1、实验四 空间几何图形的描绘,一、实验目的 掌握用mathematica软件包描绘空间几何图形(空间曲面和曲线)的方法. 通过作图和观察, 深入理解多元函数的概念, 提高空间想象力. 深入理解二次曲面的图形和方程.,二、学习mathematica命令 1. 空间直角坐标系中作二元显函数z=f(x, y)三维图形命令Plot3D:Plot3Dfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2,选项其中fx,y是x, y的二元函数, x1, x2表示x的作图范围, y1, y2表示y的作图范围.,例如输入 Plot3Dx2+y2,x,-2,2,y,-2,2作函数z=x2+y2在区域2 x 2, 2 y 2上的
2、图形.,与二维平面作图命令Plot相似, Plot3D也有许多选项. 输入?Plot3D,Plot3Df, x, xmin, xmax, y, ymin, ymax generates a three-dimensional plot of f as a function of x and y.,Plot3Df, s, x, xmin, xmax,y, ymin, ymax generates a three-dimensional plot in which the height of the surface is specified by f, and the shading is spe
3、cified by s.,及一系列的选项.,2. 利用参数方程作空间曲面图形的命令ParametricPlot3D,作曲面时的基本形式为:ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,u1,u2, v,v1, v2, 选项,其中xu,v, yu,v, zu,v为参数方程的三个表示式, u1, u2和v1, v2分别为两个参变量u和v的作图范围.,输入ParametricPlot3Du*Cosv, u*Sinv,u2,u,0,3,v,0,2Pi;可以作出旋转抛物面z=x2+y2的图形,这个图形比Plot3D命令作出的图形要好得多.,3. 常见曲面的常用(标准方程的)参数方程:
4、,当a=b=c时为球面.,椭球面:,椭圆抛物面:,当a=b时为旋转抛物面.,椭圆锥面:,当a=b时为圆锥面.,椭圆柱面:,当a=b时为圆柱面.,正螺面:,单叶双曲面:,圆环面:,空间曲线,绕 z 轴旋转所得曲面的参数方程为:,实际上, 对给定的t, 得曲线上一点M1(t), (t), (t),其绕 z 轴旋转得到一个圆, 该圆在平面z= (t)上.其半径为点M1到z轴的距离:,因此, 在平面 z = (t)上的圆的方程为:,再令 t 在, 内变化, 即为所求旋转曲面的参数方程.,例如, 与 z 轴异面直线的参数为:,令其绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的参数方程为:,t , ,消去参量 t 和,
5、得曲面的直角坐标系下的方程:,此曲面为单叶双曲面.,这也是的直纹面性质. 如图:,4. 利用参数方程作空间曲线图形的命令ParametricPlot3D,作曲线时的基本形式为:ParametricPlot3Dxt,yt,zt,t,t1,t2, 选项其中xt, yt, zt为参数方程的三个表示式, t1, t2为参变量 t 的作图范围. 空间螺旋线的参数方程为:x=cost, y=sint,z=t/10, 0 t 8,输入ParametricPlot3DCost,Sint,t/10, RGBColor1,0,0,t,0,8Pi,将多个图形绘于一起仍用Show命令.例如, 将一个球面x2+y2+z
6、2=4与一个拄面(x1)2+y2=1绘与一起. 输入(见程序).,作单侧曲面(默比乌斯带): 输入:rt_,s_:=2+0.5*s*Cost/2;xt_,s_:=rt,sCost;yt_,s_:=rt,sSint;zt_,s_:=0.5*s*Sint/2;,ParametricPlot3Dxt,s,yt,s,zt,s,t,0,2Pi,s,-1,1,PlotPoints-50,8,BoxRatios-5,5,1,Ticks-False;,程序,练习:,1. 用Plot3D命令画出函数,在-x, -y上的图形, 采用选项PlotPoints-50.,2. 函数,在(0, 0)处不连续, 用Plot
7、3D命,令画出函数在-2x2, -2y2上的图形,采用选项PlotPoints-50或更大, 观察曲面在(0, 0)处的变化.,3. 一个圆环面的参数方程为: x=(3+cosu)cosv,y=(3+cosu)sinv,z=sinu(0u2,0v2),用ParametricPlot3D命令画出它的图形.,4. 一个正螺面的参数方程为: x=ucosv, y=usinv, z=v/3(-1u1, 0v4),用ParametricPlot3D命令画出它的图形.,5. 用Plot3D命令画出双曲抛物面,在-6x6, -14y14上的图形, 采用选项PlotPoints-30和BoxRatios-1,
8、1,1,改变BoxRatios中的参数再观察.,6. 做两个半径相同的圆柱面垂直相交的图形.,7*. 做两个半径相同的圆柱面垂直相交的交线. 将此图形与6题的图形放在一起观察. 输入以下命令:ParametricPlot3DCost,Sint,Sint,RGBColor1,0,0,Cost,Sint,-Sint,RGBColor0,0,1,t,0,2Pi;,8*. 作出球面x2+y2+z2=22与圆柱面(x-1)2+y2 =1相交所成的空间曲线的图形. 输入以下命令:ParametricPlot3D1+Cost,Sint,2Sint/2,RGBColor1,0,0,t,0,2Pi; 此曲线称为维维安妮曲线.,
