2009年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析.doc

1、12009 年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1 （5 分） （2009 辽宁）已知集合 M=x|3x5，N=x|5x5，则 MN=（ ）Ax|5x 5 Bx| 3 x5 Cx| 5x5 Dx|3x5【考点】交集及其运算菁优网版权所有【分析】由题意已知集合 M=x|3x5，N=x| 5x5，然后根据交集的定义和运算法则进行计算【解答】解：集合 M=x|3x5，N=x| 5x5 ，MN=x|3x5，故选 B【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题2 （5 分） （2009 辽宁）已知复数 z=12i，那么 =（ ）A B C D【考点】复数代数形

2、式的混合运算菁优网版权所有【分析】复数的分母实数化，然后化简即可【解答】解： =故选 D【点评】复数代数形式的运算，是基础题3 （5 分） （2009 辽宁）平面向量 与 的夹角为 60， =（2，0） ，| |=1，则| +2 |=（ ）A B C4 D12【考点】向量加减混合运算及其几何意义菁优网版权所有【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方【解答】解：由已知|a|=2 ，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+421cos60+4=12，|a+2b|= 故选：B2【点评】本题是对向量数量积的考查

3、，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定4 （5 分） （2009 辽宁）已知圆 C 与直线 xy=0 及 xy4=0 都相切，圆心在直线 x+y=0 上，则圆 C 的方程为（ ）A （x+1） 2+（y1） 2=2 B （x 1） 2+（y+1 ） 2=2 C （x 1） 2+（y1） 2=2D （x+1）2+（y+1） 2=2【考点】圆的标准方程菁优网版权所有【分析】圆心在直线 x+y=0 上，排除 C、D ，再验证

4、圆 C 与直线 xy=0 及 xy4=0 都相切，就是圆心到直线等距离，即可【解答】解：圆心在 x+y=0 上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除 C、D ；验证：A 中圆心（1，1）到两直线 xy=0 的距离是 ；圆心（1，1）到直线 xy4=0 的距离是 故 A 错误故选 B【点评】一般情况下：求圆 C 的方程，就是求圆心、求半径本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究5 （5 分） （2009 辽宁）从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）A70 种 B80 种 C100 种 D140 种【考点】分步乘法计数原理菁

5、优网版权所有【分析】不同的组队方案：选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答【解答】解：直接法：一男两女，有 C51C42=56=30 种，两男一女，有 C52C41=104=40 种，共计 70 种间接法：任意选取 C93=84 种，其中都是男医生有 C53=10 种，都是女医生有 C41=4 种，于是符合条件的有 84104=70 种故选 A【点评】直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法6 （5 分） （2009 辽宁）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 =3，则 =（

6、 ）A2 B C D33【考点】等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【分析】首先由等比数列前 n 项和公式列方程，并解得 q3，然后再次利用等比数列前 n 项和公式则求得答案【解答】解：设公比为 q，则 = = =1+q3=3，所以 q3=2，所以 = = = 故选 B【点评】本题考查等比数列前 n 项和公式7 （5 分） （2009 辽宁）曲线 y= 在点（1，1）处的切线方程为（ ）Ay=x 2By= 3x+2 Cy=2x 3 Dy= 2x+1【考点】导数的几何意义菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据导数的几何意义求出函数 f（x）在 x=1 处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写

7、出切线方程，化成斜截式即可【解答】解：y=（ ）= ，k=y|x=1=2l：y+1= 2（x1 ） ，则 y=2x+1故选：D【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则，本题属于基础题8 （5 分） （2009 辽宁）已知函数 f（x）=Acos （ x+）的图象如图所示，f （ ）= ，则 f（0）= （ ）A B C D【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法 菁优网版权所有【专题】计算题4【分析】求出函数的周期，确定 的值，利用 f（ ）= ，得 Asin= ，利用 f（ ）=0，求出（Acos+Asin ）=0，然后求 f（0） 【解

8、答】解：由题意可知，此函数的周期 T=2（ ）= ，故 = ， =3，f （x） =Acos（3x+） f（ ）=Acos（ +）=Asin= 又由题图可知 f（ ）=Acos（3 +）=Acos （ ）= （Acos+Asin）=0 ，f（ 0）=Acos = 故选 C【点评】本题考查由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，是基础题9 （5 分） （2009 辽宁）已知偶函数 f（x）在区间0 ，+）单调增加，则满足 f（2x1）f（ ）的 x 取值范围是（ ）A （ ， ） B ， ） C （ ， ） D ， ）【考点】奇偶性与单调

9、性的综合菁优网版权所有【专题】分析法；函数的性质及应用【分析】由题设条件偶函数 f（x）在区间0 ，+）单调增加可得出此函数先减后增，以 y轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可【解答】解析：f（x）是偶函数，故 f（x）=f（|x|）f（ 2x1）=f（ |2x1|） ，即 f（ |2x1|）f（| |）又 f（x）在区间0，+）单调增加得|2x 1| ，解得 x 故选 A【点评】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数 f（x）在区间 0，+）单调增加，则满足 f（2x1） 的 x 取值范围是（ ）10 （5 分） （2009 辽宁）某店

10、一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 a1，a 2，a N，其中收入记为正数，支出记为负数该店用下边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）5AA0，V=ST BA0，V=ST CA0，V=S+T DA 0，V=S+T【考点】设计程序框图解决实际问题菁优网版权所有【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知 S 表示月收入，T 表示月支出，V 表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量 A 的符号，由分支结构的“ 是”与“否” 分支不难给出答案，累加完毕退出

11、循环后，要输出月收入 S，和月盈利 V，故在输出前要计算月盈利 V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案【解答】解析：月总收入为 S，支出 T 为负数，因此 A0 时应累加到月收入 S，故判断框内填：A0又 月盈利 V=月收入 S月支出 T，但月支出用负数表示因此月盈利 V=S+T故处理框中应填：V=S+T故选 A0，V=S+T【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误11 （5 分） （2

12、009 辽宁）正六棱锥 PABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 DGAC 与三棱锥 PGAC 体积之比为（ ）6A1：1 B1：2 C2：1 D3：2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；转化思想【分析】由于 G 是 PB 的中点，故 PGAC 的体积等于 BGAC 的体积；求出 DH=2BH，即可求出三棱锥 DGAC 与三棱锥 PGAC 体积之比【解答】解：由于 G 是 PB 的中点，故 PGAC 的体积等于 BGAC 的体积在底面正六边形 ABCDER 中BH=ABtan30= AB而 BD= AB故 DH=2BH于是 VDGAC=2VBGAC=2

13、VPGAC故选 C【点评】本题考查棱锥的体积计算，考查转化思想，是基础题12 （5 分） （2009 辽宁）若 x1 满足 2x+2x=5，x 2 满足 2x+2log2（x 1）=5，x 1+x2=（ ）A B3 C D4【考点】函数的图象与图象变化菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】先由题中已知分别将 x1、x 2 所满足的关系表达为，2x 1=2log2（5 2x1）系数配为2 是为了与下式中的 2x2 对应2x2+2log2（x 21）=5，观察两个式子的特点，发现要将真数部分消掉求出 x1+x2，只须将52x1 化为 2（t 1）的形式，则 2x1=72t，t=x 2【解答】解：由题

14、意 2x2+2log2（x 21）=5 所以 ，x1=log2（52x 1） 即 2x1=2log2（52x 1）7令 2x1=72t，代入上式得 72t=2log2（2t 2）=2+2log 2（t 1）52t=2log2（t 1）与式比较得 t=x2于是 2x1=72x2即 x1+x2=故选 C【点评】本题涉及的是两个非整式方程，其中一个是指数方程，一个是对数方程，这两种方程均在高考考纲范围之内，因此此题中不用分别解出两个方程，分别求出 x1，x 2，再求x1+x2，这样做既培养不了数学解题技巧，也会浪费大量时间二、填空题13 （5 分） （2009 辽宁）某企业有 3 个分厂生产同一种电

15、子产品，第一、二、三分厂的产量之比为 1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共抽取 100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980h，1020h，1032h，则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 1013 h【考点】分层抽样方法菁优网版权所有【分析】由三个分厂的产量比，可求出各厂应抽取的产品数，再计算均值即可【解答】解：从第一、二、三分厂的抽取的电子产品数量分别为 25，50，25，则抽取的100 件产品的使用寿命的平均值为 =1013故答案为：1013【点评】本题考查分层抽样和样本

16、的均值，属基本题再求均值时，要注意各部分所占的比例14 （5 分） （2009 辽宁）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 6S55S3=5，则 a4= 【考点】等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据等差数列的前 n 项和的公式表示出 S5 和 S3，然后把 S5 和 S3 的式子代入到6S55S3=5 中合并后，利用等差数列的通项公式即可求出 a4 的值【解答】解：S n=na1+ n（n 1）dS5=5a1+10d，S 3=3a1+3d6S55S3=30a1+60d（15a 1+15d）=15a1+45d=15（a 1+3d）=15a 4=5解得 a4=8故答案

17、为：【点评】此题要求学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式，是一道中档题15 （5 分） （2009 辽宁）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为 m）则该几何体的体积为 4 m 3【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可【解答】解：这是一个三棱锥，高为 2，底面三角形一边为 4，这边上的高为 3，体积等于 243=4故答案为：4【点评】本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题16 （5 分） （2009 辽宁）已知 F 是双曲线 的左焦点，A（1，4） ，P 是双曲线

18、右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为 9 【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】根据 A 点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得 a，进而根据PA|+|PF|AF|=5 两式相加求得答案【解答】解：A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为 F（4，0） ，由双曲线性质|PF|PF |=2a=4而|PA|+|PF|AF|=5两式相加得|PF|+|PA|9，当且仅当 A、P、F 三点共线时等号成立故答案为 9【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用三、解答题（共 8 小题，满分 70 分）917 （

19、12 分） （2009 辽宁）如图，A 、B、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75，30，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60，AC=0.1 km试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01 km， 1.414， 2.449） 【考点】解三角形的实际应用菁优网版权所有【专题】计算题；应用题【分析】在ACD 中，DAC=30推断出 CD=AC，同时根据 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，判断出 BD=BA，进而在ABC 中利用余

20、弦定理求得 AB 答案可得【解答】解：在ACD 中，DAC=30，ADC=60DAC=30，所以 CD=AC=0.1又BCD=180 6060=60，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA、在ABC 中， = ，sin215= ，可得 sin15= ，即 AB= = ，因此，BD= 0.33km故 B、D 的距离约为 0.33km【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用考查学生分析问题解决问题的能力综合运用基础知识的能力20 （12 分） （2009 辽宁）如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为 AB，DF 的中点（1）若平面 ABCD

21、平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线10【考点】直线与平面所成的角；反证法与放缩法菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】 （1） （解法一）由面面垂直的性质定理，取 CD 的中点 G，连接 MG，NG ，再证出MNG 是所求的角，在 MNG 中求解；（解法二）由垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面 DCEF 的法向量，再用向量的数量积求解；（2）由题意假设共面，由 ABCD 推出 AB平面 DCEF，再推出 ABEN，由得到ENEF，即推出矛盾，故假设不成立；【解答】解：（1）解法一：取 CD 的中点 G，连接 MG，NG设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，则 MGCD，MG=2，NG= 平面 ABCD平面 DCED，MG平面 DCEF，MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角MN= = ， sinMNG= 为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值解法二：设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，以 D 为坐标原点，分别以射线 DC，DF ，DA 为 x，y，z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图