1、1小专题(十五) 圆中常见的辅助线的添法圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站圆上若有一切线，切点圆心半径连要想证明是切线，半径垂线仔细辨是直径，成半圆，想成直角径连弦弧有中点圆心连，垂径定理要记全圆周角边两条弦，直径和弦端点连还要作个内切圆，内角平分线梦圆三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算一、连半径构造等腰三角形1如图，在O 中，AB 为O 的弦，C，D 是直线 AB 上的两点，且 ACBD.求证：OCD 是等腰三角形二、半径与弦长计算，弦心距来中间站方法归纳：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算在弦
2、长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1 m，其中水面的宽 AB 为 0.8 m，求排水管内水的深度三、见到直径构造直径所对的圆周角方法归纳：构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质3如图，AB 为O 的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E.ACD60，ADC50，求CEB 的度数四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径方法归纳：已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题4如图，AB 是O 的直径，弦
3、CDAB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作O 的切线交 AB 的延长线于 F.切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K.求证：KEGE.五、 “连半径证垂直”与“作垂直证半径”判定直线与圆相切方法归纳：证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“dr”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径5(呼伦贝尔中考)如图，已知直线 l 与O 相离，OAl 于点 A，交O 于点 P，OA5，AB 与O 相切于点 B，BP2的延长线交直线 l 于点 C.(1)求证：ABAC；(2)若 PC2
4、，求O 的半径5六、内切圆，连接内角平分线把梦圆方法归纳：利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换6如图，ABC 中，E 是内心，AE 延长线交ABC 的外接圆于点 D.求证：DEDB.七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积方法归纳：通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化7如图，A 是半径为 2 的O 外一点，OA4，AB 是O 的切线，B 为切点，弦 BCOA，连接 AC，求阴影部分的面积参考答案1证明：连接 OA，OB，OA，O
5、B 是O 的半径，OAOB.OABOBA.OACOBD.在AOC 和BOD 中， OA OB， OAC OBD，AC BD， )AOCBOD.OCOD，即OCD 是等腰三角形 2.过 O 点作 OCAB，C 为垂足，交O 于 D，E，连 OA，OA0.5 m，AB0.8 m，OCAB，ACBC0.4 m，在 RtAOC 中，OA 2AC 2OC 2，OC0.3 m，则 CE0.30.50.8(m) 3.连接 BD.AB 为O 的直径，ADB90.又ADC50，CDBADBADC40.CDB 与CAB 是同弧所对的圆周角，CDBCAB40.CEBCABACD4060100. 4.证明：连接 OG
6、.FE 切O 于 G，OGE90，OGAAGE90.3CDAB，OAKAKH90.又AKHGKE，OAKGKE90.OGOA，OGAOAG.KGEGKE，KEGE. 5.(1)证明：连接 OB，AB 与O 相切于点 B，OBAB.ABCOBC90.OAl，ACBAPC90.OBOP，OPBOBC.OPBAPC，APCOBC.ABCACB.ABAC.(2)设半径为 r，OA5，AP5r.在 RtABO 中，AB 25 2r 2AC 2，在 RtACP 中，AC 2AP 2PC 2，PC2 ，55 2r 2(5r) 2(2 )2.5r3.O 的半径为 3. 6.证明：连接 BE.E 为ABC 的内心，ABECBE，BADDAC.DEBABEBAD，DBECBEDBC，而DBCDACBAD，DEBDBE，DEDB. 7.连接 OB，OC.BCOA，OBC 和ABC 同底等高，S ABC S OBC ，S 阴影 S 扇形 OBC.AB 是O 的切线，OBAB.OA4，OB2，AOB60.BCOA，AOBOBC60.OBOC，OBC 为正三角形OCB60，S 阴影 S 扇形 OBC .60 22360 23
