题目选修Ⅱ概率与统计数学归纳法.DOC

1、题目新疆王新敞特级教师 源头学子小屋htp:/w.xjktygcom/wxckt126.omwxckt126.omhtp:/w.xjktygcom/源头学子小屋特级教师 王新敞新疆(选修 )第一章 概率与统计新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞:.jt/xct.ct.c:.jt/xc王新敞特级教师源头学子小屋 新疆新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞hp:.jktygo/wwxkt126.owxkt126.oh

2、p:.jktygo/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞:www.jtcm/xct.mct.m:www.jtcm/x王新敞特级教师源头学子小屋 新疆新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞hp:.jktygo/wcwxkt126.cowxkt126.cohp:.jktygo/wc王新敞特级教师源头学子小屋 新疆新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞:.jt/xt.t.:.jt/x王新敞特级教师源头学子小屋 新疆新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞hp:www.jktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhp:www.jktygcom/w王新敞特级教师源头

3、学子小屋 新疆新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞:.jt/xct.ct.c:.jt/xc王新敞特级教师源头学子小屋 新疆数学归纳法 高考要求新疆王新敞特级教师 源头学子小屋htp:/w.xjktygcom/wxckt126.omwxckt126.omhtp:/w.xjktygcom/源头学子小屋特级教师 王新敞新疆1新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp

4、:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆2新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omxckt126.ohtp:/.xjktygco/王新敞特级教师源头学子小屋 新疆对数学归纳法的认识不断深化 奎屯王新敞 新疆 3新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omxckt126.ohtp:/.xjktygco/王新敞特级教师源头学子小屋 新疆掌握 数学归纳法的应用：证恒等式；整除性的证明；

5、探求平面几何中的问题；探求数列的通项；不等式的证明新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆知识点归纳新疆王新敞特级教师 源头学子小屋htp:/w.xjktygcom/wxckt126.omwxckt126.omhtp:/w.xjktygcom/源头学子小屋特级教师 王新敞新疆1新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师

6、源头学子小屋 新疆归纳法 ：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆特点：特殊一般 奎屯王新敞 新疆 2新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omxckt126.ohtp:/.xjktygco/王新敞特级教师源头学子小屋 新疆不完全归纳法 : 根据事物的部分 (而不是全部 )特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:

7、/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆3新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆完全归纳法 : 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新

8、疆完全归纳法是一种在研究了事物的所有 (有限种 )特殊情况后得出一般结论的推理 方法，又叫做 枚举法新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法新疆源头学子小屋 特级

9、教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆4新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆数学归纳法 :对于某些与自然数 n 有 关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当 n 取第一个值 n0时命题成立；然后假设当 n=k(kN*， k n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 奎屯王新敞 新疆这种证明方法

10、就叫做数学归纳法 奎屯王新敞 新疆 5新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆数学归纳法的基本思想： 即先验证使结论有意义的最小的正整数 n0，如果当 n=n0时，命题成立，再假设当 n=k(k n0， k N*)时，命题成立新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆(这时命题是否成立不是确定的 )，

11、根据这个假设，如能推出当 n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于 n0的正整数 n0+1， n0+2，命题都成立新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆6新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当 n 取第一个值 n0结论正

12、确； (2)假设当 n=k(k N*，且 k n0)时结论正确，证明当 n=k+1 时结论也正 确新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆由 (1)， (2)可知，命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都正确 奎屯王新敞 新疆 数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题 : 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉 奎屯王新敞 新疆新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.

13、omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆奎屯王新敞 新疆 题型讲解新疆王新敞特级教师 源头学子小屋htp:/w.xjktygcom/wxckt126.omwxckt126.omhtp:/w.xjktygcom/源头学子小屋特级教师 王新敞新疆例 1 比较 2n 与 n2 的大小（ n N *）新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆分析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用

14、数学归纳法证明新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆解：当 n=1 时， 21 12， 当 n=2 时， 22=22，当 n=3 时， 23 32， 当 n=4 时， 24=42，当 n=5 时， 25 52， 猜想：当 n 5 时， 2n n2新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆下面用 数学

15、归纳法证明： （ 1）当 n=5 时， 25 52 成立新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆（ 2）假设 n=k（ k N *， k 5）时 2k k2， 那么 2k+1=2 2k=2k+2k k2+（ 1+1） k k2+C0k +C1k +C 1kk =k2+2k+1=（ k+1） 2新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/

16、w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆当 n=k+1 时， 2n n2新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆由（ 1）（ 2）可知，对 n 5 的一切自然数 2n n2 都成立新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆综上，得当 n=1 或 n 5 时， 2n n2； 当 n=2， 4 时， 2n=n2

17、；当 n=3 时， 2n n2新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆点评：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑 出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆另法 ： 当 n 5 时，要证 2n n2，也可直接用二项式定理证： 2n=（ 1+1） n=C0n +C1

18、n +C2n + +C 2nn +C 1nn +Cnn 1+n+2 )1( nn+2 )1( nn=1+n+n2 n n2新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆例 2 是否存在常数 a、 b、 c 使等式 1（ n2 12） +2（ n2 22） + +n（ n2 n2） =an4+bn2+c对一切正整数 n 成立 ?证明你的结论新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.o

19、mhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆分 析：先取 n=1， 2， 3 探求 a、 b、 c 的值，然后 用数学归纳法证明对一切 n N*， a、 b、 c所确定的等式都成立新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆解：分别用 n=1， 2， 3 代入解方程组 1 ,40116 4 3 ,481 9 18 0.aabca b c ba b c c 下面用数学归纳法证明新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/w

20、ww.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆（ 1）当 n=1 时，由上可知等式成立 ; （ 2）假设当 n=k+1 时，等式成立， 则当 n=k+1 时， 左边 =1（ k+1） 2 12 +2（ k+1） 2 22 + +k（ k+1） 2 k2 +（ k+1）（ k+1） 2（ k+1） 2 =1（ k2 12） +2（ k2 22） + +k（ k2 k2） +1（ 2k+1） +2（ 2k+1） + +k（ 2k+1） =41k4+（41） k2+（ 2k+1） +2（ 2k+1） +

21、 +k（ 2k+1） =41（ k+1） 441（ k+1） 2新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆当 n=k+1 时，等式成立新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆由（ 1）（ 2）得等式对一切的 n N*均成立新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxc

22、kt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆点评 ：本题是探索性命题，它通过观察 归纳 猜想 证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆例 3 设 a0 为常数，且 an=3n 1 2an 1（ n N*）新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126

23、.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆证明： n 1 时， an=51 3n+（ 1） n 1 2n +（ 1） n 2n a0新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆分 析：给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级

24、教师源头学子小屋 新疆证明：（ 1）当 n=1 时， 51 3+2 2a0=1 2a0，而 a1=30 2a0=1 2a0新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆当 n=1 时，通项公式正确新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆（ 2）假设 n=k（ k N*）时正确， 即 ak=51 3k+（

25、1） k 1 2k +（ 1） k 2k a0， 那么 ak+1=3k 2ak=3k52 3k+52（ 1） k 2k+（ 1） k+1 2k+1a0 =53 3k+51（ 1） k 2k+1+（ 1） k+1 2k+1 a0 =51 3k+1+（ 1） k 2k+1 +（ 1） k+1 2k+1 a0新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆当 n=k+1 时，通项公式正确新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/w

26、wxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆由（ 1）（ 2）可知，对 n N*， an=51 3n+（ 1） n 1 2n +（ 1） n 2n a0新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆点评 ：由 n=k 正确 n=k+1 时也正确是证明的关键新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/

27、www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆另法： 也可用构造数列的方法求 an新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆解： a0 为常数， a1=3 2a0新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆由 an=3n 1 2an 1， 得nna33=1132nna+1， 即nna3=3

28、2113nna+31新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆nna351=32（113nna51）新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆 nna351是公比为32，首项为51323 0 a的等比数列新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwx

29、ckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆nna351=（5432a0）（32） n 1新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆 an=（5432a0）（ 2） n 1 3+51 3n =51 3n+（ 1） n 1 2n +（ 1） n 2n a0新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygco

30、m/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆点评 ：关键是转化成 an+1=can+d 型新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆例 4 是否存在正整数 m，使得 f（ n） =（ 2n+7） 3n+9 对任意自然数 n 都能被 m 整除 ?若存在，求出最大的 m 值，并证明你的结论 ;若不存在，请说明理由新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktyg

31、com/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆解 ： 由 f（ n） =（ 2n+7） 3n+9， 得 f（ 1） =36， f（ 2） =3 36， f（ 3） =10 36， f（ 4） =34 36， 由此猜想 m=36新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆下面用数学归纳法证明： （ 1）当 n=1 时，显然成立新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/ww

32、w.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆（ 2）假设 n=k 时， f（ k）能被 36 整除， 即 f（ k） =（ 2k+7） 3k+9 能被 36 整除 ; 当 n=k+1 时， 2（ k+1） +7 3k+1+9=3（ 2k+7） 3k+9 +18（ 3k 1 1）， 由于 3k 1 1 是 2 的倍数，故 18（ 3k 1 1）能被 36 整除新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆这就是说，当 n=k+1 时， f（

33、 n）也能被 36 整除新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆由（ 1）（ 2）可知对一切正整数 n 都有 f（ n） =（ 2n+7） 3n+9 能被 36 整除， m 的最大值为36新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆例 5 如下图，设 P1， P2， P3， Pn，是曲线 y= x 上的

34、点列， Q1， Q2， Q3， ，Qn，是 x 轴正半轴上的点列，且 OQ1P1， Q1Q2P2， Qn 1QnPn，都是正三角形，设它们的边长为 a1， a2， an， 求证： a1+a2+ +an=31n（ n+1）新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆证明：（ 1）当 n=1 时，点 P1 是直线 y= 3 x 与曲线 y= x 的交点， 可求出 P1（31，33）新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/w

35、wxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆 a1=|OP1|=32新疆源头学子小屋 特级教师王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆而31 1 2=32，命题成立新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆（ 2）假设 n=k（ k N*）时命题成立，即 a

36、1+a2+ +ak=31k（ k+1）， 则点 Qk的坐标为（31k（ k+1）， 0）， 直线 QkPk+1 的方程为 y= 3 x31k（ k+1） 新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆代入 y= x ，解得 Pk+1 点的坐标为 ) .1(33,3 )1( 2 kk ak+1=|QkPk+1|= 33 （ k+1）32=32（ k+1）新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxc

37、kt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆 a1+a2+ +ak+a k+1=31 k（ k+1） +32 （ k+1） =31 （ k+1）（ k+2）新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆当 n=k+1 时，命题成立新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小

38、屋 新疆由（ 1）（ 2）可知，命题对所有正整数都成立新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆点评：本题的关键是求出 Pk+1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出 |QkP k+1|新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆小结： 1用数学归纳法证明问题应注意： P 3P 2P 1Q 3Q 2Q

39、1f x = xoyx（ 1）第一步验证 n=n0 时， n0 并不一定是 1 （ 2）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由 k 到 k+1 时命题的变化 （ 3）由假设 n=k 时命题成立，证 n=k+1 时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆2新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.

40、xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆3新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omxckt126.ohtp:/.xjktygco/王新敞特级教师源头学子小屋 新疆数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.x

41、jktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆4新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omxckt126.ohtp:/.xjktygco/王新敞特级教师源头学子小屋 新疆数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆只要与自然数有关，都可考虑数学归纳法

42、，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆5新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，要注意初始值，要弄清 n=k 和 n=k+1 时的结论是什么新疆源头学子小屋 特级教师 王新

43、敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆要有目标意识，紧盯 n=k+1 时的结论，对 n=k 时的结论进行一系列的变形，变形的目标就是 n=k+1 时的结论新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆这就是所谓的 “凑假设，凑结论”新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxck

44、t126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆学生练习新疆王新敞特级教师 源头学子小屋htp:/w.xjktygcom/wxckt126.omwxckt126.omhtp:/w.xjktygcom/源头学子小屋特级教师 王新敞新疆1新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆设 f（ n） =11n+21n+31n+ +n21（ n N *），那么 f（ n+1） f（ n）等于 A新疆源头学子小屋 特级教师

45、王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆121nB新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆221nC新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆121n+221nD新疆源头学子小屋

46、特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆121n221n解析： f（ n+1） f（ n） =21n+31n+ +n21+121n+221n（11n+21n+n21） =121n+221n11n=121n221n新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆答案： D 2新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.

47、xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆若把正整数按下图所示的规 律排序，则从 2002 到 2004 年的箭头方向依次为 A. B. D.C.12 34 56 78 910 1112解析： 2002=4 500+2，而 an=4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆答案： D 3新疆源头学子小屋 特级教

48、师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆凸 n 边形有 f（ n）条对角线，则凸 n+1 边形有对角线条数 f（ n+1）为 A新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omxckt126.ohtp:/.xjktygco/王新敞特级教师源头学子小屋 新疆f（ n） +n+1 B新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新