交通大学2000年保送生数学试题.DOC

1、大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理 1 / 68 交通大学 2000 年保送生数学试题 一、选择题 (本题共 15 分，每小题 3 分在每小题给出的 4 个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内 ) 1若今天是星期二，则 31998天之后是 ( ) A星期四 B星期三 C星期二 D星期一 2用 13 个字母 A， A， A， C， E， H， I， I， M， M， N， T， T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成 “MATHEMATICIAN”一词的概率是 ( ) A 4813! B 21613!C 172813!D 813! 3方程 co

2、s2xsin2x+sinx m+1 有实数解，则实数 m 的取值范围是 ( ) A 18m B m 3 C m 1 D 13 8m 4若一项数为偶数 2m 的等比数列的中间两项正好是方程 x2+px+q 0 的两个根，则此数列各项的积是 ( ) A pm B p2m C qm D q2m 5设 f (x0) 2，则 000 ( ) ( )limh f x h f x hh ( ) A 2 B 2 C 4 D 4 二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分） 1设 f(x)的原函数是 1x ，则 10 (2 )f x dx_ 2设 (0, )2x ，则函数 ( 222211s i n ) (

3、c o s )s i n c o sxxxx的 最小值是 _ 3方程 3 1 6 2 8 1 5 3 6x x x 的解 x _ 4向量 2a i j 在向量 34b i j 上的投影 ()ba _ 5函数 3 223y x x 的单调增加区间是 _ 6两个等差数列 200， 203， 206， 和 50， 54， 58 都有 100 项， 它们共同的项的个数是 _ 7方程 7x2(k+13)x+k2k2 0 的两根分别在区间 (0,1)和 (1,2)内，则 k 的取值范围是 _ 8将 3 个相同的球放到 4 个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件

4、“有 3 个盒子各放一个球 ”的概率是 _ 三、证明与计算（本题 61 分） 1 (6 分 )已知正数列 a1， a2， ， an，且对大于 1 的 n 有12 32na a a n ，12 12n na a a 试证： a1， a2， ， an 中至少有一个小于 1 2 (10 分 )设 3 次多项式 f(x)满足： f(x+2) f(x)， f(0) 1， f(3) 4，试求 f(x) 大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理 2 / 68 3 (8 分 )求极限112li m ( 0 )p p ppn n pn 4 (10 分 )设 2 ,0(),0x bx c

5、xfx lx m x 在 x 0 处可导，且原点到 f(x)中直线的距离为 13 ，原点到 f(x)中曲线部分的最短距离为 3，试求 b， c， l， m 的值 (b,c0) 5 (8 分 )证明不等式： 341 s in c o s 2xx ， 0, 2x 6 (8 分 )两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是 12 若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率 7 (11 分 )如图所示，设曲线 1y x 上的点与 x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形 OB1A1， A1B2A2， ，直角顶点在曲线 1y x 上试求 An 的坐标表达式，并说明这些三角

6、形的面积之和是否存在 O y x B1 A2 A1 B2 大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理 3 / 68 复旦大学 2000 年保送生招生测试数学试题（理科） 一、填空题（每小题 10 分，共 60 分） 1将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数， ，第 n 组含 n 个数，即 1； 2， 3； 4， 5， 6； 令 an 为第 n 组数之和，则 an _ 2 2 2 2s i n s i n ( ) s i n ( )33 _ 32 2 2l im ( 2) l og ( 2) 2( 1 ) l og ( 1 ) l og n n

7、n n n n n _ 4已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于 60 度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成 60 度角，则两对角面面积之比为 _ 5正实数 x,y 满足关系式 x2xy4 0，又若 x1，则 y 的最小值为 _ 6一列火车长 500 米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件， 然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台 1000 米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了 _米 二、解答题（每小题 15 分，共 90 分） 1数列 an适合递推式 an+1 3an+4，又 a1 1，求

8、数列前 n 项和 Sn 2求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明 3正六棱锥的高等于 h，相邻侧面的两面角等于 12 arcsin (3 2 6 )2 ， 求该棱锥的体积 ( 1co s ( 2 6 )1 2 4 ) 4设 z1,z2,z3,z4 是复平面上单位圆上的四点，若 z1+z2+z3+z4=0 求证：这四个点组成一个矩形 大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理 4 / 68 5设 (1 2 ) 2n nnxy ，其中 xn,yn 为整数，求 n 时， nnxy 的极限 6设平面上有三个

9、点，任意二个点之间的距离不超过 1问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这 三个点请证明你的结论 大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理 5 / 68 2000 年交大联读班试题 1. 直线 y ax b关于 yx 的 对称直线为 _。 2. 已知 ,abc是 ABC 的三边， 1a ， bc ， 且满足 l o g l o g 2 l o g l o gb c c b b c c ba a a a ， 则ABC 是 _的三角形。 3. 已知 8 878 7 1 031x a x a x a x a ，则 8 6 4 2 0a a a a a _。 4. 已知 fx满足 ：

10、 111 fxfx fx ，则 fx的最小正周期是 _。 5. 已知 fx是偶函数， 2fx 是奇函数， 且 0 1998f ， 则 2000f _。 6. ,abc是 ABC 的三边，且 : : 4 : 5 : 6b c a c a b ，则sin : sin : sinA B C _。 7. n 是十进制 的 数 ， fn是 n 的 各个数字之和，则使 20fn 成 立 的最小的 n 是_。 8. 7sin sin12 127cos cos12 12_。 9. 函 数 332211f x x x x x xR 的 反 函 数是 _。 10. 已知数 列n nna k（ k 是不等于 1 的

11、常数）， 则 1 2 3 na a a a _。 11. 从自然数 1 至 100 中任取 2 个相乘，其结果是 3 的倍数的情况有种 _。（ 取出的数不分先后 ） 12. 己知 fx在 0x 处可导，则 22003l imhf x h f x hh _。 13. 已知 ,xy为整数， n 为非负整数， x y n， 则整点 ,xy 的个数为 _。 14. 抛物线 2 0y x x上，点 A 坐标为 1,03，抛物线在 P 点的切线与 y 轴及直线 PA 夹 角相等，求点 P 的坐标。 15. 在 na 中， 1 4a ， 1 6nnaa， 求证 ：11333nnaa 求 limnn a。 1

12、6. 已知 22u y x， 2v xy ， 若点 ,xy 在单位圆上以 0,1 为起点按顺时针方向转一圈，求点 ,uv 的轨迹 ； 大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理 6 / 68 若点 ,xy 在直 线 y ax b上运动，而点 ,uv 在 过点 1,1 的直线上运动 ， 求 a ， b 的值。 17. 若 ,xy满足 222 3 3 1 2 0x x y y x y ，求下列函数的最小值 ： xy ； xy ；33xy 。 18. 若方程 3 27 0x x m 有 3 个不同实根，求实数 m 的取值范围。 19. 己知函数 fx满 足 f x y f x

13、f y x y x y ，又 0 1f ， 求函数 fx的解析式。 20. 口袋中有 4 个白球， 2 个黄球，一次摸 2 个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第n 次两个黄球都被摸出，即第 1n 次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是nP ，求 23,nP P P 。 大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理 7 / 68 2001 复旦基地班数学试题 1. 设函数 xy xa 的反函数是它自身，则常数 a _。 2. 不等式 2 222lo g lo gxx的解集是 _。 3. 直线 2 7 8 0xy 与 2 7 6 0xy 间的距离是 _。 4.

14、如果 3 nx 的展开式的系数和是 1 my 的展开式的系数和的 512 倍，那么自然数 n 与 m的关系为 _。 5. 椭圆 34 2cos 的焦距是 _。 6. 己知 4 3 5 0xy ，那么 2213xy 的最小值为 _。 7. 与正实轴夹角为 arcsin sin3 的直线的斜率记为 k ，则 arctank _。 （结果用数值表示） 8. 从 n 个人中选出 m 名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少 1 名且名额不限，则共有 _种选法 mn 。 9. 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1BC 与截面 11BBDD 所成的角为 _。 10. 1sec

15、50 cot10_。 （结果用数值表示） 11. 函数 3c o s c o s2g x x x 的最小正周期是（ ） A 2 B C 2 D 1 12. 设函数 f x x 的反函数为 1fx ，则对于 0,1 内的所有 x 值，一定成立的是（ ） A 1f x f x B 1f x f x C 1f x f x D 1f x f x 13. 138 除以 9 所得的余数是（ ） A 6 B 1 C 8 D 1 14. 抛物线 2 41yx 的准线方程为（ ） A 1x B 2x C 3x D 4x 15. 由参数方 程11xttytt 所表示的曲线是（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆

16、 大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理 8 / 68 16. 己知抛物线 2 52y x x 与 2y ax bx c 关于点 3,2 对称，则 abc 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 17. 作坐标平移，使原坐标下的点 ,0a ，在新坐标下为 0,b ，则 y f x 在新坐标下的方程为（ ） A y f x a b B y f x a b C y f x a b D y f x a b 18. 设有四个命题： 两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件； 一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件； 空间一

17、个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。 ,ab是平面 外的两条直线，且 /a ，则 /ab是 /b 的必要而不充分条件，其中真命题的个数是（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 19. 集合 ,AB各有四个元素， AB有一个元素， C A B ，集合 C 含有三个元素，且其中至少有一个 A 的元素，符合上述条件的集合 C 的个数是（ ） A 55 B 52 C 34 D 35 20. 全面积为定值 2a （其中 0a ）的圆锥中，体积的最大值为（ ） A 323a B 3212 a C 316a D 336 a 21. 已知： sin sin a， cos cos

18、1a ，求 sin 及 cos 。 22. 设复数 12,zz满足： 1 1 2z z z， 12 13z z a i，其中 i 是虚数单位， a 是非零实数，求21zz 。 23. 已知椭圆 2 2 12xa y 与抛物线 2 12yx 在第一象限内有两个公共点 ,AB，线段 AB 的中点 M 在抛物线 2 1 14yx上，求 a 。 24. 设数列 nb 满足 1 1b ， 0nb ， 2,3,n 其前 n 项乘积 1 nnnnT a b 1,2,n ，证明 nb 是等比数列。求 nb 中所有不同两项的乘积之和。 25. 己知棱柱 1 1 1ABC A B C 的底面是等腰三角形， AB

19、AC ，上底面的项点 1A 在下底面的射影是 ABC 的外接圆圆心，设 BC a ，1 3AAB ，棱柱的侧面积为 223a 。 大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理 9 / 68 证明 :侧面 11AABB 和 11AACC 都是菱形， 11BBCC 是矩形。 求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。 求棱柱的体积。 26. 在直角坐标系中， O 是原点， ,AB是第一象限内的点，并且 A 在直线 tanyx 上（其中 ,42 ）， 12 cosOA ， B 是双曲线 221xy上使 OAB 的面积最小的点，求：当 取 ,42中什么值时， OAB 的面积最大，最大值是

20、多少 ? 大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理 10 / 68 2001 年交大联读班数学试卷 1. 数 12 825N的位数是 _。 2. 2 3 4 3 4 2 4 2 3l og l og l og l og l og l og l og l og l og 0x y z 求x y z _。 3. 8log 3p ， 3log 5q ，则用 ,pq表示 lg5 _。 4. 2 sin sin co s ， 2sin sin cos ，求 cos2cos2_。 5. 0,2x ，求 c os sinf x x x x的最小值为 _。 6. 有一盒大小相同的球，它

21、们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多 2 个小球，球数为 _。 7. 数列 1,3,2, 中， 21n n na a a，求 1001 ii a _。 8. 4212xx 展开式中 7x 系数为 _。 9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为 60 ，角的两边一边长 x ，一边长 9cm ，排版时把长 x 的那边错排成 1x 长，但发现角和对边长度没变，则 x _。 10. 掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列 1d 的概率为 _。 11. 1 1 2ab ，则 arctan arctanab（ ） 12. A 2 B 3 C 4 D 6 13. 某人向正东走 xkm ，再左转 150 朝新方向走了 3km ，结果离出发点 3km ，则 x （ ） A 3 B 23 C 3 D不确定 14. 11 132 16 21 2 1 2 1 2 （ ） A 11321 122 B113212 C 13212 D 1321 122 15. 0t ， 2 22,S x y x t y t ，则（ ） A t ， 0,0 S B S 的面积 0,