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第2章随机过程的基本概念和基本类型.ppt

1、第2章 随机过程的基本 概念和基本类型,2.1 基本概念,在概率论中,我们研究了随机变量,,维随机向量。,在极限定理中,我们研究了无穷多个随机变量,,但局限,在它们相互独立的情形。,将上述情形加以推广,,即研究,一族无穷多个、相互有关的随机变量,,这就是随机过程。,定义2.1:,设,是一概率空间,,对每一个参数,,,是一定义在概率空间,上的随机,变量,,则称随机变量族,为该概率,空间上的一随机过程。,称为参数集。,随机过程的两种描述方法:,用映射表示,即,是一定义在,上的二元单值函数,,固定,是一定义在样本空间,上的函数,,即为一随机变量;,对于固定的,是一个,关于参数,的函数,,或称随机,过

2、程的一次实现。,记号,通常称为样本函数,,有时记为,或简记为,参数,一般表示时间或空间。,参数常用的一般有:,(1),(2),(3),当参数取可列集时,,一般称随机过程为随机序列。,随机过程,可能取值的全体所构成的集合,称为此随机过程的状态空间,记作S.,S中的元素,称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的,抽象空间构成。,随机过程分为以下四类:,(1)离散参数离散型随机过程;,(2)连续参数离散型随机过程;,(3)连续参数连续型随机过程;,(4)离散参数连续型随机过程。,以随机过程的统计特征或概率特征的分类,一般有:,独立增量过程;,Markov过程;,二阶矩过程;,平稳过程;,更新过程

3、;,Poission过程;,维纳过程。,鞅;,随机过程举例,例2.1,例2.2,抛掷一枚硬币,样本空间为,定义:,随机过程。,例2.3,2.2 有限维分布与Kolmogvrov定理,一、随机过程的分布函数,1. 一维分布函数,2. 二维分布函数,3. n维分布函数,4. 有限维分布族,称为有限维分布族,5. 有限维分布族的性质,(1) 对称性,(2) 相容性,注1:随机过程的统计特性完全由它的有限维分 布族决定。,注2:有限维分布族与有限维特征函数族相互唯 一确定。,问题:,一个随机过程,是否描述了该过程的全部概率特性?,的有限维分布族,,定理:(Kolmogorov存在性定理),设分布函数族

4、,满足以上提到的对称性和相容性,,则必有一随机过程,恰好是,的有限维分布族,即:,定理说明:,的有限维分布族包含了,的所有概率信息。,例2.4,例2.5,二、随机过程的数字特征,1. 均值函数,随机过程,(假设是存在的),的均值函数定义为:,2. 方差函数,随机过程,的方差函数定义为:,3. (自)协方差函数,4. (自)相关函数,5. (互)协方差函数,6. 互相关函数,7. 互不相关,8. 特征函数,为随机过程,的有限维特征函数族。,记:,例2.6,例2.7,作业1,2.3 随机过程的基本类型,一、严平稳过程,定义1:,二、严平稳过程的特点,则,三、宽平稳过程,(简称平稳过程),定义2:,注1:,注2:,例2.8,例2.9,四、平稳过程相关函数的性质,性质1:,性质2:,结论:,性质3:,性质4:,注:,定义:,注:,性质5:,性质6:,性质7:,性质8:,性质9:,例2.10:,五、独立增量过程,定义1,例2.11:,定义2,六、遍历性定理,定义1:,定义2:,例2.12:,例2.13:,定理2.2: (均值遍历性定理),推论2.1:,推论2.2:,定理2.2: (协方差函数遍历性定理),作业1:,作业2: 书第二章 习题2.6.,作业3:,

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