2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(全国卷I)真题精品解析.doc

1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修 II)本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第卷 3至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有

2、一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件 A、 B互斥，那么 球的表面积公式()()PP24SR如果事件 、 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径()()A 球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 34Vn次独立重复试验中事件 恰好发生 k次的概率 其中 R 表示球的半径()(1)(0,12)knknPCpn一选择题(1)复数 32i(A)i (B) i (C)12-13i (D) 12+13i【答案】A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】 32()36941iiii.(2)记 cos(80)k,那么 tan10A.21kB.

3、 -2C. 2kD. - 21k【答案】B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】 222sin801cos801cos(80)1k,所以 tan10ta82sin801.cok(3)若变量 ,xy满足约束条件1,02,yx则 2zxy的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列 na， 123=5， 789a=10，则56a=(A) 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4【答案】A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归

4、的数学思想.【解析】由等比数列的性质知 312312()5aaA，378978()aaA10,所以 850,所以1336456452()(a(5) 3(12)(x的展开式中 x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4A BCDA1 B1C1D1O(6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种(7)正方体 ABCD- 1ABCD中，B 1与平面 AC 1D所成角的余弦值为A 23 B C23 D 6【答案】D 【命题意图】本小题

5、主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.（8）设 a= 3log2,b=In2,c=125,则A abc Bbca C cab D cba【答案】C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析】 a= 3log2= 21, b=In2= 21loge,而 22l3log1e,所以 ab,c=125= ,而 225l4l,所以 ca,综上 cab.(9)已知 1F、 2为双曲线 C: 1xy的

6、左、右焦点，点 p 在 C 上， 1Fp 2= 06，则P 到 x 轴的距离为(A) 3 (B) 6 (C) 3 (D) 6【答案】B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点 P 0(,)xy在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000|12aPFeexc，22000|)21aPFexexc.由余弦定理得cos 1P 2=222111|F,即 cos 0622200(1)()(1x,解得 205x,所以 2031yx，故 P 到 x 轴的距离为 06|2y（10）已知函数 F(x

7、)=|lgx|,若 0ab,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是(A)(,) (B),) (C)(,) (D)3,)（11）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为俩切点，那么 PAB的最小值为(A) 42 (B) 32 (C) 42 (D) 32【答案】D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析】如图所示：设 PA=PB=x(0),APO= ,则APB= 2，PO= 21， 21sin，|coPABP= 22(si)x=2(1)x=42x，令 y

8、，则421，即 42()0y，由 2是实数，所以2(1)()0， 26y，解得 3或 32y.故 min3PAB.此时 x.（12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为PABO(A) 23 (B) 43 (C) 23 (D) 83【答案】B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h,则有ABCD12233Vh四 面 体,当直径通过 AB

9、与 CD 的中点时, 2max13,故max4.绝密启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修 II)第卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3。第卷共 l0 小题，共 90 分。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上(注意：在试题卷上作答无效) (13)不等式 21x的解集是 .【答案】0,2 【命题意

10、图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.解析:原不等式等价于221(),0x解得 0x2.(14)已知 为第三象限的角， 3cos5,则 tan(2)4 .12xy=1xyaO41aya(15)直线 1y与曲线 2yxa有四个交点，则 a的取值范围是 .【答案】(1, 5)4【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线 1y与曲线2yxa,观图可知，a 的取值必须满足 ,4a解得 54a.(16)已知 F是椭圆 C的一个焦点， B是短

11、轴的一个端点，线段 BF的延长线交 C于点 D，且 B2Dur，则 的离心率为 .【答案】 3【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数” ，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析】如图， 2|BFbca,作 1Dy轴于点 D1,则由 Fur，得1|23O,所以 13|2Oc,即 2Dcx,由椭圆的第二定义得223|()acFeca xOyBF1D又由 |2|BFD,得23ca,整理得 20ca.两边都除以 a,得 230e,解得 1()e舍 去 ， 或 23e.三解答题：本大题共 6 小

12、题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分 10 分)(注意：在试题卷上作答无效)已知 ABCV的内角 ， 及其对边 a， b满足 cottaAbB，求内角【命题意图】本题主要考查正弦定理及特殊角的三角函数值，以及考查逻辑思维能力、运算能力，同时转化与化归的思想、方程思想【点评】解斜三角形实际属于三角函数的范畴，以三角函数的考查有五种基本题型：考查纯三角函数、考查三角函数与平面向量的交汇、解斜三角形、解斜三角形与向量的交汇、三角变换及求值与解斜三角形的交汇，每年对这方面的考查往往是轮番出现，备考注意这几个方面的强化训练(18)(本小题满分 12 分)（注意：在试

13、题卷上作答无效)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 05，复审的稿件能通过评审的概率为03各专家独立评审(I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；(II)记 X表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求 X的分布列及期望【答案】解：()记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评

14、审；期望 40.16EX.【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.（19） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD 底面 ABCD，AB/DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱 SB 上的一点，平面 EDC 平面 SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角 A-DE-C 的大小 .故 BK平 面 EDC,SBCBE与 平 面 内的两条相交直线 BK、 C都垂直.S平 面26,3DBESA,2626,3SEB,所以， SEB.() 由 25,1,2,ADASAS知21,D=3ESB又.故 为等腰三角形.