2010年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析.doc

1、12010 年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分） （2010 辽宁）已知 A、B 均为集合 U=1，3，5，7，9 的子集，且 AB=3，（ UB） A=9，则 A 等于（ ）A1 ，3 B3，7，9 C3，5，9 D3，9【考点】Venn 图表达集合的关系及运算菁优网版权所有【分析】由韦恩图可知，集合 A=（A B）（C UBA） ，直接写出结果即可【解答】解：因为 AB=3，所以 3A，又因为 CUBA=9，所以 9A，选 D本题也可以用 Venn 图的方法帮助理解故选 D【点评】本题考查了集合之间的关系、

2、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn 图解决集合问题的能力2 （5 分） （2010 辽宁）设 a，b 为实数，若复数 ，则（ ）A Ba=3，b=1 C Da=1 ，b=3【考点】复数相等的充要条件菁优网版权所有【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解【解答】解：由 可得 1+2i=（ab）+（a+b）i ，所以 ，解得 ，故选 A【点评】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力是基础题3 （5 分） （2010 辽宁）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）A B

3、C D【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案2【解答】解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A，即仅第一个实习生加工一等品（A 1）与仅第二个实习生加工一等品（A 2）两种情况，则 P（A）=P（A 1）+P（A 2）= ，故选 B【点评】本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系（对立，互

4、斥，相互独立） 4 （5 分） （2010 辽宁）如果执行右面的程序框图，输入正整数 n，m，满足 nm，那么输出的 P 等于（ ）AC nm1BA nm1CC nm DA nm【考点】程序框图菁优网版权所有【分析】本题考查了循环结构的程序框图、排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量 P 的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：第一次循环：k=1，p=1，p=n m+1；第二次循环：k=2，p= （nm+1） （n m+2） ；第三

5、次循环：k=3，p= （nm+1） （n m+2） （nm+3）第 m 次循环：k=m，p= （nm+1） （n m+2） （nm+3） （n 1）n此时结束循环，输出 p=（n m+1） （n m+2） （nm+3 ） （n1）n=A nm故选 D3【点评】要注意对第 m 次循环结果的归纳，这是本题的关键5 （5 分） （2010 辽宁）设 0，函数 y=sin（x+ ）+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合，则 的最小值是（ ）A B C D3【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】计算题；待定系数法【分析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出 的最

6、小值【解答】解：将 y=sin（x+ ）+2 的图象向右平移 个单位后为= ，所以有 =2k，即 ，又因为 0，所以 k1，故 ，故选 C【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度6 （5 分） （2010 辽宁）设a n是有正数组成的等比数列，S n 为其前 n 项和已知a2a4=1，S 3=7，则 S5=（ ）A B C D【考点】等比数列的前 n 项和；等比数列的性质菁优网版权所有【分析】先由等比中项的性质求得 a3，再利用等比数列的通项求出公比 q 及首项 a1，最后根据等比数列前 n 项和公式求得 S5【解答】解：由 a2a4=a32

7、=1，得 a3=1，所以 S3= =7，又 q0，解得 =2，即 q= 所以 a1= =4，所以 = 故选 B4【点评】本题考查等比中项的性质、等比数列的通项公式及前 n 项和公式7 （5 分） （2010 辽宁）设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl， A 为垂足如果直线 AF 的斜率为 ，那么|PF|=（ ）A B8 C D16【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义菁优网版权所有【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线 AF 的斜率为 求出直线 AF的方程，然后联立准线和直线 AF 的方程可得点 A 的坐标，得到点 P 的坐标，根据抛物线的性质

8、：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案【解答】解：抛物线的焦点 F（2，0） ，准线方程为 x=2，直线 AF 的方程为，所以点 、 ，从而|PF|=6+2=8故选 B【点评】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想8 （5 分） （2010 辽宁）平面上 O，A ，B 三点不共线，设 ，则OAB 的面积等于（ ）A BC D【考点】向量在几何中的应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利用三角形的面积公式表示出面积；再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦；再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得【解答】解：= = ；故选 C【

9、点评】本题考查三角形的面积公式；同角三角函数的平方关系，利用向量的数量积求向量的夹角9 （5 分） （2010 辽宁）设双曲线的 个焦点为 F，虚轴的 个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）5A B C D【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】先设出双曲线方程，则 F，B 的坐标可得，根据直线 FB 与渐近线 y= 垂直，得出其斜率的乘积为1，进而求得 b 和 a，c 的关系式，进而根据双曲线方程 a，b 和 c 的关系进而求得 a 和 c 的等式，则双曲线的离心率可得【解答】解：设双曲线方程为

10、，则 F（c，0） ，B（0，b）直线 FB：bx+cybc=0 与渐近线 y= 垂直，所以 ，即 b2=ac所以 c2a2=ac，即 e2e1=0，所以 或 （舍去）【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想10 （5 分） （2010 辽宁）已知点 P 在曲线 y= 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ）A0， ） B C D【考点】导数的几何意义菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围【解答】解：因为 y= = = ， ，ex+ex

11、+24，y1， 0）即 tan1，0） ，60 故选：D【点评】本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值11 （5 分） （2010 辽宁）已知 a0，则 x0 满足关于 x 的方程 ax=b 的充要条件是（ ）ABCD【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【专题】简易逻辑【分析】初看本题，似乎无从下手，但从题目是寻求充要条件，再看选项会发现构造二次函数求最值【解答】解：由于 a0，令函数 ，此时函数对应的开口向上，当 x= 时，取得最小值 ，而 x0 满足关于 x 的方程 ax=b，那么 x0 ，y min=，那么对于任意的 xR，都有 =故选 C【点评】本题考

12、查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力12 （5 分） （2010 辽宁）有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是（ ）A （0， ） B （1 ， ） C （ ， ） D （0， ）【考点】棱锥的结构特征菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力我们可以通过分析确定当底面是边长为 2 的正三角形，三条侧棱长为 2，a，a 此时 a 取最大值，当构成三棱锥的两条对角线长为 a，其他各边长为 2，a

13、有最小值，易得 a 的取值范围【解答】解：根据条件，四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况底面是边长为 2 的正三角形，三条侧棱长为 2，a，a，如图，此时 a 可以取最大值，可知 AD= ，SD= ，则有 2 2+ ，7即 ，即有 a构成三棱锥的两条对角线长为 a，其他各边长为 2，如图所示，此时 0a2 ；综上分析可知 a（0， ） ；故选 A【点评】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思想，求出 a 的最大值和最小值，进而得到 a 的取值范围二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （

14、5 分） （2010 辽宁） 的展开式中的常数项为 5 【考点】二项式定理菁优网版权所有【分析】 展开式的常数项为 展开式的常数项与 x2的系数和；利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数分别为 0，2 即得【解答】解： 的展开式的通项为 Tr+1=C6r（ 1） rx62r，当 r=3 时，T 4=C63=20， 的展开式有常数项 1（20）= 20，当 r=4 时，T 5=C64=15， 的展开式有常数项 x215x2=15，因此常数项为20+15= 5故答案为5【点评】本题考查等价转化的能力；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具14 （5 分） （

15、2010 辽宁）已知 1x+y 4 且 2x y3，则 z=2x3y 的取值范围是 （3，8） （答案用区间表示）【考点】简单线性规划的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；数形结合8【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围【解答】解：画出不等式组 表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线 z=2x3y，当直线经过 xy=2 与 x+y=4 的交点 A（3，1）时，目标函数有最小值 z=2331=3；当直线经过 x+y=1 与 xy=3 的交点 B（1，2）时，目

16、标函数有最大值 z=21+32=8z=2x3y 的取值范围是（3，8 ） 故答案为：（3，8） 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解15 （5 分） （2010 辽宁）如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 9【考点】简单空间图形的三视图；棱锥的结构特征菁优网版权所有【专题】计算题；作图题；压轴题【分析】结合题意

17、及图形，可知几何体为一个底面边长为 2 的正方形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥，还原几何体，求解即可【解答】解：由三视图可知，此多面体是一个底面边长为 2 的正方形，且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为 【点评】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力16 （5 分） （2010 辽宁）已知数列a n满足 a1=33，a n+1an=2n，则 的最小值为 【考点】数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由累加法求出 an=33+n2n，所以 ，设 f（n）= ，由此

18、能导出 n=5 或 6 时 f（n）有最小值借此能得到 的最小值【解答】解：a n=（a nan1）+（a n1an2）+（a 2a1）+a 1=21+2+（n1） +33=33+n2n所以设 f（n）= ，令 f（n）= ，10则 f（n）在 上是单调递增，在 上是递减的，因为 nN+，所以当 n=5 或 6 时 f（n）有最小值又因为 ， ，所以 的最小值为【点评】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力三、解答题（共 8 小题，满分 90 分）17 （12 分） （2010 辽宁）在 ABC 中，a ，b，c 分别为内角

19、 A，B，C 的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b ）sinC（）求 A 的大小；（）求 sinB+sinC 的最大值【考点】余弦定理的应用菁优网版权所有【分析】 （）根据正弦定理，设 ，把 sinA，sinB，sinC 代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b ）sinC 求出 a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出 cosA 的值，进而求出 A 的值（）根据（）中 A 的值，可知 c=60B，化简得 sin（60+B）根据三角函数的性质，得出最大值【解答】解：（）设则 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b ）sinC方程两边同乘以 2R2a2=（ 2b+c）b+ （2c+b ）c整理得 a2=b2+c2+bc由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA故 cosA= ，A=120（）由（）得：sinB+sinC=sinB+sin（60 B）= cosB+ sinB=sin（60 +B）故当 B=30时，sinB+sinC 取得最大值 1【点评】本题主要考查了余弦函数的应用其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握