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电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第3章习题解答.doc

1、1第 3 章习题解答3.1 对于下列各种电位分布,分别求其对应的电场强度和体电荷密度:(1) ; (2) ;2,xyzABxC,xyzA(3) ; (4) 。sinz2sincorr解:已知空间的电位分布,由 和 可以分别计算出电场强度和体电荷密度。E20/(1) xEe 02(2) yzAzex(3) (2sin)coszBAeB 200 04in3inz (4) sicocssrEeAerer 200 2oc6niniAA 3.5 如题 3.5 图所示上下不对称的鼓形封闭曲面,其上均匀分布着密度为 的面电0S荷。试求球心处的电位。解:上顶面在球心产生的电位为 2001111()()2SSd

2、Rd下顶面在球心产生的电位为 200222()()SS侧面在球心产生的电位为 030144SR式中 。因此球心总电位为 212124()()()SRddd03SR3.6 有 和 的两种介质分别分布在 和 的半无限大空间。已知 时,0050z0z。试求 时的 。21xyzEeeV/mD解:由电场切向分量连续的边界条件可得1t2tE005251xyz代入电场法向方向分量满足的边界条件可得1n2z于是有 0005xyzzDee3.9 如题 3.9 图所示,有一厚度为 的无限大平面层,其中充满了密度为d的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点,试求平面层0cosxxd之内以及平面层以外各区域的电位和电场

3、强度。2解:由对称性可知 ,即 。设各区域中的电位和电场强度分别0yz222dxyzx为 , , 和 , , 。由电位所满足的微分方程1231E2302dcosxxd2d0x23d0x解得011sindxCx2dCx3dCx2011coDd22D33D由于理想介质分界面没有面电荷,所以边界条件为时 x12120dx时 d33又根据对称性可知,在 的平面上,电场强度是为零的,即 时, 。最后再选择零电位参考点0x 0x1dx使得 时, 。联立解得0x1。0321C201dD2023dD只要利用 就可以得到dxEe时, dx20333d0xEe时 22001cosdx011 sinxxdxe时,

4、dx202 22dxE 选择不同的零电位参考点,得到的电位不同,但电场强度仍是相同的。 根据对称性只需求出 的解,即 和 。0x1233.10 位于 和 处的两个无限大导电平面间充满了 的体电荷。若将 处的导电平xd 01xd0x板接地,而将 处的导电平板加上电压 。试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。0U解:由于无限大导体极板之间电荷分布是只与 有关,忽略边缘效应,可以认为电位分布也只与 有关,且满x足一维泊松方程320d(1)xxd其通解为 320012()6xC由 而由 (0)02C0dU03d因此板间电位分布为 32000()6xxxd板间电场强度为 2000()3xUEex从该式

5、可以求出电场强度为零的位置为 20002 0004()24 1()3dUdbacx d 由于我们是讨论极板内电场强度,因此零点位置为 )32(100dUx3.11 如题 3.11 图所示的平板电容器中,分别以两种不同的方式填充两种不同的介质 和 。当两极板之间外12加电压 时,试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。0U解:对于图 a:忽略边缘效应,可以认为电位分布也只与 有关,均满足一维拉普拉斯方程。且由介质分界面x的边界条件可知,两种介质中的电位分布是相同的,其通解为 CxD根据已知条件 和 ,解得0x02dU和 ,即平板电容器中的电位分布为D2d0x根据 ,可以得到平板电容器中的电

6、场分布E为 0d2xxUe对 平板上 ,面电荷密度分别为0xn 01nn2 S ySdeDE上下总电量为 0012120USQSUdd电容器的电容为4120QSCUd对于图 b:忽略边缘效应,可以认为电位分布也只与 有关,均满足一维拉普拉斯方程。两种介质中的电x位分布的通解可以分别设为和 11xD22CD根据已知条件 和 ,以及分界面处的边界条件 和10x20xd 12xdxd可以解得12xdxd和 201Uxd2001Uxd根据 ,可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为E和 012111dxxe 02122 2dxxUEed对 平板上 ,面电荷密度为0xn 012nn1 S xUeD总电

7、量为 012SSQd电容器的电容为 0CU3.12 已知在半径为 的无限长圆柱形体内均匀分布着电荷密度为 的体电荷。圆柱体内外的介电常数分别为a 0和 。若取圆柱体的表面为零电位的参考面,试利用直接积分法求出圆柱体内外的电位和电场强度。0解:取定圆柱坐标系,使 轴与圆柱体的中心轴线相重合,由电位和电场的对称性可知 与 和 无关。圆柱z z体内外的电位 和 分别满足12和 01d 02d1它们的通解可以分别表示式为和 20111ln4CD22lnCD由轴线上的电位应为有限值可得 。而由圆柱体的表面电位为零可得1和 20a22l0a即 和 2014n于是有 和 12lCa代入圆柱体表面电位的法向导

8、数的边界条件 得到 ,即 。10rara02Ca202a最后得到圆柱体内外的电位分别为和 2014202ln5而圆柱体内外的电场强度分别为和 0111d2Ee 20222daEe3.13 如题 3.13 图所示,半径为 的无限长导体圆柱,单位长度的带电量为 。其a l一半埋于介电常数为 的介质中,一半露在空气中。试求各处的电位和电场强度。解:根据题意,空间中电位分布与 和 无关,均满足一维的拉普拉斯方程,即z21122d0r介 质 中空 气 中将上述两方程分别直接积分两次,得出通解为和 11lnCD22lnCD根据不同介质分界面电位的连续性可知 和 ,即211l若设无限长导体圆柱上电位为 0,

9、也即 ,可得 ,即()0aaln导体圆柱的面电荷密度为 0SC介 质 中空 气 中单位长度导体圆柱的电量为 la即 0()lC于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为和 0ln()la0()lEe3.14 如题 3.14 图所示同轴电容器,其中部分填充了介质 ,其余是空气。当外加电压 时,试求电容器中的电位和电场强度的分布以及单位长度的电容。0U解:根据题意,空间中电位分布与 和 无关,均满足一维的拉普拉斯方程,即z21122d0r介 质 中空 气 中将上述两方程分别直接积分两次,得出通解为和 11lnCD22lnCD根据不同介质分界面电位的连续性可知 和 ,即211l6由 和 可得到 0a0

10、bU和 lnDCa0lnUCbD可以解得和 0/lb0l/a因此电容器内电位和电场强度的分布分别为和 0lnUab 0d1lnUEeba利用 可以计算出电容器内面电荷密度分布为nSeD和 01 lSba 01 lnSba那么单位长度总电荷为 0000(2)112lnlnlUUQbbbaa因此单位长度的电容为 0012lnCba3.15 在介电常数为 的无限大介质中,均匀分布体密度为 的电荷。若在该介质中挖了一个半径为 的球形 00R空腔(腔中的介电常数可视为 ) 。利用直接积分法求出各处的电位分布 和电场强度 。 (以球面为零电0 E位参考点)解:根据场的对称性可知 ,即 。设球形空腔内外的电

11、位分别为 和 。221dr 12解 和 得21d0r20dr和 11DrC22026DrC考虑到 时,场应是有界的,即 。再利用边界连续条件 时, ,0r 01 0R21以及给定的零电位参考点,即 时, ,联立解得120d0Rr21, 和1DC3202D由此可得,0126030202 Rr7,011E 2300222 rRedrE3.16 顶端夹角为 的带电导体圆锥垂直于无限大的接地导体平面,但两者之间有一缝隙。当圆锥所加电压为02时,试求圆锥体与导体平面之间的电位分布及电场强度。0U解:由于圆锥体与导体平面之间的电位分布均仅为坐标 的函数,满足一维的拉普拉斯方程21sin0ir即 i将上述方

12、程分别直接积分两次,得出通解为 lnta2CD利用边界条件 和 解得0U/20和 0lnta2U0由此可得圆锥体与导体平面之间的电位和电场强度的分布分别为和 0ltalnt2U 011sinlnta2UEerr3.17 如题 3.17 图所示,由两块形状相同的不相连矩形导体槽构成的无限长的矩形管,内填空气,但两者之间有一缝隙。当外加电压 时,利用直角坐标0U系分离变量法求出矩形管内的电位分布。解:定解问题为 , , 以及020y0yb和 0/2xUd /2/xady设 ,其中 和 的满足的定解问题分别为00121yb12, , , 和1201y10yb10x01/2/xaUyb, , , 和2

13、20y2yb2xa0202/xybU8由定解问题的边界条件 和 很容易得到10y10yb11sinhcoshinnxxyABb由 ,则 ,因此上式变成10x2A1siin代入边界条件 ,则得到01/2/xaUyb01 /2sinhi /UybayAb利用正弦函数的正交性可以得到 /20 00 /2sinhsindsindb bayyUb 积分得到 /01sihnnAab由定解问题 , , , 可知2020y2yb2xa1sinhsinyCb代入边界条件 ,则得到020/2/xUyb/201sinhnnUCab最后得到电位分布为 /2002,46 sinh1cosh1coinn xUyxaybd

14、 3.18 求题 3.18 图所示矩形空间区域内的电位分布,已知边界条件为:(1) , ;0234(2) , , ;U1n0(3) , ;0sicoyb124(4) , , 。20E1403n9解:(1)根据给定的边界条件可以将通解直接选为 1212,sinhcossincosyyyyxyCkxkxDk由边界条件 可以得到240和 20D,3yb即 112,sinsihcoshnxnxxyCb为了求解方便可以将上式改写为 112,sinsihcoshaxaxyxyDbbb 如此一来,由边界条件 可以直接得到 ,于是有3020C,sinhaxyxyEb式中, 。将上式对 求和,可将此边值问题的解

15、写成1DCEnn1,23siinn xy 最后,将边界条件 代入上式,得10U01,23siinhnnyaEb利用三角函数的正交性可以得到 00 41,352sinhsindsih 2,46bn UaUyEab 最后得到电位分布为 01,35 4sinihihn axyab (2)根据给定的边界条件可以将通解直接选为 1212,sincosinhcosxxxxxyCkDkyky由边界条件 和 可以得到10n3212,cosinhcoshxyyxyaa1,23n由边界条件 可以得到4010,cosinh2nxyxyEa1,23n式中, 。将上式对 求和,可将此边值问题的解写成1DCEn1,23,

16、csi2nnxya最后,将边界条件 代入上式,得20U1,23cosih2nnxyEa利用三角函数的正交性可以得到 1020 41,352sinhsindsih 2,46an UbUxEba 最后得到电位分布为 1021,354cosinh2sinhn xyba(3)根据给定的边界条件可以将通解直接选为 1212,sihcossicosyyyyxyCkxkxDk由边界条件 可以得到240112,sinsihcoshynxnxxyDCbb1,23由边界条件 可以得到10,sinhixyxyEb1,23n式中, 。将上式对 求和,可将此边值问题的解写成1DCEn 1,23,siinnxyb最后,将边界条件 代入上式,得0304sicoiiUyUb0 1,2324inisinhinxyEb比较系数可以得到和 02sihUEab041sinhUab其余的系数均为零。最后得到电位分布为

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