1、1如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P 为侧2棱 SD 上的点。 （）求证：ACSD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若 SD 平面 PAC，求二面角 P-AC-D 的大小（）在（）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E， w.w.使得 BE平面 PAC。若存在，求 SE：EC 的值；若不存在，试说明理由。2如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60,AB=2 AD,PD底面 ABCD.()证明： PA BD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。3如图，直三棱柱 1ABC中， 12ABC，
2、D是棱 1的中点， D（1）证明：（2）求二面角 11CBA的大小。zxPCBADy1解法一：（）连 BD，设 AC 交 BD 于 O，由题意 。在正方形 ABCD 中，SAC，所以 ,得 .ACBDASBD平 面 AC()设正方形边长 ，则 。a2a又 ，所以 ,2O06SO连 ，由（）知 ,所以 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m PACBD平 面 ACOP且 ,所以 是二面角 的平面角。ACDP由 ,知 ,所以 ,S平 面 S03即二面角 的大小为 。P03（）在棱 SC 上存在一点 E，使 /BPAC平 面由（）可得 ，故可在 上取一点 ,使 ,过 作 的平行24DaSNDNP
3、C线与 的交点即为 。连 BN。在 中知 ，又由于 ,故平面SCA/O/E，得 ,由于 ,故 ./BENPA平 面 /BEPC平 面 21P： ： 21S： ：解法二：（） ；连 ,设 交于 于 ，由题意知 .以 O 为BDAB平 面坐标原点， 分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立坐标系 如图。OCS， ， xyzxyz设底面边长为 ，则高 。a62Oa于是 (0,),(,0)SDw.w.w.k.s.5 2(,)Ca2(,)OCa26(,0)SDaw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故 从而 0OSAC()由题设知，平面 的一个法向量 ，平面PA26(,0)Sa的一个法向量 ，设所求二面角为
4、 ，则 ,DAC6)0,)2Sa3cos2OSD所求二面角的大小为 03（）在棱 上存在一点 使 .SCE/BPAC平 面由（）知 是平面 的一个法向量，DPA且 2626,0),(0,)SaSa（设 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ,CEt则 26(,(1),2BBCtSatat而 103Dt即当 时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m :2:SEES而 不在平面 内，故BPAC/BPAC平 面2解析 1：（）因为 60,2DD, 由余弦定理得 3BDA 从而 BD2+AD2= AB2，故 BD AD;又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD所以 BD 平面 PAD. 故 P
5、A BD（）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为x轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz，则1,0A, 3,0B， , 1,30C, ,1P。(,),(,),(,)PBuvuvuv设平面 PAB 的法向量为 n=（x,y,z） ，则 0nAP,即 30xyz因此可取 n=(3,1)设平面 PBC 的法向量为 m，则 0BC可取 m=（0，-1， 3） 427cos,nzxPCBADy故二面角 A-PB-C 的余弦值为 273【解析】 （1）在 RtDAC中， 得： 45同理： 1190得： 1,BDC面 1BC（2） 11,DCB面 1AA取 A的中点 O，过点 作
6、H于点 ，连接 1,OH111B，面 1C面 1BD面 1BHBDC 得：点 与点 重合且 1O是二面角 11A的平面角设 Aa，则 12a， 111230DaCOD既二面角 11CB的大小为 304如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60. （）证明 ABA 1C;（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。5.如图三棱锥 中，侧面 为菱形， .1ABC1BC1ABC() 证明： ；（）若 ，1，AB=Bc，求二面角o160CB的余弦值.A4【解析】 （）取AB中点E，连结CE， ，1
7、AB，1AAB= ， = ， 是正三角形，1BA061 AB， CA=CB， CEAB， 1E =E，AB面 ， C1CEAB ； 6分1A（）由（）知 ECAB， AB，1A又面 ABC面 ，面 ABC面1B=AB，EC面 ，EC ，1AB11EEA，EC， 两两相互垂直，以 E 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，| |为单1EAxEA位长度，建立如图所示空间直角坐标系 ，Oxyz有题设知 A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(1,0,0),则 =（1,0， ）,1A33BC3= =(1,0, ), =(0, , ), 9 分1BC设 = 是平面 的法向量，n(,)xyz
8、1B则 ，即 ，可取 =（ ，1， -1），1030xzyn3 = ，cos,ACn1|5直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 . 12 分1055解析：（1）连结 ，交 于 ，连结 .因为侧面 为菱形，所以1BOA1BC，且 为 与 的中点.BO1又 ，故1CA（2）因为 且 为 的中点，所以1ACBO1CAOC又因为 ，所以A故 ，从而 ， ， 两两互相垂直.O1以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示空间直角坐标xB系 .xyz因为 ，所以 为等边三角形.又 ，则160CB1CBAAC， ， ，3,A,130,30,， ，10,B1,AB13,0C设 是平面 的法向量，,nxyz1AB即10ABn30zx所以可取 ,3设 是平面 的法向量，则m1ABC10mBCA同理可取 ,3则 1cos,7n所以二面角 的余弦值为 .1ABC
