专题10三角化简的技巧.DOC

1、“备课大师“全科【9 门】：免注册，不收费！ http:/ “全科【9 门】：免注册，不收费！http:/ 10 三角化简的技巧一三角化简的技巧1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题 5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题二三角化简方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作. 3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差

2、异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.三典例分析（一） “1”的妙用例 1已知 ，则 的值为（ ） A B C D【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系把原式的分母“1”变为 sin2+cos2，然后给分子分母求除以 cos2，把原式化为关于 tan 的关系式，把 tan 的值代入即可求出值因为 tan3，所以 故选：C练习 1已知角 的终边在函数 的图象上, 则 的值为( )“备课大师“全科【9 门】：免注册，不收费！ http:/ “全科【9 门】：免注册，不收费！http:/ B C2 D【答案】A【解析】依题意可知 ,故原

3、式 ,故选 .练习 2已知 ，则 的值为（ ）A0 B1 C-1 D 1【答案】C【解析】由 平方得： ，得 .故选 C.练习 3若 ，则 的值为（ ）A 10 B 5 C 23 D 【答案】A【解析】 ，则故选 A（二） 与 的关系sincoA例 2已知 ，则 的值是（ ）A B C D【答案】D【解析】 ， 则 即“备课大师“全科【9 门】：免注册，不收费！ http:/ “全科【9 门】：免注册，不收费！http:/ D.练习 1已知 为ABC 的一个内角，且 sincosm，若 m(0 ，1)，则关于ABC 的形状的判断，正确的是( )A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D三种形

4、状都有可能 【答案】B【点睛】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从 sincos 的符号中判断 的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用练习 2. 【2019 高考热点题型】若 sin，cos 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根，则 m 的值为（ ）A. B C D【答案】B【解析】由 sin、cos 是关于 x 的方程 4x2+2mx+ m=0 的两个实根，利用判别式求出满足条件的 m 取值范围；再根据韦达定理和同角三角函数基本关系，求出对应 m 的值sin，cos 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根 ，“备课大师“全科【9 门】：免注册，不收费！ http:/ “

5、全科【9 门】：免注册，不收费！http:/ ， （sin+cos） 22sincos= 2 =1，解得 m=1 ；又方程 4x2+2mx+m=0 有实根，则=（2m） 216m0，解得 m0，或 m4；综上，m 的值为 1 故选：B（三）用已知角表示未知角例 3已知 ， ，且 ，则 （）A-2 B2 C D【答案】A【分析】观察角之间的关系，拆角， ，利用差角公式展开，可以求得 .【解析】因为 sin ， ，所以 ；又所以 ， ，故选 A.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，一般求解思路是先观察已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.注意积累常见的拆角方法.练习 1已知在锐角ABC

6、中，角 的终边过点 P(sin Bcos A，cos Bsin A)，且 cos ，则 cos 2 的值为A B C D【答案】D“备课大师“全科【9 门】：免注册，不收费！ http:/ “全科【9 门】：免注册，不收费！http:/ sin Bcos A0， cos Bsin A0，同理，cos Bsin A0，角 为第四象限角，sin ， ，故选 D.【点睛】给值求 值问题一般是应用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可 （五）特殊角的替换作用例 5. 等于（ ）A. 32 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解

7、析】，故选 C。练习 1A. B. -1 C. D. 1【答案】D“备课大师“全科【9 门】：免注册，不收费！ http:/ “全科【9 门】：免注册，不收费！http:/ 6. 的值是（ ）A. 12 B. 3 C. 2 D. 3【答案】D【解析】故选 D.【防陷阱措施】三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称” 看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征” ，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.练习 1 =_【答

8、案】-1“备课大师“全科【9 门】：免注册，不收费！ http:/ “全科【9 门】：免注册，不收费！http:/ 2 _.【答案 】 3【解析】故答案为 3练习 3 _【答案】 【解析】 由，及 ，可得 ，所以.练习 4 _【答案】 32“备课大师“全科【9 门】：免注册，不收费！ http:/ “全科【9 门】：免注册，不收费！http:/ 32练习 5. 求值： _【答案】4【解析】故答案为 4练习 6 _【答案】 43【解析】“备课大师“全科【9 门】：免注册，不收费！ http:/ “全科【9 门】：免注册，不收费！http:/ 43。点睛：解答本题的关键是借助题设中角度的特征，先将

9、切化弦，再运用三角变换公式及二倍角的正弦余弦公式进行运算，进而达到化简的目的。练习 7化简 的值为_【答案】 32【解析】原式，故答案为 32.练习 8 求 的值.【答案】2.【解析】利用题意结合所给三角函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算可得三角函数式的值为 2.原式“备课大师“全科【9 门】：免注册，不收费！ http:/ “全科【9 门】：免注册，不收费！http:/ 7. 已知214ab，则 的最大值为（ ）A. 1 B. 3 C. 2 D. 3【答案】C【解析】由214ab得 。由辅助角公式可得， 所 以最大值为 2.故选 C。【防陷阱措施】求函数 的最值问题，利用辅助角公式将解析式化成一个角的三角函数形式，即 ，利用三角函数的性质求最值。