2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版.doc

1、2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 1 页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 II)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 课标全国，理 1)已知集合 M x|(x1) 24， xR， N1,0,1,2,3，则M N( )A0,1,2 B1,0,1,2 C1,0,2,3 D0,1,2,32(2013 课标全国，理 2)设复数 z 满足(1i) z2i，则 z( )A1i B1I C1i D1i3(2013 课标全国，理 3)等比数列 an的前 n 项和为 Sn.已知 S3

2、a210 a1， a59，则a1( )A B C D3994(2013 课标全国，理 4)已知 m， n 为异面直线， m平面 ， n平面 .直线 l 满足l m， l n， l ， l ，则( )A 且 l B 且 lC 与 相交，且交线垂直于 l D 与 相交，且交线平行于 l5(2013 课标全国，理 5)已知(1 ax)(1 x)5的展开式中 x2的系数为5，则 a( )A4 B3 C2 D16(2013 课标全国，理 6)执行下面的程序框图，如果输入的 N10，那么输出的 S( )A 1+230B1!C 123D1+!7(2013 课标全国，理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系

3、O xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )8(2013 课标全国，理 8)设 alog 36， blog 510， clog 714，则( )Acba Bbca Cacb Dabc2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 2 页9(2013 课标全国，理 9)已知 a0， x， y 满足约束条件 若 z2 x y 的最1,3.xya小值为 1，则 a( )A B C1 D24210(2013 课标全国，理 10)已知函数 f(x) x3 ax2 bx c，下列结论中

4、错误的是( )A x0R， f(x0)0B函数 yf(x)的图像是中心对称图形C若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(，x0)单调递减D若 x0 是 f(x)的极值点，则 f(x0)011(2013 课标全国，理 11)设抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( )Ay24x 或 y28x By22x 或 y28xCy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x12(2013 课标全国，理 12)已知点 A(1,0)， B(1,0)， C(0,1)，直线 y ax b(a0)将

5、 ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( )A(0,1) B C D21,21,31,32第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13(2013 课标全国，理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 CD 的中点，则_.AEBD14(2013 课标全国，理 14)从 n 个正整数 1,2， n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为 ，则 n_.1415(2013 课标全国，理 15)设 为第二象限

6、角，若 ，则 sin cos 1ta42 _.16(2013 课标全国，理 16)等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S100， S1525，则 nSn的最小值为_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 课标全国，理 17)(本小题满分 12 分) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，已知 a bcos C csin B.(1)求 B；(2)若 b2，求 ABC 面积的最大值2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 3 页18(2013 课标全国，理 18)(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E 分别

7、是 AB， BB1的中点， AA1 AC CB .2AB(1)证明： BC1平面 A1CD；(2)求二面角 D A1C E 的正弦值19(2013 课标全国，理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品以 X(单位：t,100 X150)表示下一个销售季度内的市场需求量， T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将 T 表示为 X 的函数；(2)根据直方

8、图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量 X100,110)，则取X105，且 X105 的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求 T 的数学期望2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 4 页20(2013 课标全国，理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：(a b0)右焦点的直线 交 M 于 A， B 两点， P 为 AB 的中点，且 OP2=1xy30xy的斜率为 .(1)求 M 的方程；(2)C， D

9、 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD AB，求四边形 ACBD 面积的最大值21(2013 课标全国，理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)e xln( x m)(1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；(2)当 m2 时，证明 f(x)0.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 5 页请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22(2013 课标全国，理 22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图， CD 为 ABC 外接圆的切线， AB 的延长线交直线 CD

10、 于点 D， E， F 分别为弦 AB 与弦 AC上的点，且 BCAE DCAF， B， E， F， C 四点共圆(1)证明： CA 是 ABC 外接圆的直径；(2)若 DB BE EA，求过 B， E， F， C 四点的圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值23(2013 课标全国，理 23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知动点 P， Q 都在曲线 C： (t 为参数)上，对应参数分别为 t 与2cos,inxyt2 (0 2)， M 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点20

11、13 全国新课标卷 2 理科数学 第 6 页24(2013 课标全国，理 24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲设 a， b， c 均为正数，且 a b c1，证明：(1)ab bc ac ；13(2) .22bca2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 7 页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 II)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：A解析：解不等式( x1) 24，得1 x3，即 M x|1 x3而 N1,0,1,2,3，所以 M N0,1,2，故选 A.2答

12、案：A解析： 1i.i2i=1z2i3 答案：C解析：设数列 an的公比为 q，若 q1，则由 a59，得 a19，此时 S327，而a210 a199，不满足题意，因此 q1. q1 时， S3 a1q10 a1，31() q10，整理得 q29.1 a5 a1q49，即 81a19， a1 .94答案：D解析：因为 m ， l m， l ，所以 l .同理可得 l .又因为 m， n 为异面直线，所以 与 相交，且 l 平行于它们的交线故选 D.5答案：D解析：因为(1 x)5的二项展开式的通项为 (0 r5， rZ)，则含 x2的项为5Crx ax (105 a)x2，所以 105 a5

13、， a1.25Cx16答案：B解析：由程序框图知，当 k1， S0， T1 时， T1， S1；当 k2 时， ， ；2T=+当 k3 时， ， ；323当 k4 时， ， ；141124S当 k10 时， ， ， k 增加 1 变为 11，满足 k N，20T +!0!输出 S，所以 B 正确7 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 8 页答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 O xyz 的图像为下图：则它在平面 zOx 上的投影即正视图为 ，故选 A.8答案：D解析：根据公式变形， ， ， ，因为 lg lg6l213alg10l25blg14l27c7lg 5lg 3，所

14、以 ，即 c b a.故选2l75lD.9答案：B解析：由题意作出 所表示的区域如图阴影部分1,3xy所示，作直线 2x y1，因为直线 2x y1 与直线 x1 的交点坐标为(1，1)，结合题意知直线 y a(x3)过点(1，1)，代入得 ，所以 .12a12a10答案：C解析： x0是 f(x)的极小值点，则 y f(x)的图像大致如下图所示，则在(， x0)上不单调，故 C 不正确11答案：C解析：设点 M 的坐标为( x0， y0)，由抛物线的定义，得|MF| x0 5，则 x05 .2p2p又点 F 的坐标为 ，所以以 MF 为直径的圆的方程为( x x0) ( y y0)y0.,

15、2p将 x0， y2 代入得 px084 y00，即 4 y080，所以 y04.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 9 页由 2 px0，得 ，解之得 p2，或 p8.0y1625p所以 C 的方程为 y24 x 或 y216 x.故选 C.12 答案：B第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13答案：2解析：以 AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点 A 的坐标为(0,0)，点 B 的坐

16、标为(2,0)，点 D 的坐标为(0,2)，点 E 的坐标为(1,2)，则 (1,2)，AE(2,2)，所以 .B2BD14答案：8解析：从 1,2， n 中任取两个不同的数共有 种取法，两2Cn数之和为 5 的有(1,4)，(2,3)2 种，所以 ，即 ，解得 n8.14411n15答案： 10解析：由 ，得 tan ，即 sin cos .tan1tan42 1313将其代入 sin2 cos 2 1，得 .0cos9因为 为第二象限角，所以 cos ，sin ，sin cos .11010516答案：49解析：设数列 an的首项为 a1，公差为 d，则 S10 10 a145 d0，19

17、2adS15 15 a1105 d25.1542d联立，得 a13， ，23所以 Sn .()0n令 f(n) nSn，则 ， .321f 20()3fn令 f( n)0，得 n0 或 .当 时， f( n)0, 时， f( n)0，所以当 时， f(n)取最小值，而2303203nnN ，则 f(6)48， f(7)49，所以当 n7 时， f(n)取最小值49.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 10 页17解：(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又 A( B C)，故sin Asin( B C)

18、sin Bcos Ccos Bsin C由，和 C(0，)得 sin Bcos B，又 B(0，)，所以 .4(2) ABC 的面积 .12sin 2Sacac由已知及余弦定理得 4 a2 c2 .os4又 a2 c22 ac，故 ，当且仅当 a c 时，等号成立因此 ABC 面积的最大值为 .+118解：(1)连结 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1中点又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1 DF.因为 DF平面 A1CD， BC1 平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2)由 AC CB 得， AC BC.2B以 C 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如

19、图所示的空间直角坐标系 C xyz.设 CA2，则 D(1,1,0)， E(0,2,1)， A1(2,0,2)， (1,1,0)， (0,2,1)，CDE(2,0,2) 1A设 n( x1， y1， z1)是平面 A1CD 的法向量，则 即10,C10,2.x可取 n(1，1，1)同理，设 m 是平面 A1CE 的法向量，则 可取 m(2,1，2)10,EC从而 cos n， m ，3|故 sin n， m .6即二面角 D A1C E 的正弦值为 .6319解：(1)当 X100,130)时， T500 X300(130 X)800 X39 000，当 X130,150时， T50013065 000.