1、第一章 习题解答1.2 给定三个矢量 , , :ABC= +2 -3xayz= -4 +z=5 -2Cxz求:矢量 的单位矢量 ;AAa矢量 和 的夹角 ;BB 和 ( )和( ) ;ACAC ( )和( )BB解: = = = ( +2 -3 )/Aa149xayz14 = /cosB=A35.o = 11, = 10 4xayz ( )= 42BC( ) = 42A ( )=55 44 11xayza( ) =2 40 +5BCz1.3 有一个二维矢量场 = ( y)+ (x),求其矢量线方程,并定性画出该矢量场图F(r)x形。解:由 dx/( y)=dy/x,得 + =c21.6 求数量
2、场 =ln( + + )通过点 P(1,2,3)的等值面方程。xyz解:等值面方程为 ln( + + )=c2xy2z则 c=ln(1+4+9)=ln14那么 + + =142xy2z1.9 求标量场 (x,y,z)=6 + 在点 P(2,-1 ,0)的梯度。2x3yze解:由 = + + =12x +18 + 得xayza3yxa2yzea= 24 +72 +xyz1.10 在圆柱体 + =9 和平面 x=0,y=0,z=0 及 z=2 所包围的区域,设此区域的表面为 S:2求矢量场 沿闭合曲面 S 的通量,其中矢量场的表达式为A= 3 + (3y+z)+ (3z x)xa2yza验证散度定
3、理。解: = + + + +sdS曲 dxozASyozd上 AS下= =156.4AS曲 232(csinsi)曲= = 6xoz)yzxo= =0dy23dyz+ = + =AS上 下 (6cos)d上 cosd下 27=193sd = =6 =193V(6)xd(cos1)Vdz即: =sA1.13 求矢量 = x+ x 沿圆周 + = 的线积分,再求 对此圆周所包围的xay22y2aA表面积分,验证斯托克斯定理。解: = =ldA2Ld4=za2y= = =SsdA2Sy2sinSd4a即: = ,得证。l1.15 求下列标量场的梯度:u=xyz+ 2x= + + = (yz+zx)+
4、 xz+ xyuxayuzaxyazu=4 y+ z 4xz2= + + = (8xy-4z)+ (4 +2yz)+ ( 4x)uxayuzaxya2xza2y = + + = 3x+ 5z+ 5yxyzxyz1.16 求下列矢量场在给定点的散度 = + + =3 +3 +3 =6AxyzA2xy(1,0)| =2xy+z+6z =2(1,0)|1.17 求下列矢量场的旋度。 =A = (x x)+ (y y)+ (z z)=aa01.19 已知直角坐标系中的点 P(x,y,z)和点 Q(x,y,z),求:P 的位置矢量 和 Q 点的位置矢量 ;rr从 Q 点到 P 点的距离矢量 ;R 和 ;
5、r 。1()R解: = x+ y+ z;rxayz= x+ y+ z za = = (x x)+ (y y)+ (z z)Rra = , =3r0 22211()()()Rxyz=( + + )xayza1R= x21(y2(za21()R= a3R3z3= (x x)+ (y y)+ (z z)1a= 3即: =1()R3第一章 习题解答1.2 给定三个矢量 , , :ABC= +2 -3xayz= -4 +z=5 -2Cxz求:矢量 的单位矢量 ;AAa矢量 和 的夹角 ;BB 和 ( )和( ) ;ACAC ( )和( )BB解: = = = ( +2 -3 )/Aa149xayz14
6、= /cosAB=135.o = 11, = 10 4xayz ( )= 42ABC( ) = 42 ( )=55 44 11xayza( ) =2 40 +5ABCz1.3 有一个二维矢量场 = ( y)+ (x),求其矢量线方程,并定性画出该矢量场图F(r)x形。解:由 dx/( y)=dy/x,得 + =c21.6 求数量场 =ln( + + )通过点 P(1,2,3)的等值面方程。xyz解:等值面方程为 ln( + + )=c22则 c=ln(1+4+9)=ln14那么 + + =142xy2z1.9 求标量场 (x,y,z)=6 + 在点 P(2,-1 ,0)的梯度。2x3yze解:
7、由 = + + =12x +18 + 得xayza3yxa2yzea= 24 +72 +xyz1.10 在圆柱体 + =9 和平面 x=0,y=0,z=0 及 z=2 所包围的区域,设此区域的表面为 S:2求矢量场 沿闭合曲面 S 的通量,其中矢量场的表达式为A= 3 + (3y+z)+ (3z x)xa2yza验证散度定理。解: = + + + +sdS曲 dxozASyozd上 AS下= =156.4AS曲 232(csinsi)曲= = 6AdSxoz(3)yzdxxo= =0y2yz+ = + =dS上 下 (6cos)d上 cosd下 27=193sA = =6 =193dV(6)x
8、d(cos1)Vdz即: =sA1.13 求矢量 = x+ x 沿圆周 + = 的线积分,再求 对此圆周所包围的xay22y2aA表面积分,验证斯托克斯定理。解: = =ldA2Ld4=za2y= = =SsdS2sinSdA4a即: = ,得证。lA1.15 求下列标量场的梯度:u=xyz+ 2x= + + = (yz+zx)+ xz+ xyuxayuzaxyazu=4 y+ z 4xz2= + + = (8xy-4z)+ (4 +2yz)+ ( 4x)uxayuzaxya2xza2y = + + = 3x+ 5z+ 5yxyzxyz1.16 求下列矢量场在给定点的散度 = + + =3 +
9、3 +3 =6AxyzA2xy(1,0)| =2xy+z+6z =2A(1,0)|1.17 求下列矢量场的旋度。 = = (x x)+ (y y)+ (z z)=aa01.19 已知直角坐标系中的点 P(x,y,z)和点 Q(x,y,z),求:P 的位置矢量 和 Q 点的位置矢量 ;rr从 Q 点到 P 点的距离矢量 ;R 和 ;r 。1()R解: = x+ y+ z;rxayz= x+ y+ z za = = (x x)+ (y y)+ (z z)Rra = , =30 22211()()()xyz=( + + )Rxayza1R= x21(y2(za21()R= a3R3z3= (x x)
10、+ (y y)+ (z z)1a= 3即: =1()R3第二章 习题解答2.5 试求半径为 a,带电量为 Q 的均匀带电球体的电场。解:以带电球体的球心为球心,以 r 为半径,作一高斯面,由高斯定理 =Q,及 得,SDdAE r a 时,由 = ,得S2243ra34QrD30Ea ra 时,由 =Q,得SDdA34Qr30Er2.5 两无限长的同轴圆柱体,半径分别为 a 和 b(a0 的区域外电场强度为 0,即:= =0,得 =120ssre1S2sa2.9 一个半径为 a 的薄导体球壳,在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜,球内充满总电量为Q 的电荷,球壳上又另充了电量为 Q 的电荷,已知内部的
11、电场为 ,计算:4()rEa球内电荷分布;球的外表面的电荷分布;球壳的电位;球心的电位。解:由 ,得0vEA304ra re0srrD由高斯定理 = =qSdA24r当 r a 时,q=2Q , Q=0a02rQ .aEdl=2.2ara2.17 一个有两层介质( , )的平行板电容器,两种介质的电导率分别为 和 ,电12 12容器极板的面积为 S。当外加压力为 U 时,求:电容器的电场强度;两种介质分界面上表面的自由电荷密度;电容器的漏电导;当满足参数是 ,问 G/C=?(C 为电容器电容 )121解:由 ,得121n2ED,JU,1212d212d两介质分界面的法线由 1 指向 2由 ,得21sE=s212Ud12d由 ,知IJES121dG= =IU21S =DQC21dG/C= 1
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