南开大学2006年数分考研试题.DOC

1、 1 南开大学 2006 年数分考研试题 1.求极限 2040sinlim tttx dxt . 2.设1 2 32 2 2 21 2 31 1 1 11 2 31 1 1 1nnn n n nnx x x xu x x x xx x x x ，试证 112n ii innuxux . 3.设 fx在 0,2 上有界可积， 20 0f x dx，求证存在 0,1a , 使得 1 0aa f x dx . 4.若幂级数0nnn ax在 1,1 内收敛于 fx，设 0 1,1nx ，满足 lim 0nn x 和 0nfx ， 1,2n ，则 0fx ，对所有 1,1x . 5.设函数 fx在 ,

2、有任意阶导数，且导数数列 nfx在 , 一致收敛于 x ， 01 ，求证 xxe . 6.设 ,f x y z 在球 2 2 2, , : 1x y z x y z 上连续，令 2 2 2 2, , :B r x y z x y z r ， 2 2 2 2, , :S r x y z x y z r , 0r ， 求证 , , , ,B r S rd f x y z d x d y d z f x y z d Sdr , 0,1r . 7.设 ,f x y z 在全空间上具有连续的偏导数，且关于 ,xyz 都是周期的，即对任意点 ,xyz ，成立 1 , , , 1 , , , 1 , ,f

3、x y z f x y z f x y z f x y z ，则对任意实数 , ，有 0f f f d x d y d zx y z ， 这里 0 ,1 0 ,1 0 ,1 是单位方体 . 8.设 A 为三阶实对称方阵，定义函数 , , , , xh x y z x y z A yz ， 求证 ,h x y z 在条件 2 2 2 1x y z 下的最大值为矩阵 A 的最大特征值 . 2 9.（ 1）设数列 0na ，满足 0na ， n ，定义集合 :,iP ka k Z i N , Z 为整数集， N 为自然数集， 求证对任何实数 b ，存在数列 kbP ，使得 limkk bb ； (2

4、)试证 一个非常数的周期连续函数必有最小正周期 . 10.设 x 是 , 上的周期连续函数，周期为 1，且 10 0x dx ， 令 10 xna e nx dx， 1,2,n ，求证级数 21 nn a收敛 . 南开大学 2006 年数学分析考研试题解答 1、解 当 0t 时， 令 2tx y ， 12dx dyyt， 原式30401s in2limtty dyytt 30902sin2limtty dyyt323702sin 32lim92tt ttt 330 sin 1lim 33t tt. 当 0t 时，同理 2040sin 1lim3tttx dxt 故 2040sin 1lim3t

5、ttx dxt . 2、 证明 将行列式按第一列展开 11 1 1 2 1 1 1n nu A x A x A ， 所以 11 1 21 1 11 1 n nux x A n x Ax ， 3 同理将行列式按第 i 列展开，得 12 1 ni i i i n iiux x A n x Ax ， 1,2, ,in ， 于是 1 2 1 2 2 2 21ni n ni iux x A x A x Ax 2 2 21 31 2 32 32 nnx A x A x A 1 1 11 1 2 21 n n nn n n nnn x A x A x A 121 2nnu u n u u . 3、 证明 构

6、造函数 1xxF x f t dt ， 0,1x ， 1 2 20 1 00 1 0F F f t d t f t d t f t d t ， 由 fx在 0,2 上有界可积，知 Fx在 0,1 上连续， 存在 0,1 ，使得 01 02FFF ， 即 1 0f x dx . 4、 证明 设 nng x f x ， 由于 nfx一致收敛于 x ， 1l i m l i mnnnnf x f x x ， 则有 ngx一致收敛于 x ， ngx 一致收敛于 x ， 于是 xx ， xx Ce ， 又因为 01 ，故 xxe . 5、 证明 令 sin cosxt ， sin sinyt ， cos

7、zt 0 tr ， 0 ， 02 ， 4 则 ,Brd f x y z dxdydzdr 2 20 0 0 s i n c o s , s i n s i n , c o s s i nrd d t d f t t t t ddr 2 200 s i n c o s , s i n s i n , c o s s i nd f r r r r d ， 在 Sr中： sin cosxr ， sin sinyr ， coszr ， 0 ， 02 ， 2dS EG F d d 2 sinr d d ， 2 200, , s i n c o s , s i n s i n , c o s s i nS

8、r f x y z d S d f r r r r d . 故结论得证 . 6、 证明 由偏导数连续， 1 , , , , 0yzDf d x d y d z f x y z f x y z d y d zx ， 同理 , 1 , , , 0xzDf d x d y d z f x y z f x y z d x d zy ， , , 1 , , 0xyDf d x d y d z f x y z f x y z d y d zz ， 故有 0f f f d x d y d zx y z . 7、 证明 由幂级数的收敛性知 fx连续， 于是 0 lim 0nnf f x， 由幂级数的性质 kf

9、x都在 1,1 上连续， 1,2,k 由 0nfx ， 1,2,n ， 存在 n 在 nx 与 0 之间， 使得 0nf ，显然有 lim 0nn ， 0n ， 0 lim 0nnff， 由 0nf ， 1,2,n ， 存在 n 在 n 与 0 之间，使得 0nf ， 显然有 lim 0nn ， 0n ， 0 lim 0nnff ， 同理这样继续下去，可得 5 00kf ， 0,1, 2,3,k ， 由于 fx已展开成收敛的幂级数 0nnnf x a x， 所以 0 0!nn fa n， 0,1, 2,3,n ， 故 0fx ， 1,1x . 8、设 A 为 n 阶实对称方阵，定义函数 Tf

10、x x Ax ，其中 12, , , Tnx x x x ， 求证： fx在条件 12211n iixx下的最大值和最小值分别为矩阵 A 的最大特征值和最小特征值 . 证明 因为 :1nS x R x 是有界闭集， fx在 S 上连续， 所以 fx在 S 上存在最大值和最小值 . 设 0xS ，使得 0 m a xxSf x f x M， 0yS ，使得 0 m inxSf y f x m， 则对任意的实数 t ， nhR 都有， 00x thfMx th ， 00201 Tx th A x th Mx th ， 20 0 0Tx th A x th M x th ， 220 0 0 0 0

11、022T T T T T Tx A x th A x t h A h M x x M th x t h h ， 0022T T T Tth A x t h A h M th x t h h ， 对 0t 时，有 0022T T T Th A x th A h M h x th h ， 令 0t ，得 00TTh Ax Mh x ， 对于 0t 时，有 0022T T T Th A x th A h M h x th h ， 令 0t ，得 00TTh Ax Mh x ， 故有 00TTh Ax Mh x ，（任意 nhR ） 6 从而 00Ax Mx ， M 是 A 的特征值， 同理可证 m

12、也是 A 的特征值， 设 为 A 的特征值，对应的特征向量为 nR ， 1 ， A ， TA ， 于是 mM ， 所以 M 是 A 的最大特征值， m 是 A 的最小特征值 . 8、 证明 因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交阵 T ， 使得 123000000T AT , 1 2 3, 为实数， 于是 1 2300, , , , 0 000xh x y z x y z T T yz ， 令 1 1 1, , , ,x y z T x y z ， 则 1 1 1, , , ,x y z x y z T ， 又因为 111xxy T yzz , 所以 2 2 21 xx y z x y z yz

13、 11 1 1 11,xx y z T T yz 2 2 21 1 1x y z ， 即 2 2 21 1 1 1x y z ， 2 2 21 1 2 1 3 1,h x y z x y z ， 不妨设 1 2 3 ， 7 则有 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 1 1 1,x y z h x y z x y z ， 显然 ,h x y z 有最大值 3 . 9、 证明（ 1）对任意固定实数 b ，存在 11ba ，使得 1 1 1 1,1b b a b a， 1b 为整数， 将闭区间进一步缩小，存在 ika ， 使得 1 1 1 1, 1 , 1iib k a k a b a b a

14、 ， 记 ika 为22nnba，一直进行下去，得到一列闭区间套，使得 1 1 1 1, 1 , 1k k k k k k k kn n n n n n n nb b a b a b a b a ， 因为 lim 0nn a ， 所以 na 的任何子列比收敛于零， 则 l im 1 l im 0k k k k kn n n n nkkb a b a a ， 利用闭区间套定理，存在 ,1k k k kn n n nb a b a ， 使得 limkknnk ba ， 由 是唯一公共点，知 b . 令kkn n kb a b P，则有 limkk bb . （ 2） （ a）因为集合 f的 正 周

15、 期 有下界 0 ， 有确界存在定理， 0inf f T的 正 周 期 存在， （ b）现证明 0 inf fT 的 周 期， 根据下确界的性质，存在 inf fnT 的 正 周 期， 1,2,n ， 使得0lim nn TT ， 对任意 xR ，由 fx得连续性，得 0 l i m l i mnnnf x T f x T f x f x ， 所以 0T 是 f 的周期 . （ c）因为 0nT ，0lim nn TT ， 8 所以 0 0T ， 若 0 0T ，则 lim 0nn T ， 于是 f 得周期网点（指等于周期整数倍的点）在实数轴 R 上稠密， 从而，任意 xR ，存在 nx ，

16、ny 是有一些周期网点所组成的序列， limnn xx ， 由此 l i m l i m 0 0nnnnf x f x f x f ， 即 0f x f （为常数），矛盾， 故 0 0T ，结论得证 . 10、 证明 设 0xx t dt，由于 t 是周期为 1 的连续函数，且 10 0t dt ， 易知 x 亦是周期为 1 的连续函数，且 xx ， 00， 0n， 1,2,n 10na f x nx dx 01n uf u dunn 01n xf x dxnn 001 1 1n nxxx f f x d xn n n n n 011n xf x dxn n n ， 0 11nn xa f x d xn n n 001 11m a x nx xx f d xn n n 1001 1m a xx x f t dtn 1Kn ， 其中 K 为常数， 1001m a xxK x f t d t ， 22210 naKn ，而 2 211n K n收敛， 所以 21 nn a收敛 .