利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题.doc

1、1导数结合洛必达法则巧解高考压轴题法则 1 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ；(2)在点lim0xafli0xaga 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ，那么 =lixafl limxafg。 limxaflg法则 2 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； (2)lim0xfli0xg，f(x) 和 g(x)在 与 上可导，且 g(x)0； (3) ，那0A,A,limxfl么 = 。 limxfglixfl法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； (2)在limxaflixag点 a

2、的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ，那么 lixafl= 。limxafglixafl利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的 xa，x换成 x+，x-， ， 洛必达法则也成立。xa2.洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型。0103.在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 型定10式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。2二高考题处理1.(2010

3、 年全国新课标理) 设函数 。 （1）若 ，求 的单调区间；2()xfea0a()fx（2）若当 时 ，求 的取值范围 0x()fa解:（II）当 时， ，对任意实数 a,均在 ；当 时， 等价于0x()fx()0fx令 (x0),则 ，令21xae21ge32()ge，则 ， ，0xhx1xh 0xhe知 在 上为增函数， ；知 在 上为增函数，0,0,； ，g(x)在 上为增函数。由洛必达法则知，xgx,，故 综上，知 a 的取值范围为 。2000112limlixxxee2a1,22 （2011 年全国新课标理）已知函数，曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线方程为30xy。 （）求

4、a、 b的值；（）如果当 0，且 时， ln()1xkf，求k的取值范围。解：（II）由题设可得，当 时，k =0hx1,hx1在 上为增函数 =0 当 (0,1)x时， ，当 x（1，+ ）时，,h0当 (0,)x时， ，当 x（1， + ）时，0gxg在 上为减函数，在 上为增函数g,1,3洛必达法则知 2111lnln120limiimxxxg0k，即 k 的取值范围为（- ，03.已知函数 f(x)=x(1+a)lnx 在 x=1 时，存在极值。 （1）求实数 a 的值；（2）若x1，mlnx 成立,求正实数 m 的取值范围f)-1（解： =g（x）lnln1()ln1l1()l()l

5、xxxxm= 令 h(x)=- 22()l+),-()xlnggx） （ 则 22,()lx令 则 ，令22ln1x(),hrh） ， ln2r()xM（x）=r(x) ，0） ，()xe()hx21)ex分子 r(x)= ,(x 0, )，扩展定义域，求导 0，可知，r(x)2(1)xe23xr） 为定义域内增函数，而 r（x） r(0)=0.所以 0.为增函数。则 a h(0)-不()h存在，罗比达法则可得为 1练习1. 2006 年全国 2 理 设函数 f(x)( x1)ln(x1)，若对所有的 x0，都有 f(x)ax 成立，求实数 a 的取值范围42. 2006 全国 1 理 已知函

6、数 .（）设 ，讨论 的单调性；axfxe0yfx（）若对任意 恒有 ，求 的取值范围.0,11fa3. 2007 全国 1 理 4. 设函数 （）证明： 的导数 ；()exf()fx()2fx（）若对所有 都有 ，求 的取值范围0 ()fa5. 2008 全国 2 理 设函数 （）求 的单调区间；sin()coxf()fx（）如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围0 a解：（） 2 2(2cs)osin()cos1)()()xxxfx 当 （ ）时， ，即 ；233kkZ10f当 （ ）时， ，即 4xcos2x()x因此 在每一个区间 （ ）是增函数， 在每一个区间()f 23k， kZf（

7、 ）是减函数243k， Z解：（）略（）应用洛必达法则和导数 sin()2coxfa若 ，则 ；0xaR若 ，则 等价于 ，即sin2coxsi()axsin()2co)xg则 .22isnco()()gxx5记 ， ()2cosinscohxxx2 1in1iin2si(n)x而 .000sncolim()lilim(co)+i3xxxg另一方面，当 时， ，因此,sn1(2c)xg13a6. 2008 辽宁理 设函数 .ln()l(1)1xfx求 的单调区间和极值;x是否存在实数 ,使得关于 的不等式 的解集为 ?若存在,求 的取值范围;若不存在,ax()fxa(0)a试说明理由.7 20

8、10 新课标理 设函数 = .（）若 ，求 的单调区间;)(xf21eax0)(xf（）若当 x0 时 0，求 a 的取值范围.f8 .2010 新课标文已知函数 .2()1)xfea（）若 在 时有极值，求函数 的解析式；()fx（）当 时， ，求 的取值范围.0x()0fx解：（）略（）应用洛必达法则和导数当 时， ，即 .x()fx2(1)xea当 时， ；0aR当 时， 等价于 ，也即 .2()xx 1xea6记 ， ，则 .1()xeg(0,)(1)xegx记 ， ，则 ，因此 在 上单调递xh,()0xh()1xhe(0,)增，且 ，所以 ，从而 在 上单调递增.()0()gxxe

9、g0,)由洛必达法则有，即当 时，0001lim()lilimxxxeg0x()1x所以 ，即有 .综上所述，当 ， 时， 成立.a1a0f9. 2010 全国大纲理 设函数 .()1xfe（）证明：当 时， ；()1xf（）设当 时， ，求 的取值范围.0xxa解：（）略（）应用洛必达法则和导数由题设 ，此时 .0x()0fx当 时，若 ，则 ， 不成立；a1a()1xfa当 时，当 时， ，即 ；x()1xf xe若 ，则 ；0xR若 ，则 等价于 ，即 .1xeaxa1xe记 ，则 .()xg2 2221()=()()()xxxxxeeg e记 ，则 ， .2xxheexxh+0xhe因

10、此， 在 上单调递增，且 ，所以 ，()(0)， (0)()h即 在 上单调递增，且 ，所以 .x0， x7因此 ，所以 在 上单调递增.2()=()0xegh()gx0)，由洛必达法则有，即当 时，000011lim()lilimli12x xxx xeee0x，即有 ，所以 .综上所述， 的取值范围是 .12g()2gaa(,210. 2011 新课标理 已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .ln()1axbf()yfx1,()f 230xy（）求 、 的值；（ ）如果当 ，且 时， ， 求 的取值范围.0xln()kfx押题 若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围.3sinxa(0,

11、)2xa解：应用洛必达法则和导数当 时，原不等式等价于 .(0,)2x3sinx记 ，则 .3sin()xf4ico2()f记 ，则 .ico2g()singxx因为 ，()sinstanxx，所以 在 上单调递减，且 ，i0g()g0,2()0gx所以 在 上单调递减，且 .因此 在 上单调递减，()x,2()x(),2且 ，故 ，因此 在 上单调递减.()0g4()0gfx3sin()xf(0,)8由洛必达法则有，3200000sin1cosincos1lim()lilmllm66xxxxxf即当 时， ，即有 .()6g()f故 时，不等式 对于 恒成立.16a3sinxa(0,)2x通

12、过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足： 可以分离变量；用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性； 现“ ”型式子.0第三部分：新课标高考命题趋势及方法1. 高考命题趋势 近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.2.分类讨论和假设反证 许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路分类讨论和假设反证的方法.3.洛必达法则 虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了 ”型的式子，而0这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.