1、第 1 页 共 4 页钟表的三针重合问题曲阜师范大学附属中学 孔凡代一、问题在 1 日之内，钟表的时针、分针、秒针有几次重合？二、时针、分针、秒针的速度时针的速度： 3601d/h/m=d/s1220分针的速度：秒针的速度： 6/s0三、基于初一知识的解法从分针与时针重合（相遇）入手（背景源于人教版七年级数学上册） 。在 时内，显然 t=0 时，秒针与分针、时针重合。0,1在 时内，设 1 时 x 分时，分针与时针重合，则 ，2 16063,21xx即 时，分针与时针重合。此时，相对于 0 时，时针与的转角均为3:5t，而秒针的转角为 ，显然秒针与分针、时针不重合。60d1306d1在 时内，
2、设 2 时 x 分时，分针与时针重合，则2,3，60,x即 时，分针与时针重合。此时，相对于 0 时，时针与的转角均为:1t，而秒针的转角为 ，显然秒针与分针、时针不重合。2d60d1在 时内，设 3 时 x 分时，分针与时针重合，则3,4，160,2x即 时，分针与时针重合。此时，相对于 0 时，时针与的转角均为:t，而秒针的转角为 ，显然秒针与分针、时针不重合。3d1206d第 2 页 共 4 页在 时内，设 4 时 x 分时，分针与时针重合，则4,5，16063,21x即 时，分针与时针重合。此时，相对于 0 时，时针与的转角均为:t，而秒针的转角为 ，显然秒针与分针、时针不重合。40d
3、1546d在 时内，设 5 时 x 分时，分针与时针重合，则5,6，603,21x即 时，分针与时针重合。此时，相对于 0 时，时针与的转角均为8:7t，而秒针的转角为 ，显然秒针与分针、时针不重合。560d186d在 时内，设 6 时 x 分时，分针与时针重合，则,，063,21x即 时，分针与时针重合。此时，相对于 0 时，时针与的转角均为48:t，而秒针的转角为 ，显然秒针与分针、时针不重合。0d1486d在 时内，设 7 时 x 分时，分针与时针重合，则7,8，063,21x即 时，分针与时针重合。此时，相对于 0 时，时针与的转角均为:t，而秒针的转角为 ，显然秒针与分针、时针不重合
4、。70d126d在 时内，设 8 时 x 分时，分针与时针重合，则8,9，063,21x即 时，分针与时针重合。此时，相对于 0 时，时针与的转角均为4:t，而秒针的转角为 ，显然秒针与分针、时针不重合。80d1426d在 时内，设 9 时 x 分时，分针与时针重合，则9,，063,21x第 3 页 共 4 页即 时，分针与时针重合。此时，相对于 0 时，时针与的转角均为609:41t，而秒针的转角为 ，显然秒针与分针、时针不重合。d60d1在 时内，设 10 时 x 分时，分针与时针重合，则有0,，即 时，分针与时针重合。此时，163,2x360:541t相对于 0 时，时针与的转角均为 ，
5、而秒针的转角为 ，显然10d360d1秒针与分针、时针不重合。在 时内，设 11 时 x 分时，分针与时针重合，则有1,2，即 时（就是 12 时） ，分针与时针16063,x1:5960t重合。此时，相对于 0 时，时针与的转角均为 ，而秒针的转角为d，显然秒针与分针、时针重合。但是，根据约定 12 不在 内，故0d1 1,2在 时内秒针与分针、时针不重合！,2在 时内，据上段所述，t=12 时，秒针与分针、时针重合。3类似地，在 时内，1,4,51,6,71,8,91,20,2,3秒针与分针、时针都不重合。在 时内，设 23 时 x 分（钟表显示 11 时 x 分）时，分针与时针重合，23
6、,则有 ，即 时（就是 24 时，也就是次日11606,x23:5960t的 0 时） ，分针与时针重合。此时，相对于 0 时，时针与的转角均为，而秒针的转角为 ，显然秒针与分针、时针重合。但是，d1d1根据约定 24 不在 内，故在 时内秒针与分针、时针不重合！23,423,4综上可得，在 1 日（即 内） ，秒针与分针、时针只在 0 时和 12 时三针0,重合。四、一点说明上述解法文字较多，主要是便于初一上学期的学生阅读。实际上只解了一第 4 页 共 4 页个方程，以后的（ 时内）顺次加 ：1,260m1；603160m而分针、时针重合的时刻（ 时内）依次为：,360241:52:13:11:5960
