“多次相遇问题”解题技巧.doc

1、 “多次相遇问题”解题技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。相对来讲，直线型更加复杂。环型只是单纯的周期问题。一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。题意如果没有明确说明是哪种相遇，对两种情况均应做出思考。1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从 A、B 两地同时相向而行，第一次迎面相遇在 a 处，（为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出）则共走了 1 个全程，到达对岸 b

2、 后两人转向第二次迎面相遇在 c 处，共走了 3 个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的 2 倍。之后的每次相遇都多走了 2 个全程。所以第三次相遇共走了 5 个全程，依次类推得出：第 n 次相遇两人走的路程和为（2n-1）S，S 为全程。而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的 2 倍，分开看每个人都是 2 倍关系，经常可以用这个 2 倍关系解题。即对于甲和乙而言从 a 到 c 走过的路程是从起点到 a 的 2 倍。相遇次数 全程个数 再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2 n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从 A、B 两地同

3、时出发，如下图，此时可假设全程为 4 份，甲 1 分钟走 1 份，乙 1 分钟走 5 份。则第一次背面追及相遇在 a 处，再经过 1 分钟，两人在 b 处迎面相遇，到第 3 分钟，甲走 3 份，乙走 15 份，两人在 c 处相遇。我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是 1 个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为 3 个全程。同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的 2 倍，单看每个人多走的路程也是第一次的 2 倍。依次类推，得：第 n 次背面追及相遇两人的路程差为（2n-1）S。（二）单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。 1、迎

4、面碰头相遇：如下图，假设甲、乙两人同时从 A 端出发，假设全程为 3 份，甲每分钟走 2 份，乙每分钟走 4 份，则甲乙第一次迎面相遇在 a 处，此时甲走了 2 份，乙走了 4 份，再过 1 分钟，甲共走了 4 份，乙共走了 8 份，在 b 处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次类推，可得出：当第 n 次碰头相遇时，两人的路程和为 2ns。2、背面追及相遇与迎面相遇相似，假设全程为 3 份，甲每分钟走 1 份，乙每分钟走 7 份，则第一次背面相遇在 a 处，2 分钟后甲走了 2 份，乙走了 14 份，两人在 b 处相遇。第一次相遇，两人走的路程差为 2S，第二次相遇两人走的路程差

5、为 4S，依次类推，可以得出：当第 n 次追及相遇时，两人的路程差为 2ns。“直线型”总结（熟记）两岸型：第 n 次迎面碰头相遇，两人的路程和是（2n-1）S。第 n 次背面追及相遇，两人的路程差是（2n-1）S。单岸型：第 n 次迎面碰头相遇，两人的路程和为 2ns。第 n 次背面追及相遇，两人的路程差为 2ns。下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型：模型一：根据 2 倍关系求 AB 两地的距离。【例 1】甲、乙两人在 A、B 两地间往返散步，甲从 A，乙从 B 同时出发，第一次相遇点距B60 米，当乙从 A 处返回时走了 10 米第二次与甲相遇。A、B 相距多少米？A

6、、150 B、170 C、180 D、200【答案及解析】B。如下图，第一次相遇在 a 处，第二次相遇在 b 处，aB 的距离为 60，Ab的距离为 10。以乙为研究对象，根据 2 倍关系，乙从 a 到 A，再到 b 共走了第一次相遇的2 倍，即为 602=120 米，Ab 为 10，则 Aa 的距离为 120-10=110 米，则 AB 距离为110+60=170 米。模型二：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。【例 2】甲、乙两人在长 30 米的泳池内游泳，甲每分钟游 37.5 米，乙每分钟游 52.5 米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从

7、出发开始计算的 1 分 50 秒内两人共相遇多少次？A、2 B、3 C、4 D、5【答案及解析】B。题目没说是迎面还是背面，所以两种相遇的次数都应该计算。分开讨论，如是是迎面相遇，则走的全程的个数为 个，根据迎面相遇 n 次，走的全程为 2n-1=5，求得 n=3；如果是背面相遇，则走的全程数为，故在 1 分 50 秒内，不能背面相遇。所以共相遇 3 次。模型三：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求 AB 两地的距离。【例 3】甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，在 A、B 间不断往返行驶。甲车每小时行20 千米，乙车每小时行 50 千米，已知两车第 10 次与第 18 次迎面相遇的

8、地点相距 60 千米，则 A、B 相距多少千米？A、95 B、100 C、105 D、110【答案及解析】C。走相同时间内，甲乙走的路程比为 20：50=2：5。将全程看成 7 份，则第一次相遇走 1 个全程时，甲走 2 份，乙走 5 份。以甲为研究对象（也可以以乙），第 10次迎面相遇走的全程数为 210-1=19 个，甲走 1 个全程走 2 份，则走 19 个全程可走192=38 份。7 份是一个全程，则 38 份共有 387=53 份（当商是偶数时从甲的一端数，0 也是偶数；当商是奇数时从乙的一端数，比如第 1 个全程在乙的一端，第 2 个全程在甲的一端）从乙端数 3 份。同理当第 18

9、 次相遇，甲走的份数为（218-1）2=70 份。共有707=10 个全程，10 为偶数在甲的端点。如下图：则第 10 次相遇与第 18 次相遇共有 4 份为 60 千米，所以 AB 长为 千米。 点评：对于给定任意两次的距离，主要是根据速度转化为全程的份数，找一个为研究对象，看在相遇次数内走的全程数，从而转化为份数，然后根据一个全程的份数，将研究对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数，注意由全程的个数决定剩余的份数从哪一端数。【例 4】甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，在 A、B 间不断往返行驶。甲车每小时行45 千米，乙车每小时行 36 千米，已知两车第 2 次与第 3 次迎面相遇

10、的地点相距 40 千米，则 A、B 相距多少千米？A、90 B、180 C、270 D、110【答案及解析】A。法一：同上题。相同时间，甲、乙路程比为 45：36=5：4，则将全程分成 9 份。则一个全程时甲走 5 份，乙走 4 份。以甲为研究对象，第 2 次相遇，走的全程数为 22-1=3 个，则甲走的份数为 35=15 份，一个全程为 9 份，则第 2 次相遇甲走的份数转化为全程的个数为 159=16 份，则从乙端数 6 份。第 3 次相遇走的份数为（23-1）5=25 份，转化为全程的个数为 259=27，则从甲端数 7 份。如下图：由图第 2 次和第 3 次相遇之间共有 4 份为 40

11、 千米，则 AB 相距 =90 千米。法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比，则以时间为刻度，画出两人到达对岸的路线图，两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。s-t 图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”。本题中，甲、乙走到端点用的时间比为 36：45=4：5。如下图：根据路线图看出甲乙第 2 次相遇和第 3 次相遇的交点 E 和 O，根据三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，则求得第 2 次相遇距 A 地的比例为 S/3，同理 DO:ON=7：2，则第 3 次相遇距 A 地的比例为 7S/9，则两

12、次相遇比例为 为 40 千米，则 S=90 千米。 点评：考生如果能掌握“沙漏”模型，则会直观快速的提高解题速度。用交点判断是迎面相遇还是背面相遇的技巧：看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸，同一岸则说明是背面相遇，不同岸则说明是迎面相遇。用时注意：一般题干涉及到的相遇次数较少时可画，相遇次数太多，则会花费大量时间，不利于提高速度；画时的单位刻度要看时间比，如果时间比中的数据较大可把刻度画大。模型四：告诉两人的速度，相遇次数较少时，利用 s-t 图形成“沙漏”模型速解。【例 5】A、B 两地相距 950 米。甲、乙两人同时由 A 地出发往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走 40 米；乙跑步，每分钟

13、行 150 米。则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近。A、1 B、2 C、3 D、4【答案及解析】B。利用“沙漏模型”。甲乙走到端点用的时间比为 150：40=15：4，半小时两人共走的全程数为 个。对于单岸型，相遇 6 个全程，则是迎面第三次相遇（由前边公式推出）画出 s-t 图：观察上图可知，可第 3 次迎面相遇的过程中，甲乙有一次背面相遇（交点由同一点引出）。而在三次迎面相遇中第 2 次相遇离 B 地最近，并且可根据三角形相似求出离 B 地的距离。【例 6】河道赛道长 120 米，水流速度为 2 米/秒，甲船静水速度为 6 米/秒，乙船静水速度 为 4 米/秒。比赛进行两次往返，甲

14、、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇？A、48 B、50 C、52 D、54【答案及解析】C。由题知，得出如下关系：顺流 逆流甲 8（15） 4（30）乙 6（20） 2（60）注：（ ）中为走完全程的时间。假设 A 到 B 是顺流，由上表可知甲、乙两人第 2 次迎面相遇共有 4 个全程。由于甲的速度快，则第 2 次相遇前甲已走了 2 个全程。共 15+30=45 秒。当第 45 秒时乙走了一个顺流全程 20 秒和 25 秒的逆流，走的路程为 252=50 米，则在剩余的 70 米内，甲乙分别以顺流和逆流相遇时间为 t，则有 70=（8+2）t，求得 t=7 秒，则

15、共用时间 45+7=52 秒。本题同样可用“沙漏模型”解决。根据上表中的速度关系，可得出一个全程时的时间关系如下：顺流 逆流甲 3 6乙 4 12根据时间的关系，得出 s-t 图像，如下：观察上图，可看出第二次迎面相遇在 P 点，以甲为研究对象计算时间，此时甲走了一个顺流，一个逆流，另外 EP 段为顺流，根据三角形相似可求出走 EP 用的时间EP:PN=EF:MN=7:8，由上表，求出走 EP 用的时间为 ，则甲共走的时间为15+30+7=52。二、环型环型主要分两种情况，一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇（不可能背面相遇），一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇（不可能迎面相遇）。分开讨论如下：（一）甲、乙两人从 A 地同时反向出发：如下图，一个周长分成 4 份，假设甲是顺时针每分钟走 1 份到 B，乙是逆时针每分钟走 3 份到 B，则第一次相遇两人走了 1 个周长，则再过 1 分仲，甲再走 1 份到 C，同样乙走3 份也到 C，则第二次相遇共走了 2 个周长，依次类推，可得出：第 n 次迎面相遇共走了 n圈。