河南工业大学电动力学考试题目.doc

1、 第一章4.处于静电平衡状态下的导体,关于表面电场说法正确的是:A.只有法向分量; B.只有切向分量 ; C.表面外无电场 ; D.既有法向分量,又有切向分量答案:A 5.对于铁磁质成立的关系是A. B. C. D.HBHB0)(0MHB)(HB答案:C8.一个半径为 R 的电介质球,极化强度为 ,则介质中的自由， 电 容 率 为2rKP电荷体密度为 ,介质中的电场强度等于 .答案: 20rKf ）（ 20r13应用高斯定理证明,vsdffA应用斯托克（Stokes）定理证明.sLl证明: 等式 左边的 分量为,vsdffAx,xxvvefdef()()()abcacb()xxffx xvve

2、dfe有 ()()()x xxxxvvss svsedffedfedfedfAA再 利 用 高 斯 定 理 ， 有 可 见 ， 的 分 量 与 的 分 量 相 等 。 ,y zvsvsdfedffedfy z同 理 ， 有 esdvffA故 ()vvdffc另 解 : 用 一 非 零 任 意 常 矢 量 c点 乘 原 式 左 边 ， 得 c)()()()fcfff由 于 （ )vssdvcdfcdsf AAv上 式 右 边因 为 c为 任 意 非 零 常 矢 量 ， 故 f ()()()()ss ssl ll lcdcdsabacdscdcdcdscdd As左 边 点 乘 一 非 零 任 意

3、 常 矢 量 ， 得利 用利 用 斯 托 克 斯 公 式得由 于 为 非 零 任 意 常 矢 量 ， 所 以 得 到 d14.已知一个电荷系统的偶极矩定义为 (),)vptxtv0Jt利 用 电 荷 守 恒 定 律 证 明 的 变 化 率 为 (,).vdpJxtdt证明: 由电偶极矩的定义式，得 (,)(,)()vv vdpxtdxtJxt (),IJxJxx由 于 A()vvdpJxdt ()()svsvJxd AA在界面 上， 的法向分量 ，故式右边第一项等于零SJ0n(,)dpJxtdvt第二章12. 试证明：在没有电荷的地方电势不能达到极大值。证明：考虑一般情况，设介质为线性非均匀介

4、质，电容率为 ，根据麦克斯韦方程组,1DE得 出2 (1)在没有自由电荷的地方， =0，式变为 2212xyzxyz若 有 极 大 值 或 极 小 值 的 地 方 ， 应 有 0xyz2式 变 为 2203xyz22 30030xyz 我 们 知 道 ， 在 极 大 值 处 ， ， 若 为 极 大 值 ， 便 不 能 满 足 式 ； 在 极 小 值 处 ， ， ， ，若 为 极 小 值 ， 也 不 满 足 式 ， 于 是 证 明 了 线 性 介 质 中 ， 处 不 能 取 极 值 。15均匀介质球（电容率为 ）的中心置一自由电偶极子 ，球外充满了另1 fp一种介质（电容率为 ） ，求空间各点的

5、电势和极化电荷分布。2解: 选球心为原点, 的方向为 z 轴方向,设球内外电势分别为 ,fP 12(R )20由电势的叠加性及轴对称性,可设1134fPR221是拉普拉斯方程的解,形式为12(R ） 2dc电势在界面及边界上满足有限 10R20021RR02将 代入式可得至,nbc再将 代入 式解出至121230()(),f fPPdRna于是，得121 0330232()()4()()f ffPRPR球面处的极化电荷面密度 121021()()pnPnDnE由于球面上无自由电荷，故 f 012210210 303()()()cosfP RPER 从结果看，球内电势第一项是球心处的 与 产生的

6、，而第二项是球fP面上的 产生；球外电势也是由 与 共同产生，它等效于一个Pf电偶极子的电势，等效电偶极矩为0123fP16空心导体球壳的内外半径为 和 ，球中心置一偶极子 P，球壳上带电1R2Q，求空间各点电势和电荷分布。解：选球心为原点，令 ，电势等于球心电偶极子的电势与球壳内外表面zpe上电荷的电势 之和，即壳内外电势11304R22p电势满足的方程边界条件为2 1120()()qxx2有限 10R2（待定） 120R20dsQA由于电势具有轴对称性，并考虑 5，6 两式，所以设1 1(cos)napR2 2)1nnb将上式代入，两式后再利用式解得 01301,(0,1)4npaaR2,

7、bb于是，得 101331cos,()44pRA2202 200,()RP将 代入式可确定导体壳的电势2024QR最后得到， 13012pP1()R2,()4R球壳内外表面的电荷面密度分别为 11031cosP22 24RQ球外电势仅是球壳外表面上的电荷 Q 产生，这是由于球心的电偶极子及内表面的 在壳外产生的电场相互抵消，其实球外电场也可直接用高斯定理求得：1第三章1.稳恒磁场的泊松方程 成立的条件是JA2A介质分区均匀 B.任意介质 C.各向同性线性介质 D.介质分区均匀且 0A答案：D2.电流 处于电流 产生的外磁场中, 外磁场的矢势为 ,则它们的相互作用JeJ e能为A. B. C.

8、D. eVAJdv12eVAJdveVAJdvVAJdv答案：A4.磁偶极子的矢势 和标势 分别等于AmA. B. 330,44mR 033,4mRAC. D. 33,A330,答案：C5、用磁标势解决静磁场问题的前提是A.该区域没有自由电流分布 B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域 C. 该区域每一点满足 D. 该区域每一点满足 . 0B 0BJ答案：B8.分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是 .在经典物理中矢势的环流 表示 .LAdl答案： 或求解区是无电流的单连通区域 0lH13.电流体系 的磁矩等于 .()Jx答案： 12vmd16.将一磁导率为 ，半径为 的球体，放入均匀磁

9、场 内，求总磁感应强度0R0H和诱导磁矩 。B解 ：本题中所求磁场空间区域没有自由电流分布，故最简单的办法就是用磁标势法来求解，若求解区内无磁荷，则 。用分离变量法求解，02m便可得磁标势，然后再计算磁场。根据题意，以球心为原点建立球坐标系，取H 的方向为 ，此球体在 外界存在的磁场的影响下磁化，产生一个磁场，并ze与球内磁场相互作用，最后达到平衡。磁场具有轴对称性。由于球外 M2=0，磁荷体密度 ，球内 ，02m 10101 )()(BHM磁场磁荷密度，)1(1002 BMm本题所满足的定解问题为0002101221 234mmmRRm2R()()|()|Hcos()有 由微分方程和自然边界

10、条件 （3） （4）式，得1 002 01056nnmaP(s)R)(dRcocos)()由两个边界条件（1） （2） 0 02010 100 )(cos)(cos)(cos sn nnnn nn PRdHPRa 解得 )1(02330101ndaRHan于是： 01 0320 020 011 003cos()cos()3cs232mmrHRReHeHBH 3 30 022 0 02 230053000220 531cos1sin()()2mrRRHHeHeBRR 0030000 0533()()()2HHRR当 时，B2 表达式中的第二项可看作一个磁偶极子产生的场0R中的第二项是磁偶极子 m

11、 产生的势2m即 RHHR 023002303cos41 m3024引申拓展 均匀磁介质球在均匀磁场中磁化，对球外区磁化后的介质球相当于一个磁偶极子 m,因此通解（6）式也可直接写为3024cosRHm然后利用边界条件确定 m 即可得解.17.有一个内外半径为 和 的空心球，位于均匀外磁场 内，球内磁导率为12 0H，求空腔内的场 ，讨论 0时的磁屏蔽作用。B解: 根据题意，以球心为原点，取球坐标，选取 的方向为 ，在外场 的0ze0作用下，球壳磁化，产生一个附加场，并与外场相互作用，最后达到平衡。B的分布呈轴对称。在球壳内和球壳外， ，球壳中,3131mM于是磁标势满足的定解问题为0)1(20202 BMm122211220211223 3010 134mmRRmRRmmRmR3()()|,| (), |()Hcos有由于磁标势具有轴对称性，再根据两个自然边界条件，三个泛定方程的解的形式为01031201 )(coscos)(cosnnmnnnnnmPRdHbPRa因为凡微分方程的解是把产生的磁场的源 做成频谱分解而得出的，分解所0H选取的基本函数系是其本征函数系。在本题中，源的磁标势是=cos0)(cos10P所以上面的解中 nndba故解的形式简化为coscscos21032121RdHbRmm代入边界（1） （2）式得