2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案.doc

1、第 1 页 共 8 页2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 理科数学第卷 （选择题 共 60 分）一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合 A= | ，B= |2 2，则 =x230xAB.-2,-1 .-1,2） .-1,1 .1,2）ABCD2. =32(1)i. . . .i1i1i1i3.设函数 ， 的定义域都为 R，且 时奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是()fxg()fx()gx. 是偶函数 .| | 是奇函数ABf. | |是奇函数 .| |是奇函数C()fx D()x4.已

2、知 是双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的一条渐近线的距离为 . F23(0)xmyFCA3.3 . .BC3m5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率. . . .A18B38C58D786.如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 的始边x为射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的距离表示OAMOP为 的函数 ，则 = 在0, 上的图像大致为x()fy()fx7.执行下图的程序框图，若输入的 分别为 1,2,3，则输出的 = ,abkM. . . .A203B165C72D158

3、第 2 页 共 8 页8.设 ， ，且 ，则(0,)2(,)1sintaco. . . .A3B2C32D29.不等式组 的解集记为 .有下面四个命题：14xyD： ， ： ,1p(,),22p(,),2xyy： ， ： .3P3xyy4 1D其中真命题是. ， . ， . ， . ，A2p3B1p4C1p21p310.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个焦点，C28yxFlPlQPFC若 ，则 =4FPQ|. . .3 .2A72B52CD11.已知函数 = ，若 存在唯一的零点 ，且 0，则 的取值范围为()fx31a()fx0xa.（2，+ ） .（-

4、 ，-2 ） .（1，+） .（-，-D1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为. . .6 .4A6B42C第卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题- 第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13. 的展开式中 的系数为 .(用数字填写答案 )8()xy2xy14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市

5、；丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若 ，则 与 的夹角为 .1()2AB16.已知 分别为 的三个内角 的对边， =2，且 ，则,abc,ACa(2)sin)(sinbcbC面积的最大值为 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 3 页 共 8 页17.(本小题满分 12 分)已知数列 的前 项和为 ， =1， ， ，其中 为常nanS1a0n1nnaS数.（I）证明： ；2na（）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由 .na18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这

6、些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（I）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代表）x2s；（）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，其中 近似为Z2(,)N样本平均数 ， 近似为样本方差 .x22s（i）利用该正态分布，求 ；(1871.)PZ（ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，学科网记 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间X（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 .E附： 12.2.若 ，则150Z2(,)N=0.6826，()P=0.9544.2219.

7、 (本小题满分 12 分)如图三棱锥中，1ABC侧面 为菱形， .1ABC（I）证明： ；1（）若 ， ，AB=Bc，求二面角 的余弦值.Co601ABC20. (本小题满分 12 分) 已知点 （0，-2） ，椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭AE2(0)xyab32F圆的焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.F23O（I）求 的方程；E（）设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程.AlE,PQPl第 4 页 共 8 页21. (本小题满分 12 分)设函数 ，曲线 在点（1， ）处的切线为1(0lnxxbefa()yfx()f. （I）求 ； （）证明： .1)2yex,

8、b()f请考生从第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE()证明：D=E；学科网 （）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：ADE 为等边三角形.23. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数）.C2149xyl2xty（I）

9、写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；（）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，Plo30lA求 的最大值与最小值.|PA24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲若 ，且 .0,ab1ab（I） 求 的最小值；3（）是否存在 ，使得 ？并说明理由.,2362014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 答案15ADCAD 612 CDCBBCB 1320 14A 1590 16 217 【解析】：()由题设 ， ，两式相减1nnaS121nnaS，由于 ，所以 6 分121nna0（）由题设 =1， ，可得 ，由()知21213a假设 为等差数列，则 成等差

10、数列， ，解得 ；n 3,a324证明 时， 为等差数列：由 知4n24na数列奇数项构成的数列 是首项为 1，公差为 4 的等差数列21m 213ma令 则 ，21,nn()第 5 页 共 8 页数列偶数项构成的数列 是首项为 3，公差为 4 的等差数列2ma241ma令 则 ，2,nn1n(2) （ ） ，1a*Nn因此，存在存在 ，使得 为等差数列. 12 分4a18 【解析】：() 抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为x2s170.280.91.20.343x22223.1040830s6 分5（） （）由()知 ，从而Z(2,15)N9 分187.1.)P0.201.)

11、682PZ（）由（）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826依题意知 ，所以 12 分(,.682)XB:.EX19 【解析】：()连结 ，交 于 O，连结 AO因为侧面 为菱形，所以 ，1CB1BC1BC1且 O 为 与 的中点又 ，所以 平面 ，故 又 ，111A1AOAO故 6 分ACB（）因为 且 O 为 的中点，所以 AO=CO 又因为 AB=BC，所以11BCBC故 OAOB ，从而 OA，OB， 两两互相垂直 以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 O- 因为 ，yz016B所以 为等边

12、三角形又 AB=BC，则1CB， ， ，30,A,013,0B3,0C，1,B1,A131,0B第 6 页 共 8 页设 是平面的法向量，则,nxyz，即 所以可取10ABn:30yzx1,3n设 是平面的法向量，则 ，同理可取m10mABnC:,m则 ，所以二面角 的余弦值为 .cos,7n:1C1720 【解析】() 设 ，由条件知 ，得 又 ，,0Fc23cc32ca所以 a=2， ,故 的方程 . .6 分221baE214xy（）依题意当 轴不合题意，故设直线 l： ，设lxk12,PxyQ将 代入 ，得 ，2yk214y241620x当 ，即 时，216(3)023k1,22843

13、k从而 21224PQkxk:又点 O 到直线 PQ 的距离 ，所以 OPQ 的面积 ，21d21432OPQkSd设 ，则 ， ，243kt041OPQtSt当且仅当 ， 时等号成立，且满足 ，所以当 OPQ 的面积最大时， 的方程为：t720l或 . 12 分72yxyx21 【解析】() 函数 的定义域为 ，()f0,112()lnxxxxabfee由题意可得 ，故 6 分(1),fe12ab第 7 页 共 8 页（）由() 知， ，从而 等价于12()lnxxef()1fx2lnxe设函数 ，则 ，所以当 时， ，当()lgx()lg 0,e()0g时， ，故 在 单调递减，在 单调递

14、增，从1,xe()0()x1, 1,e而 在 的最小值为 . ()g0, 1ge8 分设函数 ，则 ，所以当 时， ，当2()xhe()xh 0,1x()0hx时， ，故 在 单调递增，在 单调递减，从而1,x()0, 在 的最小值为 . 综上：当 时， ，即()g, (1)ex()gx. 12 分fx22 【解析】.() 由题设知得 A、B、C 、D 四点共圆，所以 D= CBE，由已知得， CBE= E ,所以 D= E 5 分（）设 BCN 中点为，连接 MN,则由 MB=MC,知 MNBC 所以 O 在 MN 上，又 AD 不是 O 的直径，M 为 AD 中点，故 OMAD， 即 MN

15、AD，所以 AD/BC,故 A= CBE， 又 CBE= E，故 A= E由( )（1）知 D= E， 所以ADE 为等边三角形 10 分23 【解析】.() 曲线 C 的参数方程为： （ 为参数） ， 2cos3inxy直线 l 的普通方程为： 5 分 260xy（） （2）在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ,3sin )到 l 的距离为，54cos3ind则 ，其中 为锐角且 .025| si6siPA4tan3当 时， 取得最大值，最大值为 ；in1|PA25当 时， 取得最小值，最小值为 . 10 分si|24 【解析】() 由 ，得 ，且当 时等号成立，12abab2ab第 8 页 共 8 页故 ，且当 时等号成立， 的最小值为 .5 分3342ab:2ab3ab42（）由() 知： ，643ab由于 6，从而不存在 ，使得 . 10 分43,6