二0一0年中考数学压轴题汇总八.DOC

1、二 0 一 0 年中考数学压轴题汇总 八 1、 （ 2010 天门， 25， 12 分）如图，平面直角坐标系中，点 A、 B、 C 在 x 轴上，点 D、 E 在y 轴上， OA=OD=2， OC=OE=4， DB DC，直线 AD 与经过 B、 E、 C 三点的抛物线交于F、 G 两点，与其对称轴交于 M.点 P 为线段 FG 上一个动点 (与 F、 G 不重合 )， PQ y 轴与抛物线交于点 Q. (1)求经过 B、 E、 C 三点的抛物线的解析式； (2)是否存在点 P，使得以 P、 Q、 M 为顶点的三角形与 AOD 相似？若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；

2、 (3)若抛物 线的顶点为 N，连接 QN，探究四边形 PMNQ 的形状：能否成为菱形；能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 . 【分析】 （ 1）确定二次函数解析式可用待定系数法，本题可用一般式，也可用交点式 （ 2）本题中 因为 AOD 是等腰直角三角形，结合题意可知 MPQ 是等腰直角三角形，再结合等腰直角三角形的性质求解 . (3)当点 P 在对称轴左侧时， 四边形 PMNQ 为菱形，结合菱形的邻边相等，确定点 Q的坐标，再验证点 Q 是否在抛物线上，当点 P 在对称轴右侧时，四边形 PMNQ 为等 腰梯形，可作出梯形的两条高，构造求解 . 【答案】 （

3、 1）设函数解析式为 y=a(x+2)(x-4)，则 a 2 (-4)=4，解得 a=-21 所以 经过 B、 E、 C 三点的抛物线的解析式为 y=-21 (x+2)(x-4)=-21 x2+x+4. (2) y=-21 x2+x+4=-21 （ x-1） 2+29 . 易知直线 AD 解析式为 y=x+2，所以 M（ 1， 3），过点 M作 MR PQ 于点 R，因为 AOD 是等腰直角三角形，结合题意可知 MPQ 是等腰直角三角形，设 MN=m，则 PQ=2m，所以 P(1-m，3-m)， Q(1-m， 3+m)，所以 -21 （ 1-m-1） 2+29 =3+m，解得 m1=1， m2

4、=-3（不合题意，舍去） 此时 P(0， 2) （ 3） 【涉及知识点】 二次函数解析式，顶点坐标，对称轴，相 似三角形，菱形，等腰梯形 . 【点评】 这是一道传统型的压轴题， 以 函数和几何图形的综合作为主要方式，用到三角形、四边形、相似形 的有关知识 解压轴题，要注意它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“平列”的，还是“递进”的，这一点非常重要 . 2、 （ 2010 武汉 ， 25 题 ， 12 分）如图 1，抛物线 baxaxy 221 经过点 A（ 1， 0）， C（ 0， 23 ）两点，且与 x 轴的另一交点为点 B （ 1）求抛物线解析式； （ 2）若抛物线的顶点为点 M

5、，点 P 为 线段 AB 上一动点（不与 B 重合）， Q 在线段 MB上移动，且 MPQ=45，设 OP=x， MQ=222y，求 2y 于 x 的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围； （ 3）如图 2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线 x=m， x=n 分别与抛物线交于 E、G 两点，与（ 2）中的函数图像交于 F、 H 两点，问四边形 EFHG 能否为平行四边形？若能，求出 m、 n 之间的数量关系；若不能，请说明理由 【 分析】（ 1）问直接代入已知点到解析式即可求出解；（ 2）中是关于动点问题，可以利P M Q A B O y x 用动中取静的方法求解 ，关键是 PM2 的获

6、取， MPQ MBP 的发现，从而得到PM2=MQMB；（ 3）可先尝试动手画，然后再根据自己画的图形， 分析出 EF=GH，从而得到关于 m,n 的等式，变形化简即可 【 答案 】 解： (1) 拋物线 y1=ax22axb 经过 A(1， 0)， C(0，23)两点， 2302b baa ， a= 21， b=23， 拋物线的解析式为 y1= 21x2x23 (2) 作 MNAB，垂足为 N由 y1= 21x2x23易得 M(1， 2)， N(1， 0)， A(1， 0)， B(3， 0)， AB=4， MN=BN=2， MB=2 2 ， MBN=45根据勾股定理有 BM 2BN 2=PM

7、 2PN 2 (2 2 )222=PM2= (1x)2 ，又 MPQ=45=MBP， MPQ MBP， PM2=MQMB=22y22 2 由 、 得 y2=21x2x25 0x3 ， y2 与 x 的 函 数 关 系 式 为y2=21x2x25(0x3) (3) 四边形 EFHG 可以为平行四边形， m、 n 之间的数量关系是 mn=2(0m2，且 m1) 点 E、 G 是 抛物线 y1= 21x2x23分别与直线 x=m， x=n 的交点， 点 E、 G 坐标为 E(m， 21m2m23)， G(n， 21n2n23)同理，点 F、 H 坐标 为 F(m，21m2m25)， H(n，21n2

8、n25) EF=21m2m25(21m2m23)=m22m1 ，GH=21n2n25(21n2n23)=n22n1 四边形 EFHG 是平 行 四 边 形 ， EF=GH m22m1=n22n1 ， (mn2)(mn)=0 由题意知 mn， mn=2 (0m2，且 m1) 因此，四边形 EFHG 可以为平行四边形， m、 n 之间的数量关系是 mn=2 (0m2，且 m1) 【涉及知识点】二次函数、相似、平行四边形的性质等 【点评】此题是集动点、猜想、函数等知识于一身的综合性大题万变不离其中，只要我们平时打好基础，再难的问题，都可迎刃而解的 需要指出是第（ 3）问，准确P M Q A B O

9、y x N O E F G H x y 绘出 y1,y2 的图象，他们顶点在一处，再 用含 m,n 的式子表示出 EF、 GH 的长成为问题获得突破的关键事实上，这也是很多抛物线为载体的综合题一个重要技巧 3、 （ 2010 湖北咸宁， 24， 12 分） 如图， 直角梯形 ABCD 中， AB DC， 90DAB ， 24AD DC， 6AB 动 点M 以每秒 1 个 单位 长 的速度，从点 A 沿线段 AB 向点 B 运动 ； 同时点 P 以相同的速度 ，从点 C 沿折线 C-D-A 向点 A 运动 当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运 动过点 M 作直线 l AD，与线段 CD的交点

10、为 E， 与折线 A-C-B 的交点为 Q点 M 运动的时间为 t（秒） （ 1）当 0.5t 时，求线段 QM 的长； （ 2）当 0 t 2 时，如果以 C、 P、 Q 为顶点的三角形为直角三角形，求 t 的值； （ 3）当 t 2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R请探究 CQRQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是， 请说明理由 【分析】 解决梯形问题，有一个基本思想 ，就是：把梯形问题转化为三角形或平行四边形的问题来解决 如下图，过点 C 作 CF AB，垂足为 F，就能把这个直角梯形分作一个矩形和一个等腰直角三角形，图中的所有线段都容易求得 于是对于第（ 1）小题，可利用锐角

11、三角函数或相似三角形对应边成比例顺利求出 线段QM 的长 对于第（ 2）小题，由于 当 0 t 2 时， 点 P 在 CD 上，点 Q 在 AC 上，所以 QCP一定是锐角，所以可以分 90CPQ 和 90CQP 两种情况来分析 对于第（ 3）小题，容易发现 当 t 2 时， 点 Q 在线段 BC 上，点 P 在线段 AD 上，如下图所示： 由题意得线段 tAP 6 ，而线段 tBMQM 6，所以 PA=QM，这样容易证明PQ AB ，进而可得 CRQ CAB，所以 ACBCRQCQ 为定值 【答案】 解：（ 1）过点 C 作 CF AB 于 F，则四边形 AFCD 为矩形 4CF ， 2AF

12、 此时， Rt AQM Rt ACF QM CFAM AF 即 40.5 2QM， 1QM （ 2） DCA 为锐角 ，故有两种情况： 当 90CPQ 时，点 P 与点 E 重合 此时 DE CP CD，即 2tt ， 1t 当 90PQC 时，如备用图 1， 此时 Rt PEQ Rt QMA， EQ MAPE QM 由（ 1）知， 42EQ EM QM t ， 而 ( ) ( 2 ) 2 2P E P C CE P C D C D E t t t ， 4 2 12 2 2tt 53t 综上所述， 1t 或 53 （ 3） CQRQ为定值 当 t 2 时，如备用图 2， 4 ( 2) 6P A

13、 D A D P t t 由（ 1）得， 4BF AB AF CF BF 45CBF 6QM MB t QM PA 四边形 AMQP 为矩形 PQ AB CRQ CAB 22 4 2 2 263CQ B C CF B FR Q A B A B 【涉及知识点】 梯形、矩形、锐角三角函数、相似三角形、等腰直角三角形、 【点评】 本题属双动点型几何综合题，解题时应注意两个点所处的位置的变化，作为最后一道压轴题，难度系数不是很高，特别是第（ 3）小题，没有把“尾巴翘起来”，可能区分度不高，选拔优秀学生的功能不是很好 4、 （ 2010 年湖北襄樊 26 本大题满分 12 分） 如图 7，四边形 ABC

14、D 是平行四边形， AB=4， OB=2，抛物线过 A、 B、 C 三点，与 x轴交于另一点 D一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从 B 点出发沿 BA 向点 A 运动，运动到点 A 停止，同时 一动点 Q 从点 D 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 DC 向点C 运动，与点 P 同时停止 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）若抛物线的对称轴与 AB 交于点 E，与 x 轴交于点 F，当点 P 运动时间 t 为何值时，四边形 POQE 是等腰梯形？ （ 3）当 t 为何值时，以 P、 B、 O 为顶点的三角形与以点 Q、 B、 O 为顶点的三角形相似？ 图 7 【分析】 参照图形确定

15、出 A、 B、 C 三点的坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；结合等腰梯形的性质可知， OP=EQ 时， BP=FQ，据此列方程求解；由于相似的两个三角形各点对应关系不确定，所以要分情况讨 论 【答案】 解：（ 1）四边形 ABCD 是平行四边形， OC=AB=4 A（ 4， 2）， B（ 0， 2）， C（ 4， 0） 抛物线 y=ax2+bx+c 过点 B， c=2 由题意，有 16 4 2 0,16 4 2 2.abab 解得1 ,161.4ab 所求抛物线的解析式为 211 216 4y x x （ 2）将抛物线的解析式配方，得 211221 6 4yx 抛物线的对称轴为 x=2 D

16、（ 8， 0）， E（ 2， 2）， F（ 2， 0） 欲使四边形 POQE 为等腰梯形，则有 OP=QE即 BP=FQ t=6 3t，即 t=32 （ 3）欲使以 P、 B、 O 为顶点的三角形与以点 Q、 B、 O 为顶点的三角形相似， PBO= BOQ=90，有 BP OQOB BO 或 BP BOOB OQ， 即 PB=OQ 或 OB2=PB QO 若 P、 Q 在 y 轴的同侧当 PB=OQ 时， t=8 3t， t=2 当 OB2=PB QO 时， t(8 3t)=4，即 3t2 8t+4=0 解得1222 3tt， 若 P、 Q 在 y 轴的 异 侧当 PB=OQ 时， 3t 8

17、=t， t=4 当 OB2=PB QO 时， t(3t 8)=4，即 3t2 8t 4=0解得 4 2 73t t= 4 2 73 0故舍去， t= 4 2 73 当 t=2 或 t=23 或 t=4 或 t= 4 2 73 秒时， 以 P、 B、 O 为顶点的三角形与以点 Q、 B、O 为顶点的三角形相似 【涉及知识点】 二次函数，等腰梯形，相似三角形，方程 【点评】 注意充分利用数形结合思想，可以减少运算量，比如求抛物线对称轴方程，不一定把二次函数解析式配方，观察图形，不难发现，这条对称轴就是线段 AB 的垂直平分线，由此很快能确定抛物线对称轴方程为直线 x=2，这样更加便捷 5、（ 20

18、10年湖北宜昌 24 12分）如图，直线 y=hx+d与 x轴和 y轴分别相 交于点 A(-1,0),B(0,1),与双曲线 y=tx 在第一象限相交于点 C；以 AC 为斜边、 CAO 为内角的直角三角形，与以CO 为对角线、一边在 x 轴上的矩形面积相等；点 C,P 在以 B为顶点的抛物线 y= 2mx nx k上；直线 y=hx+d、双曲线 y= tx 和抛物线 2y ax bx c 同时经过两个不同的点 C， D。 （ 1） 确定 t 的值 （ 2）确定 m , n , k 的值 （ 3）若无论 a , b , c 取何值，抛物线 2y ax bx c 都不经过点 P，请确定 P 的坐

19、标 （ 12 分） ABOyxC（第 24 题） 【分析】 （ 1）根据直线方程过的两个点可求出直线方程，再根据双曲线过 C 点，设点 C坐标为 （ x1， y1）， 则 x1y1=t，再根据面积相等，进而求得 C 点坐标，便可求出 t 的值；（ 2）根据抛物线顶点 B，得到两个等式，以及 C 点 在抛物线上，又得一等式，由三个等式联立，便可求出 m、 n、 k；（ 3）根据直线 与双曲线的交点 C、 D，求出后代入抛物线方程可得两个等式，可把抛物线方程中的参数 a、 b、 c 消去两个，再根据 P 点在 y= 2mx nx k上，可设出坐标，代入 2y ax bx c 后得到的方程无解，进而

20、求出 a、 b、 c 【答案】 解： （ 1）直线过点 A， B， 则 0= h+d 和 1=d,即 y=x+1. 双曲线 y= tx 经过点 C（ x1， y1）， x1y1=t 以 AC 为斜边， CAO 为内角的直角三角形 的面积为12 y1(1+x1); 以 CO 为对角线的矩形面积为 x1y1， 12 y1(1+x1) x1y1，因为 x1， y1 都不等于 0，故得 x1 1，所以 y1=2. 故有， 12 t ，即 t=2. （ 2） B 是抛物线 y mx2 nx k 的顶点， 有 0,2nm 2 4 14n mkm， 得到 n=0， k=1. C 是抛物线 y mx2 nx

21、k 上的点， 有 2 m(1)2+1,得 m=1 （ 3）设点 P 的横坐标为 p， 则纵坐标为 p2+1. 抛物线 y=ax2+bx+c 经过两个不同的点 C， D， 其中求得 D 点坐标为（ 2， 1） . 解法一： 故 2 a b c， 1 4a 2b c 解之得， b a 1, c 1 2a. y=ax2 ( a 1)x（ 1 2a ） 于是： p2+1a p2（ a 1） p（ 1 2a） 无论 a 取什么值都有 p2 p（ p2 p 2） a （或者， 令 p2-p=(p2+p-2)a 抛物线 y=ax2+bx+c 不经过 P 点， 此 方程无解，或有解但不合题意） 故 a， 22

22、0,20pppp 解之 p 0， p 1，并且 p1， p 2.得 p 0. 符合题意的 P 点为（ 0， 1） . 22 0,20pppp ，解之 p 1， p 2，并且 p0， p1. 得 p 2. 符合题意的 P 点为（ 2， 5） 符合题意的 P 点有两个（ 0， 1）和（ 2， 5） . 解法 二 ： 则有（ a 1） p2+(a+1) p 2a=0 即（ a 1） p+2a (p 1)=0 有 p 1=0 时，得 p=1，为（ 1， 2）此即 C 点，在 y=ax2+bx+c 上 . 或（ a 1） p+2a=0，即（ p+2） a=p 当 p=0 时 a=0 与 a 0 矛盾 得

23、点 P（ 0， 1） 或者 p= 2 时，无解 得点 P（ 2， 5） 故对任意 a， b， c，抛物线 y=ax2+bx+c 都不经过（ 0， 1）和（ 2， 5） 解法 三 ： 如图 , 抛物线 y=ax2+bx+c 不经过直线 CD 上除 C， D 外的其他点 (只经过直线 CD 上的 C， D 点 ). 由2 1,1.yxyx 解得交点为 C（ 1， 2） ， B（ 0， 1） 故符合题意的点 P 为（ 0， 1） . 抛物线 y=ax2+bx+c 不经过直线 x 2 上除 D 外的其他点 . 由2 1,2.yxx 解得交点 P 为（ 2， 5） 抛物线 y=ax2+bx+c 不经过直

24、线 x 1 上除 C 外的其他点 , AB(P )CDPy x 而2 1,1.yxx 解得交点为 C（ 1， 2） 故符合条件的点 P 为（ 0， 1）或（ 2， 5） 【涉及知识点】 直线 双曲线 抛物线 交点问题 【点评】 本题是平面直角坐标系中 的交点的问题，交点有无，关键是看由曲线方程联立构成的方程组解的个数，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度 6、 （ 2010 湖南永州， 24， 10 分）已知二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点 A(2 ， 0)，与 y 轴的交点为 B(0， 4)，且其对称轴与 y 轴平行 求该二次函数的解

25、析式，并在所给出坐标系中画出这个二次函数的大致图象； 在该二次函数位于 A、 B 两点之间的图象上取上点 M，过点 M 分别作 x 轴、 y 轴的垂线段，垂足分别为点 C、 D求矩形 MCOD 的周长 的最小值，并求使矩形 MCID的周长最小时的点 M 坐标 【分析】（ 1）利用待定系数法由题意可设抛物线的解析式 2)2( xay 再将已知的B 点坐标代入可求出 a 得出解析式， （ 2）设点 M 的坐标为（ m， n），将其代入抛物线的解析式可得出 m， n 之间的关系式 n m2+4m+4；再由矩形周长公式可得出周长 L 与 m， n 之间的二次函数关系式L 2(n m)；消去 n 可得出 L 与 m 二次函数关系式，利用顶点坐标式可求出结果 . 【答案】 由题意可知点 A( 2， 0)是 抛物线的顶点，设抛物线的解析式为2)2( xay 其图象与 y 轴交于点 B(0， 4) 4 4a a 1 抛物线的解析式为 2)2( xy x -2 y 4 D C M A B O x -2 y 4 O （第 24 题图）