高考数学必胜秘诀在哪二函数.doc

1、1二、函 数1.映射 : A B 的概念。f在理解映射概念时要注意：A 中元素必须都有象且唯一；B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）设 是集合 到 的映射，下列说法正确的是 A 、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一MNMNN个元素在 中必有原象 C 、 中每一个元素在 中的原象是唯一的 D、 是 中所在元素的象的集合（答：A） ；（2）点 在映射 的作用下的象是 ，则在 作用下点 的原象为点_（答：（2，1） ）),(baf ),(baf),3(；（3）若 ， ， ，则 到 的映射有 个， 到 的映射有 个， 到 的函4321,cba,RABBAA数有 个（答：81,64

2、,81） ；（4）设集合 ，映射 满足条件“ 对任意的1,0,245N:f， 是奇数” ，这样的映射 有_个（答：12） ；（5）设 是集合 A 到集合 B 的映射，若x()fxf 2:xfB=1,2，则 一定是_（答： 或1）.B2.函数 : A B 是特殊的映射。特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集！据此可知函数图像与 轴的垂线至多有一个公共点，但与 轴垂线的公共xy点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数 ， ，那么集合 中()fxF(,)|(),(,)|1yfxFx所含元素的个数有 个（答： 0 或 1） ；（2）若函数 的定义域、值域都是闭区间 ，则 421y 2b（答：2

3、）3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数” ，那么解析式为 ，值域为4，1 的 “天一函数”共有_个（答：9）2yx4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数 中 且 ，三角形中logax0,1a, 最大角 ，最小角 等。如（1）函数 的定义域是_(答： )；0A324lg3xy(,2),3(,4（2）若

4、函数 的定义域为 R，则 _(答： )；（3）函数 的定义域是 ，274kxyk0,)fx,ab，则函数 的定义域是_(答： )；（4）设函数 ，0ba()()Ffxa2(lg1)x若 的定义域是 R，求实数 的取值范围；若 的值域是 R，求实数 的取值范围（答： ；()fxa()fx ）1（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知 的定义域为 ,其复合函数 的定义域由不等式 解出即()fxab()fgx()agxb可；若已知 的定义域为 ,求 的定义域，相当于当 时，求 的值域（即 的定义域） 。()fgxab,abf如（1）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为

5、_（答： ） ；（2 ）若函y21)(log2xf 4|数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 _（答：1,5 ） 2()f2,)fx5.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 上的最值；二是求区间定,mn（动） ，对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系） ，如（1）求函数 的值域（答：4,8） ；（2）当 时，25,1,2yx2,0(x函数 在 时取得最大值，则 的取值范围是_（答： ） ；（3）已知3)(4)(2xaxf 2a1a的图象过点（2,1）

6、，则 的值域为_（答：2, 5 ）3b1212()()()Fffx（2）换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1） 的值域为_（答： ） ；（2） 的值域为2sincosyx 74,81yx2_（答： ） （令 ， 。运用换元法时，要特别要注意新元 的范围） ；（3）(3,)1xt0t的值域为_（答： ） ；（4） 的值域为_（答：sincosincyxA1,2249yxx） ；1,24（3）函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数 ， ，

7、 的值域（答： 、 （0,1） 、2sin1y3xysin1coy1(,2） ；(,2（4）单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求 ，(19)yx， 的值域为 _（答： 、 、 ） ；229sin1siyx53log1xy80(,)91,2,0（5）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点在圆 上，求 及 的取值范围（答： 、 ） ；（2）求函数(,)P22xyx3,5,的值域（答： ） ；（3）求函数 及2(8)yx10,)2614yxx的值域（答： 、 ）注意：求两点距离之和时，要将函数式变2613454,)

8、(,)形，使两定点在 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在 轴的同侧。（6）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： 型，可直接用不等式性质，如求 的值域（答： ）2bykx 23yx3(0,2 型，先化简，再用均值不等式，如（1）求 的值域（答： ） ；（2）求函数mn 1xy1(,的值域（答： ） 3yx0,2 型，通常用判别式法；如已知函数 的定义域为 R，值域为0，2，求常数2xn 238log1mxny的值（答： ）,n5 型，可用判别式法或均值不等式法，如求

9、 的值域（答： ）2myx 2x(,31,)（7）不等式法利用基本不等式 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定2(,)abaR值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设 成等差数列，12,xay成等比数列，则 的取值范围是_.（答： ） 。12,xby21)( (,04)（8）导数法一般适用于高次多项式函数，如求函数 ， 的最小值。 （答：32()fx3,48）提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的

10、函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 时，一定首先要判断 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其0()fx0x定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数 ，则使得 的自变量2(1).)4()xf()1fx3的取值范围是_（答： ） ；（2）已知 ，则不等式x(,0,11(0)()xf 的解集是_（答： ）(2)5fx3(,7.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式： ；顶点式：2()fxabc；零点式： ，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）2()famn12()(fxax

11、。如已知 为二次函数，且 ，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 ,求 的解析fx2f ()fx式 。（答： ）21()（2）代换（配凑）法已知形如 的表达式，求 的表达式。如（1）已知 求()fgx()f ,sin)co1(2f的解析式（答： ） ；（2）若 ，则函数 =_（答：xf 242(),fx2)xxx） ；（3）若函数 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ，那么当2 ,0()(3f时， =_（答： ）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即 的定)0,()(f 3(1)x ()f义域应是 的值域。gx（3）方程的思想已知条件是含有 及另外一个函数的等式

12、，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得f到关于 及另外一个函数的方程组。如（1）已知 ，求 的解析式（答：()f ()2)32fxfx()fx） ；（2）已知 是奇函数， 是偶函数，且 + = ,则 = _（答：x()fxg(g1f） 。218. 反函数：（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个 值，都有唯一的 值与之对应，故单调函数一定存在反函yx数，但反之不成立；偶函数只有 有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数 在区()0)fx 23yxa间1, 2上存在反函数的充要条件是 A、 B、 C、 D、 ,1a2,a1,2a,1,（答：D）（2）求反函数的步骤：反求 ；互换

13、、 ；注明反函数的定义域（原来函数的值域） 。注意函数xy的反函数不是 ，而是 。如设 .求 的反函数 （答：(1)yfx1()yfx1()yf )0()()2xxf )(xf)(1xf） ()（3）反函数的性质：反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数 满足条件)(xf= x ，其中 0 ，若 的反函数 的定义域为 ，则 的定义域是_ （答：)(afa)(xf)(1xfa4,1)(xf4,7）.函数 的图象与其反函数 的图象关于直线 对称，注意函数 的图象与()yf1yfyx()yf的图象相同。如（1）已知函数 的图象过点(1,1),那么 的反函数的图象

14、一定经过点_ （答：()xf ()x4f（1,3） ） ；（2）已知函数 ，若函数 与 的图象关于直线 对称，求 的值32)(xf g)1(f x(3)g（答： ） ； 7 。如（1）已知函数 ，则方程 的解 _（答：1） ；1()()fabfa)24(log)(3xf 4)(1xf（2）设函数 f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数 ，f (4) 0，则 （答：2）14互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知 是 上的增函数，点 在它的图fxR1,3AB象上， 是它的反函数，那么不等式 的解集为_（答：（2,8） ） ；1fx 12logfx设 的定义域为 A，值域为

15、 B，则有 ，() ()B1()fx，但 。(A11()ffx9.函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数 ，)(f2sin(3)x为奇函数，其中 ，则 的值是 （答：0） ；25,3x,0（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数 的奇偶性_（答：奇函数） 。2|4|9xy利用函数奇偶性定义的等价形式： 或 （ ） 。如判断 的奇()0fx()1fx()0f1()2xf偶性_.（答：偶函数）图像法：奇函数的图象关于原点对称；

16、偶函数的图象关于 轴对称。y（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若 为偶函数，则 .如若定义在 R 上的偶函数 在 上是减函数，且()fx()(|)fxfx()fx,0)=2，则不等式 的解集为_.（答： ）31f 2log81f (0,.5)(2,若奇函数 定义域中含有 0，则必有 .故 是 为奇函数的既不充分也不必要条件。如若() ()ff)f为奇函数，则实数 _（答：1）.2()xaf a定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表

17、示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差） ”。如设 是)(xf定义域为 R 的任一函数， ， 。判断 与 的奇偶性； 若将函数()2fxF()2fxG)(xFG，表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和，则 _（答： 为偶函数，)10lg()xf ghg)(x为奇函数； ）G(复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（ ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.()0fx10.函数的单调性。（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间 内，若总有 ，则(,)ab()0fx为增函数；反之，若 在区间 内为增函数，则

18、 ，请注意两者的区别所在。如已知函数()fx()fx(,)ab()0fx在区间 上是增函数，则 的取值范围是_(答： ）)；3a1,3在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意 (0yx型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为 ，减区间为 .如（1）0)b (,)ba,)(0ba若函数 在区间（，4 上是减函数，那么实数 的取值范围是_(答： ）)；2)1(2xaxf 35（2）已知函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围_（答： ）；（3）若函数1()2axf,a1(,)2的值域为 R，则实数 的取值范围是_(答： 且 ）)；log40,afx且 04a复合函数法：复合

19、函数单调性的特点是同增异减，如函数 的单调递增区间是_(答：21logyx（1,2）)。（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数 在区间 上为减函数，2()l(3)af (,2a求 的取值范围（答： ）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区a(1,23) 间表示，不能用集合或不等式表示 （3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.如已知奇函数是定义在 上的减函数,若 ，求实数 的取值范围。（答： ）)(xf)(0)12()(mff 123m11. 常见的图象变换函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左平移 个

20、单位得到的。如设axfy)0(xfya的图像与 的图像关于直线 对称， 的图像由 的图像向右平移 1 个单位得到，则()2,()xfgf ()h()gx为_( 答： )h2log(1hx函数 ( 的图象是把函数 的图象沿 轴向右平移 个单位得到的。如（1）若f)f，则函数 的最小值为_( 答：2) ；（2）要得到 的图像，只需作 关2(19)43fxxf )3l(yxylg于_轴对称的图像，再向_平移 3 个单位而得到(答： ；右) ；（3）函数 的图象与 轴的交yg21fx点个数有_个(答：2)函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向上平移 个单位得到的；fya)0(xfa函数 + 的图象是

21、把函数 助图象沿 轴向下平移 个单位得到的；如将函数x的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得图象如果与原图象关于直线 对称,那么 axb xy(答：C)0,1)(ARbaB,1)( 01)(baCRbaD,0)(函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的。如（1）将函数xfyxfy的图像上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变） ，再将此图像沿 轴方向向左平移 2 个单位，所得图像对()fx3x应的函数为_(答： )；（2）如若函数 是偶函数，则函数 的对称轴方程是(36f(21)f()yf_(答： )12函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 倍得到的.

22、 xafy0(xfyya12. 函数的对称性。满足条件 的函数的图象关于直线 对称。如已知二次函数 满ffbx2ab )0()(2abxxf足条件 且方程 有等根，则 _(答： )； )3()5(xf )()(xf 21x点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为 ；,y,yyfy点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为 ； xf x点 关于原点的对称点为 ；函数 关于原点的对称曲线方程为 ； (,)x(,)x点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的a(),a(,)0fxa方程为 。特别地，点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线,)0fya,y

23、y(,)0fy的对称曲线的方程为(,fyx6；点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为0(,)xyx(,)yx(,)0fxyyx。如己知函数 ,若 的图像是 ,它关于直线 对称图像是f3()2f11Cy关于原点对称的图像为 对应的函数解析式是_（答： ） ；2,C3,C则 2x曲线 关于点 的对称曲线的方程为 。如若函数 与 的图(,)0fxy()ab(2,)0faxbyx)(g象关于点（-2，3）对称，则 _（答： ）xg76x形如 的图像是双曲线，其两渐近线分别直线,acdc dc(由分母为零确定)和直线 (由分子、分母中 的系数确定)，对称中心是点 。如已知函数图象

24、 与y (,)aC关于直线 对称，且图象 关于点（2，3）对称，则 a 的值为_（答：2）2:1)1CyxxyxC 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 轴的对称图形，然后擦去 轴下方|(|f )f xxx的图象得到； 的图象先保留 在 轴右方的图象，擦去 轴左方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴| ( yyy的对称图形得到。如（1）作出函数 及 的图象；（2）若函数 是定义在 R 上的奇函2|log1)|2log|1|)(f数，则函数 的图象关于_对称 （答： 轴） )()xffxF提醒：（1）从结论可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问

25、题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像 与1C的对称性，需证两方面： 证明 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 上；证明 上任意点关于对C1C2C2称中心（对称轴）的对称点仍在 上。如（1）已知函数 。求证：函数 的图像关于点)(1)(Raxf)(xf成中心对称图形；（2）设曲线 C 的方程是 ,将 C 沿 轴, 轴正方向分别平行移动 单位长度后得(,1)Ma xy3y,ts曲线 。写出曲线 的方程 （答： ） ；证明曲线 C 与 关于点 对称。1 3()()yxtts12,tA13. 函数的周期性。（1）类比“三角函

26、数图像”得：若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且一周期为 ；()yfx,()ab()yfx|Tab若 图像有两个对称中心 ，则 是周期函数，且一周期为 ；0),ABa如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ，则函数 必是周期函数，且一)ba()yfx周期为 ；4|Tab如已知定义在 上的函数 是以 2 为周期的奇函数，则方程 在 上至少有_个实数根R()fx(0fx2,（答：5）（2）由周期函数的定义“函数 满足 ，则 是周期为 的周期函数”得：afx)a函数 满足 ，则 是周期为 2 的周期函数；()fxaf()f若 恒成立，则 ；1(0)afT若 恒成立，则 .()()fxx

27、a如(1) 设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则 等于_(答：,)()2(xfxf10xf)()5.47(f)；(2)定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数，若 是锐角三角形的两个内5.0R()f 3,2,角，则 的大小关系为_(答： )；（3）已知 是偶函数，且(sin),(cos)ffsincos=993， = 是奇函数，求 的值( 答：993)；（4）设 是定义域为 R 的函数，且1gx105)f fx，又 ，则 = (答： )2fffx2206f 214.指数式、对数式：7， ， ， ， ， ， ， ，mna1mna0log10al1alg251loglnex， ， ， 。 如

28、（1）log(,)baNbNlaNolcabllogmaab的值为_( 答：8) ；（2） 的值为_(答： )235l49A 2log8()6415. 指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0 或 1） ；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。 16. 函数的应用。 （1）求解数学应用题的一般步骤：审题认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；建模通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；解模求解所得的数学问题；回归将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。 （2）常见的函数

29、模型有：建立一次函数或二次函数模型；建立分段函数模型；建立指数函数模型；建立 型。byax17. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：正比例函数型： - ；()0)fxk()()fxyfy幂函数型： - ， ；2(fxyx指数函数型： - ， ； ()xfa)()fy()(ffy对数函数型： - ， ； log(fxyxf三角函数型： - 。如已知 是定义在 R 上的奇函数，且为周期函数，()tanfx()1fyf

30、)(若它的最小正周期为 T，则 _（答：0）2（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数 表示()fxN除以 3 的余数，则对任意的 ，都有 A、 B、 C、 x,xyN(3)(fxf()(fxyfy3()fxD、 （答：A ） ；（2）设 是定义在实数集 R 上的函数，且满足 ，如()()fyfx)f 1)2果 ， ，求 （答：1） ；（ 3）如设 是定义在 上的奇函数，且 ，2lg15lg0(f )f )(fxf证明：直线 是函数 图象的一条对称轴；（4）已知定义域为 的函数 满足 ，且当)(f )(xf 4)(f时， 单调递增。如果 ，且 ，则

31、 的值的符号是_（答：负数）x)(xf 21x02)(1x21（3）利用一些方法（如赋值法（令 0 或 1，求出 或 、令 或 等） 、递推法、反证法等）进f()fy行逻辑探究。如（1）若 ， 满足R()f()(fy，则 的奇偶性是_（答：奇函数） ；（2）若 ， 满足()fy()fx xR()fxf，则 的奇偶性是_（答：偶函数） ；（3） 已知 是定义在()fx上的奇函数，当 时， 的图像如右图所3,03()fx 示，那么不等式的解集是_（答：()cosfA ） ；,10,(,3)22（4）设 的定义域为 ，对任意 ，都有fxR,yR ，且()xffyy时， ，又 ，求证 为减函数；1()0f1()2f()fx 解不等式.（答： ） ()5f,4,5O 1 2 3 xy