概率论与数理统计模拟试题及解答.doc

1、1模拟试题（一）参考答案一.单项选择题（每小题 2 分,共 16 分）1、设 为两个随机事件,若 ,则下列命题中正确的是（ ）BA 0)(ABP(A) A 与 B 互不相容 (B) A 与 B 独立(C) (D) 未必是不可能事件0)()(P或解 若 为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选 D.2、设每次试验失败的概率为 p,则在 3 次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）(A) (B) (C) (D) )1(3p)1(31p213)(pC解 所求事件的对立事件为“3 次都不成功”,其概率为 ,故所求概率为 .若直接从正面去31求较为麻烦.本题应选 C.3、若函数 是一随机变量 的概率

2、密度,则下面说法中一定成立的是（ ）)(xfy(A) 非负 (B) 的值域为 f )(xf1,0(C) 单调非降 (D) 在 内连续)解 由连续型随机变量概率密度的定义可知, 是定义在 上的非负函数,且满足(xf)(,所以 A 一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从 上的均匀分布的随机变量的概1d)(xf 2,3率密度 不,0,136)(xxf在 与 处不连续,且在这两点的函数值大于 1.因而本题应选 A.31x24、若随机变量 X 的概率密度为 ,则 （ ）)( e21)(4)3(2xxfxY)1,0(N(A) (B) (C) (D) 23X解 的数学期望 ,方差 ,令 ,则其服从标准正态

3、分布.故本题应选 A.ED23Y5、若随机变量 不相关,则下列等式中不成立的是（ ）YX(A) (B) 0),cov( DX)(C) (D) D E解 因为 ,故, ),(,YDXYX)cov(2但无论如何,都不成立 .故本题应选 C.6、设样本 取自标准正态分布总体 ,又 分别为样本均值及样本标准差,则（ n,21 SX）(A) (B) ),0(N),0(Nn2(C) (D) )(21nXnii )1(ntSX解 , , ,只有 C 选项成立.本题应选 C.0N)0(t7、样本 取自总体 ,则下列估计量中,（ ）不是总体期望 的无偏估计n,21 3 量(A) (B) niiX1 X(C) (

4、D) )46(.0n321解 由无偏估计量的定义计算可知, 不是无偏估计量,本题应选 A.nii8、在假设检验中,记 为待检假设,则犯第一类错误指的是（ ）0H(A) 成立,经检验接受 (B) 成立,经检验拒绝0 0H0H(C) 不成立,经检验接受 (D) 不成立,经检验拒绝0解 弃真错误为第一类错误,本题应选 B.二.填空题（每空 2 分,共 14 分）1、同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是_,恰好出现一个正面的概率是_.解 ; .832、设随机变量 X 服从一区间上的均匀分布,且 ,则 X 的概率密度为_.31 ,DEX解 设 ,则 解得 , ,ba ,2)( ,32abbaE2a

5、4b所以 X 的概率密度为 .0,4,1)(不xxf3、设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布, Y 服从参数为 4 的指数分布,则 _.)32(YXE解 .73)(3)32( 2 YEXDEE4、设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为2 和 2,方差分别为 1 和 4,而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式,有 _.6|P解 根据切比雪夫不等式,.1236),cov(2)(| 2 YD5、假设随机变量 X 服从分布 ,则 服从分布_（并写出其参数）.nt21X解 设 ,其中 , ,且 ,从而 .)(tnZY)0(NY)(2nZ)1(2Y)1,(2nFYZX36、设 为来自总体 X 的

6、一个样本,对总体方差 进行估计时,常用的无偏估计nX,21 )1(DX量是_.解 .iiS12三.(本题分)设 , , ,求 .0(AP9.0)|(B2.0)|(AP)|(BP解 由全概率公式可得.270.9.1|) .3)(|(四.(本题 8 分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为 0.03,第二台出现废品的概率为 0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的 2 倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率,(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.解 设 分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件. 表示产品是合格品的事件.21A

7、B(1) 由全概率公式可得.97308.3197.02)|()|()( 211 ABPBP(2) .24.1)(|)()|( 2222 A五.(本题 14 分)袋中有 4 个球分别标有数字 1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以 记第一次,第YX 二次取得球上标有的数字,求:(1) 的联合分布； (2) 的边缘分布；),(YXYX,(3) 是否独立； (4) .)(E解 （1） 1 2 31 0 612 3 01（2） , , .4)(XP2)(41)3(XP, , .YY（3）因为 ,故 不独立.)1(160)1(YX 4（4） .61326123162)( XYE 612

8、3六.(本题 12 分)设随机变量 X 的密度函数为,)( e)(|2xAxf试求:(1) 的值； (2) ； (3) 的密度函数.A1(P2XY解 (1) 因 ,从而 ;xfd)0214dx 4A(2) 2001221 dee)(1 xfXx;45e(3) 当 时, ;当 时,0y0)(yFY)()(2 yXPyPY ,XX所以,两边关于 y 求导可得, .e412e412e41)( yyyYf 故 Y 的密度函数为 .0,e41,0)(yyf七.(本题 6 分)某商店负责供应某地区 1000 人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为 0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问

9、商店应预备多少件这种商品, 才能以 的概率保证不会脱销？（假定%7.9该商品在某一段时间内每人最多买一件）.解 设 ( ),X 表示购买该种商品的人数,则不iXi,1,010,2i.又设商品预备 n 件该种商品,依题意,由中心极限定理可得)6,10(BX )2406()( nXPDEPn.970)24查正态分布表得 ,解得 件.5.6n63.42n八.(本题 10 分)一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为 .R(1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数 为总体,即 求总体 的分布；X白 球 ， 黑 球 ，01X(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为 的样本 ,其中有 个白球,求比数 的最大似

10、然nnX,21 mR5估计值.解 （1） 1 0XPR即 ;xxx11)( )1,0(（2） ,nxniiiXLi)()(1两边取对数,l)l RxRi两边再关于 求导,并令其为 0,得,01ni从而 ,又由样本值知, ,故估计值为 .ix mnxi1nR九.(本题 14 分)对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽 6 件,测得结果如下（单位: ）:批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137；A批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141.B已知元件电阻服从正态分布,设 ,问:05.(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等?(2)

11、两批电子元件的平均电阻是否有显著差异?（ , ）281.)0(25.t 1.7),(025.F解 (1) .21 ：，： H检验统计量为（在 成立时）,2S)5,(0H由 ,查得临界值 , .05.1.7 ,05.2/ F 1572/F由样本值算得 ,由于 ,故不能拒绝 ,即认为两批电子968.2/10H元件的电阻的方差相等.(2) .21210 ：，： H统计量（在 成立时）,2)1()(121nssnYXT )0(t0查表得临界值 .再由样本值算得8)025./t6,05.212078.5.0394T因为 ,故接收 .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.2/|tT0H7模拟试题（二）参

12、考答案一.单项选择题（每小题 2 分,共 16 分）1.设 表示 3 个事件,则 表示（ ）.C ,BACBA(A) 中有一个发生 (B) 中不多于一个发生,(C) 都不发生 (D) 中恰有两个发生,解 本题应选 C.2.已知 =（ ）.)(,61)|(,31)( BAPBPA不(A) (B) (C) (D) 1878341解 ,1)|()(.187)()(1)( ABPBAPBAP故本题应选 A.3.设两个相互独立的随机变量 与 分别服从正态分布 和 ,则（ ）XY,0N(A) (B) 210YX21(C) (D) PP解 , ,故本题应选 B.)(N)2(4.设 与 为两随机变量,且 ,则

13、 （ ）Y6.014XYDX)23(YD(A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6解 ,.),cov(YXXY.25)cov(2923D故本题应选 C.5.若随机变量 服从参数为 的泊松分布,则 的数学期望是（ ）X(A) (B) (C) (D) 122解 ,本题应选 D.22)(EX6.设 是来自于正态总体 的简单随机样本, 为样本方差,记nX,1 )(2NXiiS22)(1 niiXS12nii1223nii1224)(则服从自由度为 的 分布的随机变量是（ ）t(A) (B) /1nSXt /2nSXt8(C) (D) 1/3nSXt1/4nSXt解 , ,再由 分布

14、的定义知,本题应选 B.)(2N)()(12tnii t7.设总体 均值 与方差 都存在,且均为未知参数,而 是该总体的一个样本,2 ,21Xn为样本方差 ,则总体方差 的矩估计量是（ ）X(A) (B) niiX12)(C) (D) niiX12)(ii解 本题应选 D.8.在假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ）(A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小解 本题应选 B.二.填空题（每空 2 分,共 14 分）1.设 10 件产品中有 4 件不合格品,从中任取 2 件,已知所取 2 件中有 1 件是不合格品,则另外 1 件也是不合格品的概率为_.解

15、 设 表示两件中有一件不合格品, 表示两件都是不合格品.则所求的极限为AB51)()(|(PBABP2.设随机变量 服从 分布,则 的分布函数为_.X8.0 X解 服从 0-1 分布,其分布函数为 .1,0,2.)(xxf3.若随机变量 服从均值为 2,方差为 的正态分布,且 ,则X26.04XP=_.0P解 ,即其密度函数关于 对称.由对称性知2x.206.14.设总体 服从参数为 的 01 分布,其中 未知.现得一样本容量为 8 的样本值:Xp)10(p0,1,0,1,1,0,1,1,则样本均值是_,样本方差是_.解 由定义计算知 ; .8562S5.设总体 服从参数为 的指数分布,现从

16、中随机抽取 10 个样本,根据测得的结果计算知X,那么 的矩估计值为_.2710ix解 .10X96.设总体 ,且 未知,用样本检验假设 时,采用的统计量是_.) (2NX2 00：H解 ( 为真时).10ntST0H三.（本题 8 分）设有三只外形完全相同的盒子,号盒中装有 14 个黑球,6 个白球；号盒中装有 5 个黑球,25 个白球；号盒中装有 8 个黑球,42 个白球.现在从三个盒子中任取一盒 ,再从中任取一球,求:（1）取到的球是黑球的概率；（2）若取到的是黑球,它是取自号盒中的概率.解 设 分别表示从第,号盒中取球, 表示取到黑球.321,AB(1) 由全概公式可得0.342;50

17、8312014)|()(1iiiBPBP(2) 由贝叶斯公式得0.682.)(|)|(11AA四.（本题 6 分）设随机变量 的概率密度为X,不不02cos1)(xxf对 独立地重复观察 4 次,用 表示观察值大于 地次数,求 的数学期望.Y32Y解 , ,从而21dcos)3(xXP) 4(B.522EDY五.（本题 12 分）设 的联合分布律为),(0 1 2 X1 0.1 0.05 0.352 0.3 0.1 0.1问:(1) 是否独立；Y,(2) 计算 的值；)(P(3) 在 的条件下 的条件分布律.X解 (1) 因为,)0()1(4.052.10),( YPXYX所以 不独立;不(2

18、) ;15.2,),( YP10(3) ,9745.03)2(,1)2|1( YPXYXP.97|六.（本题 12 分）设二维随机变量 的概率密度为) ,(YX,0112),(不xyyxf求:(1) 的边缘密度函数 ；)fX(2) ；)(XYE(3) .1P解 (1) .,0,14,01d2d),()( 3不不xxyyxff xX(2) ;1031YE(3) .yxPd2)(1287七.（本题 6 分）一部件包括 10 部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为 2mm,均方差为 0.05,规定总长度为 mm 时产品合格 ,试求产品合格的概率.).0(解 设 表示第 部分的长度, , 表示部件的长度.由题意知 ,iXi 102iX2iEX,且 , , .由独立同分布的中心极限定理知,产品为合格品025.iDX10ii2E5DX的概率为 )0.1|5.(|)1.|(| PP.47)2.八.（本题 7 分）设总体 具有概率密度为X,00,e)!1()不xkxfk其中 为已知正整数,求 的极大似然估计.k解 设 是来自总体 的样本,当 时,似然函数nX,21 ,21nx,nixnikkiixfLe)!1()(1