多复变简介-国家自然科学基金委员会首页.ppt

1、多复变简介,周向宇中国科学院数学与系统科学研究院数学研究所,1、何为多复变？,已故著名数学家钟家庆先生在为中国大百科全书数学卷撰写多复变函数论条目时，称多复变函数论是“数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科”。 从范畴(category)的语言来说 多复分析（多复变）：是研究复解析范畴的学问。,1、何为多复变？（续）,这里，范畴的对象(objects)是复流形（乃至复空间），态射(morphisms) 是复流形（乃至复空间）间的复解析映照。 （Remmert综述：从Riemann面到复空间） 衍生物：CR-结构，亚纯映照，多次调和函数，currents（positive clos

2、ed）等等 一些著名数学家认为，现代数学的特点之一是高维，而多复变正是反映这一特点的方向之一。,1、何为多复变？（续）,顾名思义，“变”即“变量”，“复”即“复数”，“复变”指“变量在复数域取值、变化”以别于“实变”，“多”指“多个”。总之，多复变是研究多个复变量的学问，当然是研究高维的。,2多复分析的产生背景,源自于该学科与单复分析若干本质差异的发现，如Poincare、Hartogs的发现。 复分析 19世纪：多复分析只是单复分析的简单推广 20世纪初：,2多复分析的产生背景（续）,（1）Poincare发现： Riemann映照定理：中单连通域(非) n2 单位球 多圆盘 不双全纯等价（

3、not biholomorphically equivalent）,2多复分析的产生背景（续）,（2）Hartogs发现 , 找到全纯函数不能定义在更大的域上 例： ,自然定义（或存在）域: 单位圆盘 一般域: Rudins book “Real and Complex Analysis”. 穿孔单位球上的任一全纯函数均可解析延拓至学位球。 说明：单、多复变有区别，从而多复变作为一个独立研究方向获得发展,n!,2多复分析的产生背景（续）,Def: 全纯域（domain of holomorphy）： 不发生Hartogs现象 即一定 一个全纯函数 , 使得 是 的自然定义（或存在）域（ 的边界

4、称为自然边界）。 单复变：每一开集都是全纯域 多复变：并非每一开集都如此，例如: 不是全纯域; 全纯函数的零点不孤立。,3多复分析的基本内容：概念，问题，方法和结论。, ，下述概念等价： 1、复可微（complex diff）： 存在 2、全纯（holomorphic function）： Cauchy- Riemanm 方程： 3、复解析（complex analytic）：展开成收敛幂 级数,3多复分析的基本内容（续）。,复可微 复解析 比较 但实可微不一定实解析 ，1、复可微 2、全纯3、复解析,3多复分析的基本内容（续）。,开映照定理，极大模原理，identity原理 Schwatz

5、-Pick引理：单位园盘上Poincar度量经全纯自映照拉回后不超过原Poincar度量,3多复分析的基本内容（续）,principal problem in the function theory in several complex variables is to study which domains are domains of holomorphy, and to determine which objects we can construct in the domains of holomorphy. Existence, construction and classificati

6、on of analytic structures Analytic continuation,3多复分析的基本内容（续）,1、HCartan , Thullen 全纯域 全纯凸： （1） D中离散点列 （2） 相对紧集的全纯包仍相对紧 全纯包 多复变中很难构造全纯函数。,3多复分析的基本内容（续）,2、Levi问题： 概念：多次调和函数（40年代Lelong，Oka引入） 实函数： 限制在任一复直线上是次调和函数 若 ： 对 函数，complex Hessian半正定。,3多复分析的基本内容（续）,3、拟凸域 （pseudo convex domain） 上多次调和函数，在边界趋于无穷大。

7、， Levi问题：pseudoconvex holo convex ， Oka, 40年代 ， Oka, Norguet, Bremermann 50年代初（独立）,3多复分析的基本内容（续）,Levi问题就是把全纯域的刻画跳出了构造复（解析）函数的范围，而用构造实函数（多次调和函数）来刻画。 Cousin I、II问题（单复变Weierstrass, Mittag-Leffler类似问题的推广） 与代数、几何、分析紧密相关的传统重要方法如层及其上同调论(Leray, Oka, H. Cartan, J.P. Serre, H. Grauert, R. Remmert,)，这里，关键角色：凝聚

8、解析层，例子：结构层，解析集的理想层，normalization of coherent analytic sheaves, Grauerts direct image theorem,3多复分析的基本内容（续）,方程的 方法(Morrey, D. Spencer, J.J. Kohn, L.Hormander, Andreotti, Vessentini,) ，起始于Hodge, S. Bochner, Kodaira, 积分表示(A. Weil, Leray, Grauert, Henkin,)等； 均可用来解决上述Levi问题，Cousin I、II问题等,3多复分析的基本内容（续）,多

9、复变自守函数论，有界齐性域， 对称域（必为全纯域）：E.Cartan, C.L. Siegel, A. Selberg, Langlands, I. Gelfand, L.K. Hua, Pjatecki-Shapiro, N. Mok, 全纯域在复流形上的类似：Stein 流形 Stein 流形是n维CW复形(Stein结构对空间形状的影响) Stein 流形是仿射复子流形 Stein 流形上的Cartan-Serre 定理A，B Stein 流形上的Oka-Grauert principle（Gromov等推广）,3多复分析的基本内容（续）,新近方法： 乘子理想层（层及其上同调论， 方程的

10、 方法之综合）(Skoda, Bombieri, Y.-T. Siu, Demailly, Kiselman, Ohsawa,)。 Deformation invariance of plurigenera for projective algebraic manifolds, Nonexistence of Levi-flat hypersurfaces in complex projective space,3多复分析的基本内容（续）,Numerical characterization of the Kahler cone on a compact Kahler manifold Exi

11、stence of a compact Kahler manifold without the homotopy type of any projective algebraic manifolds (negative answer to a longstanding problem of Kodaira) Analytic continuation of holomorphic functions on analytic subvarieties to the Stein manifolds,4多复分析与其它方向的密切联系：,从对象而言，复流形是介于拓扑空间、微分流形与代数簇（概型）之间；从

12、态射（函数论角度）而言，复解析映照是介于连续、光滑映照与多项式映照之间。这一独特位置，注定了多复变与复几何一方面与一般拓扑、代数拓扑、微分几何、微分拓扑，另一方面与代数几何有着必然联系。复变量与实变量的关系，复解析函数作为一组 Cauchy-Riemann 方程的解，这就注定了多复变与实分析、偏微分方程、泛函分析的天然关系。,4多复分析与其它方向的密切联系（续）：,又由于多复变与复几何中丰富的代数结构，它与代数、李理论、群表示论等有着千丝万缕的联系。另外它还与数学物理及理论物理有着不可忽视的联系。总之，多复变与复几何是一门交叉性极强的方向，反映了数学的统一性，是现代数学的核心与前沿之一。我们知

13、道，交叉性强是现代数学的一大特点。,4多复分析与其它方向的密切联系（续）：,如果说各学科的相互渗透和影响日益广泛是现代数学的特征，那么对多复变函数论而言，这一特点尤为显著。 许多著名数学家如Wolf奖、Fields奖获得者涉足过多复变与复几何。他们中有许多人并非以多复变与复几何为主业。这同样也反映了多复变与复几何的强交叉性。 Chern, Moser, Fefferman, Lewy,4多复分析与其它方向的密切联系（续）：,H. Grauert： 复流形上的Levi问题 实解析流形实解析嵌入到N 色散关系（第一个实际应用, edge of the wedge, N.N. Bogoliubov,

14、 V. Vladimirov） 促进了拟微分算子理论的产生及超定偏微分方程等分支的发展 对代数几何，数论等的发展有重要影响,5多复分析在中国的研究：,我国多复变研究起始于华罗庚关于典型域方面的工作。 他的名著多复变函数论中的典型域的调和分析曾获首届国家自然科学奖一等奖。这一工作反映了多复变与李群、对称空间、调和分析及群表示论等的紧密联系，显示了很强的交叉性。,5多复分析在中国的研究（续）：,显式给出了典型域上的平方全纯函数空间的完备正交系，Bergman核, Cauchy核, Poisson核等， 从而解决了相关问题。这一工作在调和分析，复分析， 微分方程, 李群表示论等有关研究中有着广泛而深

15、入的影响。 华罗庚还在多复变方向培养了杰出的学生如陆启铿院士、龚升教授。,5多复分析在中国的研究（续）：,在最近二十年中，我国多复变工作者取得的成绩有： 获何梁何利奖一项（陆启铿）， 华罗庚数学奖二项（陆启铿，龚升）， 陈省身数学奖二项（钟家庆，周向宇）， 国家自然科学奖二等奖一项（钟家庆）， 国际数学家大会45分钟应邀报告人一位 （周向宇）等等。,作者的工作：,狭义相对论中时空的数学模型M4=（4，）Future(past) 未来（过去）光锥 光锥 future light cone tube domain管状域 S. Bochner: Twdomain of holomorphy w co

16、nvex,问题：扩充未来光管是拟凸域（全纯域）吗？,扩充未来光管高维复空间中的区域,扩充：Lorentz群作用做扩充,作者的工作（续）：,1-point future tube(past) 4 4 4 n-point future tube,作者的工作（续）：,Lorentz变换：Lorentz群 ()= ) () (4 4) 对角作用 D关于 -不变 () , 比D要大。 = (), (4)n 扩充未来光管（extended future tube ）,作者的工作（续）：,扩充未来光管猜想：扩充未来光管是全纯域（Extended future tube conj.: extended fut

17、ure tube is a domain of holomorphy）S. Wightmam, R. Streater , R. Jost, N. Bogoliubov Vladimirov 问： 是不是全纯域， ,不难 ,物理学家已做出 ,周解决,作者的工作（续）：,该猜想在国际权威的数学百科全书大辞典中及其它许多文献中被列为未解决问题。 这猜想五十年代末源自于量子场论，但纯粹是多复变方面的问题，而证明方法却已超越多复变领域，前述华罗庚的工作在证明中也要用到。,作者的工作（续）,D. Kazhdan: Introduction to QFT . in “Quantum fields and strings: a course for mathematicians.” Vol. 1, 2. pp.377418,American Mathematical Society, Providence, RI; Institute for Advanced Study (IAS), Princeton, NJ, 1999 permuted extended future tube conjecture: open problem,