高中数学竞赛教案集.doc

1、 1第六章 不等式第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质。过程：一、引入新课1世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。2过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题二、几个与不等式有关的名称 （例略）1“同向不等式与异向不等式” 2“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1从实数与数轴上的点一一对应谈起0ba0ba0ba2应用：例一 比较 与 的大小)5(3)4(2解：（取差） )(07)8()122 aa 0)(14小结：步骤：作差变形判断结论2例三 比较大小 1 和2310解： 0254562)1

2、0()23( ；当 时 = ；当 时 3 )(l3a)(l2a当 时 1a12a1og1og总有 )(log3)(l第二教时教材：不等式基本性质（续完）目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。过程：一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质 1、2二、1性质 3：如果 ，那么 （加法单调性）反之亦然bacb证： 0)(ca从而可得移项法则： bca)()(推论：如果 且 ，那么 （相加法则）badcdbc证： adc推论：如果 且 ，那么 （相减法则）badcdbc证： ca或证： )()()()dcbada上式0 cb0c42性质

3、 4：如果 且 , 那么 ；ba0cbca如果 且 那么 （乘法单调性）证： c)(0根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：时 即：00)(babca时 即：cc推论 1 如果 且 ，那么 （相乘法则）0dbdac证： bcbdcaa0,推论 1（补充）如果 且 ，那么 （相除法则）0dcdc证： 0cd1badba推论 2 如果 , 那么 n)1(nN且3性质 5：如果 ，那么 0baba且证：（反证法）假设 n则：若 这都与 矛盾 baananba三、小结：五个性质及其推论口答 P8 练习 1、2 习题 6.1 4四、作业 P8 练习 3 习题 6.1 5、6五、供选用的例题（或作业）1已知

4、 ， ， ，求证：0badc0edbeca证： 1ebdc2若 ，求不等式 同时成立的条件Rba, a1,5解： 01abba3设 ， 求证Rc, ,c01cba证： 0ba22ba2又 0 c2c abba100bca 0c4 比较 与 的大小|,1解： 当 时 即a1b0,ba|ba abbaba1b5若 求证：, 1解： 01a0 b1ab1ab6若 求证：0,dcdcsinsinlogl证： 1 1sin00logsin又 0,dcbabca 原式成立1第三教时教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。过程：6一、 定

5、理：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）Rba, ab22ba证明： 2)(0)(2ba时 ，当 时 ，当 ab221指出定理适用范围： R,2强调取“=”的条件 二、定理：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“=”）ba, ab2ba证明： )(222即： 当且仅当 时 ab注意：1这个定理适用的范围： Ra2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。三、推广：定理：如果 ，那么cba, abca33（当且仅当 时取“=”）证明： cb)(32233 )()(2 bacacba 3) 22 )(2cbcc()212aab 上式0 从而Rca, abc33指出：这里 就不能保证0

6、cb推论：如果 ，那么 cb, 3abc（当且仅当 时取“=”）证明： 33333)()(ca3abc73abc四、关于“平均数”的概念1如果 则：NnRan且1,21叫做这 n 个正数的算术平均数叫做这 n 个正数的几何平均数nna212点题：算术平均数与几何平均数3基本不等式： na21nna21iRNi,*这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4 的几何解释：ab2以 为直径作圆，在直径 AB 上取一点 C， 过 C 作弦 DDbAB 则 abCBAD2从而 a而半径 b2五、例一 已知 为两两不相等的实数，求证：c

7、ba, cabcb22证： 2cb2a以上三式相加： ac)(2 acba22六、小结：算术平均数、几何平均数的概念基本不等式（即平均不等式）七、作业：P11-12 练习 1、2 P12 习题 5.2 1-3补充：1已知 ，分别求 的范围3,86baba,(8,11) (3,6) (2,4)A BDDCa b82 试比较 与 （作差 ）Rx124x23x1423x3求证： )(cbacba证： )(22b22)(22ca三式相加化简即得第四教时教材：极值定理目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。过程：一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式二、 若 ，

8、设 Ryx, 2),(yxQ2),(yxAxyG),(求证：yxH12),( ),(),(),(),( H加权平均；算术平均；几何平均；调和平均证： 2442)2( 222 yxyx 即： （俗称幂平均不等式）yx),(),(AQ由平均不等式 ,),(GA即：),(2),( yxxyyxH ),(),(yxHG综上所述： ,),(),(Q例一、若 求证Rba125)1()2ba证：由幂平均不等式： )1()(2225)3(31( baba9三、 极值定理已知 都是正数，求证：yx,1 如果积 是定值 ，那么当 时和 有最小值pyxp22 如果和 是定值 ，那么当 时积 有最大值sx41s证：

9、Ryx, y21当 (定值)时， ppxxp2上式当 时取“=” 当 时有yxymin)(2当 (定值)时， s2sx241sx上式当 时取“=” 当 时有yxy2max)(注意强调：1最值的含义（ “”取最小值，“”取最大值）2用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”四、 例题1证明下列各题： 210logx)1(证： 0logx于是 2l x若上题改成 ，结果将如何？10解： 0lg01lox于是 2)()l(x从而 1ogx若 则ba4a解：若 则显然有R, 10b若 异号或一个为 0 则 4a2求函数 的最大值)1(2xy)1(x10求函数 的最大值)1(2xy)

10、10(x解： 当 即 时0232x即 时74)3(4)1(243xy 74maxy 0102 )()( 222 xxxy 74)3(132当 时 ,22x2maxy93maxy3若 ，则 为何值时 有最小值，最小值为几？1x1解： 0x =1x 121)(21x当且仅当 即 时x0)(min五、 小结：1四大平均值之间的关系及其证明2极值定理及三要素六、 作业：P12 练习 3、4 习题 6.2 4、5、6补充：下列函数中 取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？x1 时)(y13maxy2 x452,in3 时 0xy32161,6miny第五教时教材：极值定理的应用目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。过程：一、 复习：基本不等式、极值定理