41 k21 4k2所以四边形 AEBF 的面积为S |EF|(h1h 2)12 21 2k1 4k2【名师点睛】解决范围问题的常用方法:(1)数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后,数形结合求解(2)构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元

12、的不等式求解(3)构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域【锦囊妙计,战胜自我】来源:ZXXK圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值) ,或者利用式子的几何意义求解易错起源 2、定点、定值问题例 2、椭圆 C: 1(ab0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 .x2a2 y2b2 12 10(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若直线 l:ykxm 与椭圆 C 相交于 A,B 两点( A,B 不是左,右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标解 (1)由 e ,得 a2

13、c,ca 12a 2b 2c 2,b 23c 2,则椭圆方程变为 1.x24c2 y23c2又由题意知 ,解得 c21,2 c2 12 10故 a24,b 23,即得椭圆的标准方程为 1.x24 y23(2)设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),联立Error!得(34k 2)x2 8mkx4( m23)0.则Error! 又 y1y2(kx 1m)( kx2m )k 2x1x2mk(x 1x 2)m 2 .3m2 4k23 4k2椭圆的右顶点为 A2(2,0),AA 2BA 2,(x 1 2)(x22)y 1y20,y 1y2x 1x22(x 1x 2)4 0, 40,3m2 4k2

14、3 4k2 4m2 33 4k2 16mk3 4k27m 216mk 4k20,解得 m12k,m 2 ,2k7由,得 34k 2m 20,当 m12k 时,l 的方程为 yk (x2) ,直线过定点(2,0),与已知矛盾当 m2 时,l 的方程为 yk ,直线过定点 ,且满足,2k7 (x 27) (27,0)直线 l 过定点,定点坐标为 .(27,0)【变式探究】已知抛物线:y 22px(p0)的焦点 F 在双曲线: 1 的右准线 上,抛物线与直线x23 y26l:yk (x2)(k 0)交于 A,B 两点,AF ,BF 的延长线与抛物线交于 C,D 两点(1)求抛物线的方程;(2)若AF

15、B 的面积等于 3, 求 k 的值;(3)记直线 CD 的斜率为 kCD,证明: 为定值,并求出该定值kCDk解 (1)双曲线: 1 的右准线方程为:x1,x23 y26所以 F(1,0),则抛物线的方程为:y 24x.(2)设 A( ,y 1),B( ,y 2),y214 y24由Error! 得 ky24y 8k 0, 1632k 20,y 1y 2 , y1y28.4kSAFB 1|y1y 2|12 12y1 y22 4y1y22 3,解得 k2.1k2 2(3)设 C( ,y 3),则 ( 1,y 1), ( 1,y 3),y234 FA y214 FC y234【名师点睛】(1)动线

16、过定点问题的两大类型及解法动直线 l 过定点问题,解法:设动直线方程 (斜率存在)为 ykx t,由题设条件将 t 用 k 表示为tmk,得 yk (xm),故动直线过定点 (m,0) 动曲线 C 过定点问题,解法:引入参变量建立曲线 C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点(2)求解定值问题的两大途径 由 特 例 得 出 一 个 值 此 值 一 般 就 是 定 值 证 明 定 值 :将 问 题 转 化 为 证 明 待 证 式 与 参 数 某 些 变 量 无 关先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值【锦囊妙计,战胜自我】1由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:yy 0k( xx 0),则直线必过定点( x0,y 0);若得到了直线方程的斜截式:ykxm,则直线必过定点(0,m) 2解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等) 的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值易错起源 3、探索性问题

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