1、数列求和的常用方法1直接法：直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1 ）等差数列的求和公式： dnanSn2)1(2)(11（2 ）等比数列的求和公式 （切记：公比含字母时一定要讨论）)(1qann2公式法： 2221 1()36nk n 23331 ()nk n 3 错位相减法：比如 ., 21的 和求等 比等 差 nnn babaa求和： 32)(753nn xxS解：由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 1)(n 1nx的通项之积设 （设制错nn xxxxS)12(7531432 位） -得:（错位相nnn xxxx )(2)( 143减）再利用等比数列的求和公式得： nn
2、nxS)12(12)1( 2)()2xSnn练习 1：（07 高考全国文 21）设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且nanb， ，ab352153b（）求 ， 的通项公式；（）求数列 的前 n 项和 nabnabnS4 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：；11()(2)2nn1)(n1)12(； !)1(!nn 例： 求数列 的前 n 项和.,32,n解：设 （ 裂项）na11则 （裂项求和）1321nSn )()()( n练习 2：（06 湖北卷理 17）已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为()yfx，数列 的前 n 项和为 ，点
3、均在函数 的图()6fxanS,)nN()yfx像上。（）求数列 的通项公式；n（）设 ， 是数列 的前 n 项和，求使得 对所有 都成立1nbanTb20nmTnN的最小正整数 m；5.倒序相加法求和求证： nnnn CC2)1()2(53210 思路分析：由 可用倒序相加法求和。mnC证：令 )1()2(53210 nnn CS则 )2(35)()2( 01nnn mnCnnn )()(:)1 10 有等式成立nn CCS)(210 练习 3：求 的值. 89sii3siisi 222 答 案练习 1：解：（）设 的公差为 ， 的公比为 ，nadnbq则依题意有 且0q42113q，解得
4、， 所以 ， 2d()21nadn12nbq（） 1nab，1221353nnnS，32 -得221n nS22112nn12n136n小结：错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等比数列 的公nc比 ；将两个等式相减；利用等比数列的前 n 项和的公式求和.q练习 2：解：（）设这二次函数 f(x)ax 2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x 22x.又因为点 均在函数 的图像上，所以 3n 22n.(,)nSN()yfxnS当 n2 时，a nS nS n1 （3n 22n） 6n5.)1(32n（当 n1 时，a
5、 1S 131 22615，所以，a n6n5 （ ）N（）由（）得知 ，13nb)1(6(3)165(2n故 Tn （1 ）.i12 )5(.)37()( n因此，要使 （ 1 ） （ ）成立的 m,必须且仅须满足 ，即60mnN20mm 10，所以满足要求的最小正整数 m 为 10.评析：一般地，若数列 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，则求和：na首先考虑 则 = 。niia1 ii1iiiad11)(nii1 11)(nnaad下列求和： 也可用裂项求和法。niiia11练习 3：解：设 . 89sini3sin2isin 2222 S将式右边反序得. （反 1iii8i9i 22222序） 又因为 cosin),0cos(in22xxx +得 （反序相加）89 )89cos(in)(i)1(si2222222 S S 44.5
