均值各态历经定理.ppt

1、庄伯金 ,1,概率论与随机过程,第14章 平稳随机过程,庄伯金 ,2,主要内容,平稳随机过程的概念遍历性相关函数平稳随机过程的功率谱密度,平稳随机过程的概念,定义：设随机过程 ，若对任意 和 ，时刻满足时， 维随机变量和具有相同的分布函数，则称随机过程 具有平稳性，称此过程为平稳随机过程，简称平稳过程。若平稳过程的参数集是离散的，则称过程为平稳随机序列或平稳时间序列。,庄伯金 ,3,平稳随机过程的概念,平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。一般的，若随机过程的前后环境和主要条件都不随时间的推移而变化，则可认为该过程为平稳过程。恒温条件下的热噪声电压过程；随机相位正弦波；,庄伯金 ,4,平

2、稳随机过程的性质,性质1：若平稳过程 的均值函数 存在，则均值函数为常数。证明：由平稳过程的定义，取 ，则有 和 同分布，即得记性质2：平稳过程 的均方值函数和方差函数为常数。记平稳过程的所有样本曲线在水平直线 上下波动，平均偏离度为 。,庄伯金 ,5,平稳随机过程的性质,性质3：若平稳过程 的自相关函数 存在，则自相关函数只与时间差 有关。证明：由平稳过程的定义，取则有二维随机向量 和 同分布。所以记性质4：平稳过程 的协方差函数 只与 有关。记 ，则有,庄伯金 ,6,宽平稳过程,定义：给定二阶矩过程 ，若对任意 ，有则称 为宽平稳过程或广义平稳过程。注：按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过

3、程或狭义平稳过程。定理：若严平稳过程的二阶矩存在，则它一定是宽平稳过程。定理：宽平稳的正态过程必定是严平稳过程。注：由于根据分布函数判定平稳性一般较难，所以实际应用中，通常只考察宽平稳性。我们一般把宽平稳过程称为平稳过程。,庄伯金 ,7,宽平稳过程,定义：若两个平稳过程 和 ，其互相关函数 只与时间差 有关，则称 和 是平稳相关的，或称两个过程是联合（宽）平稳的。注：泊松过程和维纳过程都是非平稳过程，但增量具有平稳性。,庄伯金 ,8,平稳过程的例,例：设 是互不相关的随机序列，且满足：证明该随机序列是宽平稳随机序列。证明：由题即所以随机序列为宽平稳的。,庄伯金 ,9,平稳过程的例,例：（随机相

4、位周期过程）设 是周期为 的函数， 是在 上服从均匀分布的随机变量，则称 为随机相位周期过程。证明该过程是平稳过程。证明：由题可知 的概率密度为则,庄伯金 ,10,随机过程积分,实际应用中，随机过程的数字特征需通过进行大量重复试验，获得足够多的样本曲线之后获得：实际应用的困难：大量重复试验的工作很难实现。是否可以由一次试验获得随机过程的数字特征？考察在一次试验中，随机过程在时间维度上相关数字特征与随机过程的关系。,庄伯金 ,11,随机过程的积分,定义：给定二阶矩过程 ，若它的每个样本函数在时间区间 上的积分都存在。则称此随机过程在时间区间 的积分存在，并记为注： 也是随机变量。,庄伯金 ,12

5、,随机过程的积分,定义(均方积分)：考虑 内的一组分点：记若存在随机变量 ，满足则称 为 在区间 上的均方积分，仍记为,庄伯金 ,13,随机过程的积分,定理：二阶矩过程 在 上均方积分存在的充要条件是自相关函数的二重积分存在。且可得 均方积分的均值等于过程的均值函数的积分，即有,庄伯金 ,14,随机过程的时间平均,定义：设随机过程 ，记为随机过程的时间均值。记为随机过程的时间相关函数。,庄伯金 ,15,随机过程的时间平均,例：随机相位正弦波 的时间均值 和 。解：可得即可通过时间平均计算过程的集平均。,庄伯金 ,16,遍历性,定义：设 是平稳过程，1.若 以概率1成立，则称过程 的均值具有各态

6、历经性。2.若对于任意的实数 ，以概率1成立，则称过程 的相关函数具有各态历经性。3.若 的均值和相关函数都具有各态历经性，则称 是（宽）各态历经过程。注：各态历经性也称为遍历性。,庄伯金 ,17,遍历性,定理（均值各态历经定理）：平稳过程 的均值具有各态历经性的充要条件是推论：假设 存在，若 ，则过程具有均值各态历经性；若 ，则过程不具有均值各态历经性。,庄伯金 ,18,遍历性,定理（自相关函数各态历经定理）：平稳过程 的自相关函数 具有各态历经性的充要条件是：其中,庄伯金 ,19,遍历性,若随机过程 ，参数集 ，则时间平均可定义为：定理：以概率1成立的充要条件是,庄伯金 ,20,遍历性,定

7、理：以概率1成立的充要条件是遍历性定义表明若过程具有遍历性，可用一次试验样本曲线的时间平均计算随机过程的均值和相关性函数。,庄伯金 ,21,遍历性,设一次随机试验记录了 上的试验结果 ，假设平稳过程满足遍历性条件，试估算平稳过程的均值函数和自相关函数。解：由遍历性的定义，可知随机过程的均值函数与自相关函数的无偏估计为：,庄伯金 ,22,数字化，将区间 做 等分，取 ，令则上述积分可近似表示为其中,庄伯金 ,23,相关函数的性质,设 和 是平稳相关过程，它们的自相关函数和互相关函数：自协方差函数和互协方差函数：,庄伯金 ,24,相关函数的性质,性质1.性质2.证明：性质3.证明：,庄伯金 ,25

8、,相关函数的性质,性质4.证明：由柯西-施瓦兹不等式,庄伯金 ,26,相关函数的性质,性质5. 是非负定的，即对任意数组 和任意实值函数 ，都有证明：,庄伯金 ,27,相关函数的性质,性质6.若平稳过程周期为 ，即 ，则其自相关函数也是周期的，且周期为 ，即证明：注：零均值的非周期噪声和干扰在 值适当大时， 和 呈现独立性或不相关性。即有,庄伯金 ,28,相关函数的性质,例：某接收机输出电压 由周期信号 和噪声电压 之和，即设 和 互不相关的各态历经性过程，且 。则自相关函数由于所以，对于适度的 ，有 ，呈现周期性。故可以通过检验输出电压自相关函数是否近似具有周期性来检验是否有输出信号。,庄伯

9、金 ,29,傅里叶变换,定义（傅里叶变换）：设时间函数 ，满足狄利克雷条件，且绝对可积，即则其傅里叶变换存在，即傅里叶逆变换为：注：若 傅里叶变换存在，则信号 可以看作（或分解）将周期信号 放大到 倍之后的叠加。 为频率为 的周期波的振幅，称为信号的频谱。,庄伯金 ,30,傅里叶变换,帕塞瓦尔（Parseval）等式：注：帕塞瓦尔等式揭示了信号在傅里叶变换前后能量保持不变的特性。其实正交变换都具有这种特性。注：一般的，平稳过程的样本函数 并不具备能量有限的条件，且一般不满足绝对可积的条件。对平稳过程，转而研究样本函数的平均功率：,庄伯金 ,31,功率谱密度,为了描述平均功率，取样本函数的截尾函

10、数其傅里叶变换为根据帕塞瓦尔等式，可得求平均，可得,庄伯金 ,32,功率谱密度,令 ，则 在 的平均功率可表示为定义：功率谱密度,庄伯金 ,33,平稳过程的功率谱密度,定义：平稳过程 ，记称为平稳过程的平均功率。称为平稳过程的功率谱密度。,庄伯金 ,34,平稳过程的功率谱密度,定义：称为平稳过程的平均功率的谱表示。,庄伯金 ,35,谱密度的性质,性质1. 是 的实值、非负的偶函数。性质2. 和 是一对傅里叶变换对，即（维纳-辛钦公式）：,庄伯金 ,36,谱密度的例,例：随机电报信号为平稳过程，其自相关函数为求功率谱密度。解：,庄伯金 ,37,谱密度的例,例：已知谱密度求自相关函数和均方值解均方

11、值,庄伯金 ,38,单位冲激函数,定义：广义函数 满足：称为单位冲激函数，简称 函数。性质1. 性质2. 傅里叶变换对,庄伯金 ,39,单位冲激函数,性质3. 正弦性自相关函数 的谱密度为证明：,庄伯金 ,40,单位冲激函数,例：求自相关函数的功率谱密度。解,庄伯金 ,41,白噪声,定义：均值为零而谱密度为正常数，即的平稳过程 称为白噪声过程，简称白噪声。白噪声的自相关函数：白噪声为均值为零，自相关函数为 函数的随机过程，且对于 ，有 和 不相关。,庄伯金 ,42,白噪声,低通白噪声：若均值为零，谱密度在低频范围内为常数，即则称随机过程为低通白噪声。自相关函数：,庄伯金 ,43,互谱密度,定义：设 和 是平稳相关的随机过程，称为平稳过程 和 的互谱密度。性质1. 性质2. 若互相关函数 绝对可积，则有傅里叶变换对：性质3. 和 是偶函数， 和 是奇函数。,庄伯金 ,44,互谱密度,性质4.,庄伯金 ,45,作业1,P360 1P360 4P360 6P360 7P360 8,庄伯金 ,46,作业2,P361 10P361 12P361 13P361 15P361 18,庄伯金 ,47,